2019-2020年高中数学 1.3.2球的体积和表面积双基限时练 新人教A版必修2

2019-2020年高中数学1.3.2球的体积和表面积双基限时练新人教A版必修21．若球的大圆面积扩大为原来的2倍，球的体积扩大为原来的(  )A．8倍          B．4倍C．2倍D．2倍解析 大圆的面积扩大为原来的2倍，半径扩大为原来的倍，所以球的体积扩大为原来的2倍．答案 C2．与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体表面积之比为(  )A.B.C.D.解析 设正方体的棱长为a，依题意知内切球的直径为a，∴球的表面积S球＝4π2＝πa2，正方体的表面积S正＝6a2.∴S球S正＝.答案 D3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是(  )A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm2解析 依题意知球的直径为正方体的对角线，∴球的半径为R＝×＝(cm)．∴球的表面积S＝4π()2＝12π(cm2)．答案 B4．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其他两个球的体积和的(  )A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍解析 设三个球的半径分别为1,2,3，则大球的体积V3＝π×33＝36π，两个小球的体积和V1＋V2＝π(13＋23)＝12π.∴最大球的体积是其他两个球的体积和的3倍．答案 C5．若一个球的体积为4π，则它的表面积为________． 解析 设球的半径为r，则πr3＝4π，∴r3＝3.∴r＝.∴它的表面积S＝4πr2＝12π.答案 12π6．将一铜球放入底面半径为4cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高9cm，则这个铜球的半径为________．解析 设铜球的半径为r，依题意得πr3＝π×42×9.∴r＝3(cm)．答案 3cm7．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面，已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为________．解析 依题意知正六棱柱的底面正六边形的外接圆直径为1，又高为，所以球的直径为2，故球的体积为π×13＝π.答案 π8．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h也相等，求h的值．解 对于圆锥形容器的体积V1＝πh2·h＝πh3，对于圆柱形容器的体积V2＝π2·h＝a2h.由V1＝V2，得πh3＝a2h.∴h＝a. 故h的值为a.9．某几何体的三视图如图所示(单位：m)．(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；(2)求该几何体的体积(结果保留π)．解 该几何体为组合体，下部为棱长为2的正方体，上部为半径是1的半球．(1)因为正方体的上底面被球盖住一部分，∴该几何体的表面积S＝×4πR2＋6×22－π×R2＝2π×12＋24－π＝π＋24.(2)该几何体的体积V＝×πR3＋a3＝π×13＋23＝8＋π.10．一倒置圆锥体的母线长为10cm，底面半径为6cm.(1)求圆锥体的高；(2)一球刚好放入该锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．解 (1)设圆锥体的高为hcm，则h＝＝8(cm)．(2)球放入锥体后的轴截面如图所示， 设球的半径为Rcm，由△OCD∽△ACB，得＝，即＝，∴R＝3.圆锥体积剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，即×π×62×8－π×33＝96π－36π＝60π(cm3)．