2018版高中数学人教A版必修2 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积 学案
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2018版高中数学人教A版必修2 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积 学案

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时间:2022-08-13

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资料简介
1.3.2 球的体积和表面积1.了解并掌握球的体积和表面积公式.2.会用球的体积与表面积公式解决实际问题.(重点)3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题.(难点、易混点)[基础·初探]教材整理 球的表面积与体积公式阅读教材P27“练习”以下至P28“练习”以上内容,完成下列问题.1.球的体积设球的半径为R,则球的体积V=πR3.2.球的表面积设球的半径为R,则球的表面积S=4πR2,即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)球的体积之比等于半径比的平方.(  )(2)长方体既有外接球又有内切球.(  )(3)球面展开一定是平面的圆面.(  )(4)球的三视图都是圆.(  )【解析】 (1)错误.球的体积之比等于半径比的立方. (2)错误.长方体只有外接球,没有内切球.(3)错误.球的表面不能展开成平面图形,故错误.(4)正确.球的三视图都是圆.【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√[小组合作型]球的表面积和体积 (1)已知球的表面积为64π,求它的体积;(2)已知球的体积为π,求它的表面积.【精彩点拨】 借助公式,求出球的半径,再根据表面积与体积公式求解.【自主解答】 (1)设球的半径为r,则由已知得4πr2=64π,r=4.所以球的体积:V=×π×r3=π.(2)设球的半径为R,由已知得πR3=π,所以R=5,所以球的表面积为:S=4πR2=4π×52=100π.1.一个关键抓住球的表面积公式S球=4πR2,球的体积公式V球=πR3 是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件.把握住公式,球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.2.两个结论(1)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方;(2)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方.[再练一题]1.(1)球的体积是,则此球的表面积是(  )A.12πB.16πC.D.(2)用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为(  )A.B.C.8πD.【解析】 (1)设球的半径为R,则由已知得V=πR3=,R=2.∴球的表面积S=4πR2=16π.(2)设截面圆的半径为r,则πr2=π,故r=1,由勾股定理求得球的半径为=,所以球的体积为π()3=.【答案】 (1)B (2)D与球有关的组合体的表面积与体积 (1)如图1315是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(  ) 图1315A.π+12B.π+18C.9π+42D.36π+18(2)一个几何体的三视图(单位:cm)如图1316所示,则该几何体的表面积是________cm2.图1316【精彩点拨】 先根据三视图还原组合体,再利用有关数据计算.【自主解答】 (1)由三视图可得这个几何体是由上面一个直径为3的球,下面一个底面为正方形且边长为3,高为2的长方体所构成的几何体,则其体积为:V=V1+V2=×π×3+3×3×2=π+18.(2)由三视图知该几何体为一个四棱柱,一个半圆柱和一个半球的组合体,其中四棱柱上表面与半球重合部分之外的面积为1×2-×π×12=2- ,四棱柱中不重合的表面积为2-+1×2×2+2×2+1×2=12-,半圆柱中不重合的表面积为×2π×2+π=π,半球的表面积为×4π=2π,所以该几何体的表面积为4π+12.【答案】 (1)B (2)4π+121.由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义.根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积.此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆.2.计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接,避免重叠或交叉.[再练一题]2.如图1317是一个几何体的三视图,根据图中的数据可得该几何体的表面积为(  )图1317A.18πB.30πC.33πD.40π【解析】 由三视图知该几何体由圆锥和半球组成.球半径和圆锥底面半径都等于3,圆锥的母线长等于5,所以该几何体的表面积S=2π×32+π×3×5=33π.【答案】 C [探究共研型]有关球的切、接问题探究1 若球的半径为R,则球的内接正方体的棱长是多少?【提示】 设正方体的棱长为a,由于正方体的体对角线长等于球的直径,所以a=2R,故a=R,即球的内接正方体的棱长为R.探究2 正方体的外接球、内切球的半径与正方体的棱长分别有什么数量关系?【提示】 设正方体的棱长为a,外接球、内切球的半径分别为R、r,则2R=a,2r=a. 一个高为16的圆锥外接于一个体积为972π的球,在圆锥里又有一个内切球.求:(1)圆锥的侧面积;(2)圆锥里内切球的体积.【精彩点拨】 有关球的切、接问题,作出轴截面求解.【自主解答】 (1)如图所示,作出轴截面,则等腰△SAB内接于⊙O,而⊙O1内切于△SAB.设⊙O的半径为R,则有πR3=972π,∴R3=729,R=9.∴SE=2R=18.∵SD=16,∴ED=2.连接AE,又∵SE是直径,∴SA⊥AE,SA2=SD·SE=16×18=288,∴SA=12. ∵AB⊥SD,∴AD2=SD·DE=16×2=32,∴AD=4.∴S圆锥侧=π×4×12=96π.(2)设内切球O1的半径为r,∵△SAB的周长为2×(12+4)=32,∴r×32=×8×16.∴r=4.∴内切球O1的体积V球=πr3=π.1.在处理与球有关的相接、相切问题时,一般要通过作一适当的截面,将立体问题转化为平面问题解决,而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等.2.几个常用结论(1)球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;(2)球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径;(3)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径;(4)球与棱锥相切,则可利用V棱锥=S底h=S表R,求球的半径R.[再练一题]3.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(  )A.πa2      B.πa2 C.πa2D.5πa2B [由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为a,如图,P为三棱柱上底面的中心,O为球心,易知AP=×a=a,OP=a,所以球的半径R=OA满足R2=2+2=a2,故S球=4πR2=πa2.]1.直径为6的球的表面积和体积分别是(  )A.144π,144π B.144π,36πC.36π,144πD.36π,36π【解析】 R=3,S=4πR2=36π,V=πR3=36π.【答案】 D2.设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(  )A.3πa2B.6πa2C.12πa2D.24πa2【解析】 设该球的半径为R,∴(2R)2=(2a)2+a2+a2=6a2,即4R2=6a2.∴球的表面积为S=4πR2=6πa2.【答案】 B3.已知一个球的体积为π,则此球的表面积为________. 【解析】 设球的半径为R,则V=πR3=π,∴R=1,∴球的表面积S=4π.【答案】 4π4.某几何体的三视图如图1318所示,则其表面积为________.图1318【解析】 由三视图可知,该几何体为一个半径为1的半球,其表面积为半个球面面积与截面面积的和,即×4π+π=3π.【答案】 3π5.圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r,圆柱、圆锥的高都是2r,(1)求圆柱、圆锥、球的体积之比;(2)求圆柱、圆锥、球的表面积之比.【解】 (1)V圆柱=πr2·2r=2πr3,V圆锥=·πr2·2r=πr3,V球=πr3,所以V圆柱∶V圆锥∶V球=3∶1∶2.(2)S圆柱=2πr·2r+2πr2=6πr2,S圆锥=πr·+πr2=(+1)πr2,S球=4πr2,所以S圆柱∶S圆锥∶S球=6∶(+1)∶4.学业分层测评(六)(建议用时:45分钟)[学业达标] 一、选择题1.设正方体的表面积为24,那么其外接球的体积是(  )A.π         B.C.4πD.32π【解析】 设正方体边长为a,由题意可知,6a2=24,∴a=2.设正方体外接球的半径为R,则a=2R,∴R=,∴V球=πR3=4π.【答案】 C2.两个球的体积之比为8∶27,那么这两个球的表面积之比为(  )A.2∶3B.4∶9C.∶D.∶【解析】 ∶=r3∶R3=8∶27,∴r∶R=2∶3,∴S1∶S2=r2∶R2=4∶9.【答案】 B3.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(  )A.12πB.πC.8πD.4πA [设正方体棱长为a,则a3=8,所以a=2.所以正方体的体对角线长为2,所以正方体外接球的半径为,所以球的表面积为4π·()2=12π,故选A.]4.一平面截一球得到直径是6cm的圆面,球心到这个平面的距离是4cm,则该球的体积是(  )A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3【解析】 根据球的截面性质,有R===5, ∴V球=πR3=π(cm3).【答案】 C5.等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等,它们的表面积的大小关系是(  )A.S球

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