高中数学人教A版必修2 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积 学案精校解析

一、选择题1．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的A．1倍B．2倍C．倍D．倍【答案】C2．一个球的外切正方体的表面积等于6cm2，则此球的体积为A．B．C．D．【答案】C 【解析】设球的直径为2R，则正方体的棱长为2R，正方体的表面积为6×4R2=6(cm2),解得R=(cm).所以球的体积为.3．如图所示，某几何体的三视图是三个半径均为1的圆，且每个圆中的直径相互垂直，则它的体积为 A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知几何体是一个球，被2个经过球心的垂直平面所截，上面保留相对的2个，下部保留2个相对的的球体，剩余几何体的体积是原几何体的一半，为=．故选D．【名师点睛】三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.4．一平面截一球得到直径为cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是A．12πcm3B．36πcm3C．D．108πcm3【答案】B 【解析】设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1.如图， 5．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为的正三棱锥，另一个是棱长为的正四面体，如图所示:【名师点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法： (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．解本题时，由三视图可得该几何体为同底面不同棱的两个三棱锥构成，补成正方体即可求出该几何体外接球的面积.6．中国古代数学家名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体，其三视图如图所示，则其外接球的表面积为A．B．C．D．【答案】B【名师点睛】解决该题的关键是将根据三视图将几何体还原，从而得到该几何体是半个长方体的三棱柱，利用长方体的外接球的特征求得结果.7．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则 A．B．C．D．【答案】B【解析】由正视图和俯视图知：该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都是，圆柱的高是，所以该几何体的表面积是，因为该几何体的表面积为，所以，解得：，故选B．8．球面上有三个点A，B，C，其中AB=18,BC=24,AC=30，且球心到A，B，C所在平面的距离为球半径的一半，那么这个球的半径为A．20B．30C．D．【答案】C 9．已知是某球面上不共面的四点，且，则此球的体积为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为所以，因为，所以是边长为1的正方体的四个顶点，外接球半径为，因此球的体积为故选A.【名师点睛】若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．求解本题时，先根据勾股定理得，再补成正方体得外接球的半径，最后根据球的体积公式得结果.10．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于A．B．C．D．【答案】B 二、填空题11．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，则这三个球的体积之比为.【答案】1∶8∶27【解析】设三个球的半径分别为，∵三个球的表面积之比为1∶4∶9，∴∶∶1∶4∶9，即R12∶R22∶R32=1∶4∶9，∴∶∶=1∶2∶3,得∶∶=1∶8∶27，∴∶V2∶V3=∶∶=∶∶=1∶8∶27.【思路点拨】先根据球的表面积的关系，得出半径之比，再求出体积之比.12．圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是cm．【答案】4【解析】设球的半径为r，则由可得，解得．13．过长方体的一个顶点的三条棱长分别是1、2、，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是__________．【答案】 【名师点睛】本题考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属中档题.求解时，根据长方体外接球的性质可得：球心在长方体体对角线的中点上，可得球的半径，即可求球的表面积．14．正三棱锥的高为，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则此球的表面积是．【答案】【解析】如图，球是正三棱锥的内切球，到正三棱锥四个面的距离都是球的半径．是正三棱锥的高，即．是边中点，在上，的边长为，所以，所以，可以得到，，由等体积法得：，所以，解得：，所以此球的表面积是．【名师点评】球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径来求出，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．三、解答题15．某几何体的三视图如图所示： （1）求该几何体的表面积；（2）求该几何体的体积．【答案】（1）24＋π；（2）.【解析】由三视图知，此几何体由上下两部分组成，其中上边是一个半径为1的半球，下边是一个棱长为2的正方体.（1）S＝S半球＋S正方体表面积－S圆＝×4π×12＋6×2×2－π×12＝24＋π.（2）V＝V半球＋V正方体＝×π×13＋23＝8＋π.16．在球心的同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2与400πcm2.试求球的表面积．【答案】2500πcm2.【解析】如图为球的轴截面，由球的截面性质知，AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为R.∵π·O2B2=49π，∴O2B=7cm.同理π·O1A2=400π，O1A=20cm，设OO1=xcm，则OO2=(x＋9)cm.