高中数学人教A版必修2 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积 分层训练

1.3.2球的体积和表面积歹分层训练三解疑•纠偏・检测1.（2014-临沂高一检测）设正方体的表面积为24,那么其外接球的体积是（）仆8兀BTD.32伍答案C解析由题意可知,6/=24,・.a=2・设正方体外接球的半径为/?,则y[ia=2R,.\R=y[3,二匕球二扌兀7?'=4羽兀.2.（2014-义乌高一检测）一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为（）A.8B.8^2C.8^3D.4^2答案A解析・・•球的半径为1,且正方体内接于球，・•・球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a,则有3/=4,即4・•.正方体的表面积为6/=6X§=8・3.（201牛十堰高一检测）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（） |—3T正视图俯视图侧视图B.为+18D.36兀+189A.yr+12C・9tt+42答案B解析由三视图可得几何体为长方体与球的组合体，故体积为V=32X2+|兀㊂'=18+芫1.正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A・1：萌B.1：3C・1：3羽D.1：9答案C解析设正方体的棱长为a,则它的内切球的半径为苏，它的外接球的半径为¥心，故所求的比为1:3筋.2.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm,则该球的体积是（）,100兀？-208k&A.-cm'B.-cmC.警cm3「416届3D.3cm答案c解析根据球的截面性质，有R=^7+^=y[3Z+^=5,:.V^tiR3=^yn（cm3）• 1.（2013-天津高考）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为亏,则正方体的棱长为・答案^3正方体棱长为d,球半径为/?,则专兀疋=为解析先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长.设,・・•.、/5cz=3,・・・cz=、/5.2.盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水而将下降多少？解设取出小球后，容器中水面下降hem,两个小球的体积为心=2（!•『］=埒^（cn?）,此体积即等于它们在容器中排开水的体积V=nX52X/z,所以-^^-=71X52X/z,所以A=f,即若取出这两个小球，则水面将下降|cm.二、能力提升3.（2013-课标全国I）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器厚度，则球的体积为（）500兀3A.3cm厂1372兀3C.3cm…2048kD.=cm'答案A 解析利用球的截面性质结合直角三角形求解. 如图，作出球的一个截面，则MC=8—6=2（cm）,BM=^AB=^X8=4（cm）.设:.R=5,球的半径为Rem,则，・・・V珠岭x53=竽兀(cn?)・9.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（272A.兀a答案B解析由题意知,该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为Q.如图，P为三棱柱上底面的中心，0为球心,易知AP=^X^-a=^-a,OP=^a,所以球的半径R=OA满足R2==誇/,故7S球=10.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm.答案4解析设球的半径为厂，则圆柱形容器的髙为6几容积为717^X6^67：/,高 度为8cm的水的体积为8兀产3个球的体积和为3X扌兀”=4兀/,由题意6兀F—8兀/=4兀F,解得r=4(cm).11・已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=18,BC=24,AC=30,求球的表面积和体积.解TAB：BC：AC=18：24：30=3：4：5,/.AABC是直角三角形，ZB=90。.因球心O到截面△ABC的射影0’为截面圆的圆心，也即是RtAABC的外接圆的圆心，所以斜边AC为截面圆0’的直径(如图所示).设O'C=r,OC=R,则球半径/?,截面圆半径厂,00在RtAO7CO中，由题设知sinZO^C0=-^r=:.AO'CO=30°,/.^=cos30°=又2厂=AC=30F"=15,代入①得/?=10^3.・•・球的表面积为S=4tc/?2=4