北师大版必修二球的表面积和体积

球的表面积和体积 柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和知识回顾展开图圆台圆柱圆锥 柱体、锥体、台体的体积锥体台体柱体知识回顾 一、创设情境1、在太空中存在着多颗星球，科学家为了比较各个星球的大小，需要计算它们的表面积和体积，但是星球的形状不同于柱体、椎体、台体，而是近似于球体，那么如何进行计算呢？2、球队大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和表面积？ 思考：如何求球的体积？排液法：hHh二、探究新知 球的体积球的表面积都是以R为自变量的函数OR 例1.钢球直径是5cm,求它的体积.例题讲解 (变式1)把钢球（直径是5cm）放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?用料最省时,球与正方体有什么位置关系?侧棱长为5cm例题讲解球内切于正方体 例题讲解 例4.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:(1)球的体积等于圆柱体积的三分之二；(2)球的表面积与圆柱的侧面积相等.例题O (2)圆圆柱证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.RO 讨论长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是——分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则长方体对角线与球的直径相等。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O22221150442+5)2(:RS2R=3RDDBRtppD==\+=中略解： 用一个平面α去截一个球O，截面是圆面Oß球的截面的性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面球心到截面的距离为d，球的半径为R，则截面问题补充知识： 课堂练习 1、了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割→求近似和→化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法—极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；2、熟练掌握球的体积、表面积公式：五、课堂小结 基本计算问题2.(1)把球的半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的________倍.(2)把球的半径扩大到原来的2倍，则表面积扩大为原来的_______倍.(3)三个球的半径之比为1:2:3，则它们的表面积之比为_________.(4)三个球的体积之比为1:8:27，则它们的半径之比为________. 四、巩固深化1、正方体的内切球和外接球体积比为______，表面积之比为1：3。2、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49和400，求球的表面积。答案：2500 4、若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.5、若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______6、若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______.3、若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍. 球与正方体的“接切”问题典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面找准数量关系 球与正方体的“接切”问题 [答案]D [答案]C [答案]D 探索延拓创新 例2已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体的表面积为a2，求球O的表面积和体积.例3有一种空心钢球，质量为142g（钢的密度为7.9g/cm3），测得其外径为5cm，求它的内径（精确到0.1cm）.oAC′ 练习有一种空心钢球，质量为142g,测得外径等于5.0cm，求它的内径（钢的密度为7.9g/cm3,精确到0.1cm). 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是答:空心钢球的内径约为4.5cm.由计算器算得: 一个球内有相距9cm的两个平行截面，面积别为49πcm2和400πcm2，试求球的表面积．[思路分析]求球的表面积或体积只需要求出球的半径，要求球的半径只需解球的半径、截面圆半径和球心到截面的距离组成的直角三角形．球的表面积 [规范解答](1)当球心在两个截面同侧时，如右图，设OD＝x，由题意知π·CA2＝49π，∴CA＝7(cm)．同理可得BD＝20(cm)．设球半径为R，则依题意，得(CD＋OD)2＋CA2＝R2＝OD2＋BD2，即(9＋x)2＋72＝x2＋202，解之得x＝15.∴R＝25，故S球＝4πR2＝2500π(cm2)． (2)当球心在两个截面之间时，如右图．设OD＝xcm，则OC＝(9－x)cm，由题意得π·CA2＝49π，∴CA＝7(cm)．同理可得BD＝20cm.设球半径为R，则依题意，知x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2， 即x2＋400＝(9－x)2＋49，此方程无正数解，故此情况不可能．综上可知，所求球的表面积为2500π(cm2)．[规律总结]常常借助于球的轴截面性质列方程(组)求球半径，进而求出球的表面积．轴截面为空间问题转化到平面几何问题创造了条件． 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______.练习一1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍.2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍.3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______. 6.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是______.5.若两球表面积之差为48π,它们大圆周长之和为12π,则两球的直径之差为______.练习二 二、探究新知1、球的体积如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小时会得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应的圆柱的体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。步骤：第一步：分割如图：把半球垂直于底面的半径OA作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为，底面是“小圆片”的底面。AO OR 第二步：求和 第三步：化为准确和 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,得到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式．球的表面积 第一步：分割球面被分割成n个网格，表面积分别为：则球的表面积：则球的体积为：OO 第二步：求近似和由第一步得：OO 第三步：化为准确和如果网格分的越细,则:“小锥体”就越接近小棱锥O 截面问题1.一球的球面面积为256πcm2，过此球的一条半径的中点，作垂直于这条半径的截面，求截面圆的面积.变式：在球内有相距9cm的两个平行截面，截面面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积.两种情况2.过球面上三点A、B、C的截面和球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3，求球的体积.变式：在半径为13cm的球面上有A、B、C三点，AB＝6cm，BC＝8cm，CA＝10cm，求经过A、B、C三点的截面与球心O之间的距离.要点：准确画图，利用基本三角形