1.3.2 球的体积和表面积1．了解并掌握球的体积和表面积公式．2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点)3．会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理 球的表面积与体积公式阅读教材P27“练习”以下至P28“练习”以上内容，完成下列问题．1．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝πR3.2．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)球的体积之比等于半径比的平方．( )(2)长方体既有外接球又有内切球．( )(3)球面展开一定是平面的圆面．( )(4)球的三视图都是圆．( )【解析】 (1)错误．球的体积之比等于半径比的立方．
(2)错误．长方体只有外接球，没有内切球．(3)错误．球的表面不能展开成平面图形，故错误．(4)正确．球的三视图都是圆．【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√[小组合作型]球的表面积和体积 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积；(2)已知球的体积为π，求它的表面积．【精彩点拨】 借助公式，求出球的半径，再根据表面积与体积公式求解．【自主解答】 (1)设球的半径为r，则由已知得4πr2＝64π，r＝4.所以球的体积：V＝×π×r3＝π.(2)设球的半径为R，由已知得πR3＝π，所以R＝5，所以球的表面积为：S＝4πR2＝4π×52＝100π.1．一个关键抓住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝πR3
是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．2．两个结论(1)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方；(2)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．[再练一题]1．(1)球的体积是，则此球的表面积是( )A．12πB．16πC.D.(2)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )A.B.C．8πD.【解析】 (1)设球的半径为R，则由已知得V＝πR3＝，R＝2.∴球的表面积S＝4πR2＝16π.(2)设截面圆的半径为r，则πr2＝π，故r＝1，由勾股定理求得球的半径为＝，所以球的体积为π()3＝.【答案】 (1)B (2)D与球有关的组合体的表面积与体积 (1)如图1315是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
图1315A.π＋12B.π＋18C．9π＋42D．36π＋18(2)一个几何体的三视图(单位：cm)如图1316所示，则该几何体的表面积是________cm2.图1316【精彩点拨】 先根据三视图还原组合体，再利用有关数据计算．【自主解答】 (1)由三视图可得这个几何体是由上面一个直径为3的球，下面一个底面为正方形且边长为3，高为2的长方体所构成的几何体，则其体积为：V＝V1＋V2＝×π×3＋3×3×2＝π＋18.(2)由三视图知该几何体为一个四棱柱，一个半圆柱和一个半球的组合体，其中四棱柱上表面与半球重合部分之外的面积为1×2－×π×12＝2－
，四棱柱中不重合的表面积为2－＋1×2×2＋2×2＋1×2＝12－，半圆柱中不重合的表面积为×2π×2＋π＝π，半球的表面积为×4π＝2π，所以该几何体的表面积为4π＋12.【答案】 (1)B (2)4π＋121．由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．2．计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠或交叉．[再练一题]2．如图1317是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( )图1317A．18πB．30πC．33πD．40π【解析】 由三视图知该几何体由圆锥和半球组成．球半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积S＝2π×32＋π×3×5＝33π.【答案】 C
[探究共研型]有关球的切、接问题探究1 若球的半径为R，则球的内接正方体的棱长是多少？【提示】 设正方体的棱长为a，由于正方体的体对角线长等于球的直径，所以a＝2R，故a＝R，即球的内接正方体的棱长为R.探究2 正方体的外接球、内切球的半径与正方体的棱长分别有什么数量关系？【提示】 设正方体的棱长为a，外接球、内切球的半径分别为R、r，则2R＝a,2r＝a. 一个高为16的圆锥外接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥里内切球的体积．【精彩点拨】 有关球的切、接问题，作出轴截面求解．【自主解答】 (1)如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB内接于⊙O，而⊙O1内切于△SAB.设⊙O的半径为R，则有πR3＝972π，∴R3＝729，R＝9.∴SE＝2R＝18.∵SD＝16，∴ED＝2.连接AE，又∵SE是直径，∴SA⊥AE，SA2＝SD·SE＝16×18＝288，∴SA＝12.
∵AB⊥SD，∴AD2＝SD·DE＝16×2＝32，∴AD＝4.∴S圆锥侧＝π×4×12＝96π.(2)设内切球O1的半径为r，∵△SAB的周长为2×(12＋4)＝32，∴r×32＝×8×16.∴r＝4.∴内切球O1的体积V球＝πr3＝π.1．在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等．2．几个常用结论(1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；(2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径；(3)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(4)球与棱锥相切，则可利用V棱锥＝S底h＝S表R，求球的半径R.[再练一题]3．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．πa2 B.πa2
C.πa2D．5πa2B [由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a，如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R＝OA满足R2＝2＋2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2.]1．直径为6的球的表面积和体积分别是( )A．144π，144π B．144π，36πC．36π，144πD．36π，36π【解析】 R＝3，S＝4πR2＝36π，V＝πR3＝36π.【答案】 D2．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2【解析】 设该球的半径为R，∴(2R)2＝(2a)2＋a2＋a2＝6a2，即4R2＝6a2.∴球的表面积为S＝4πR2＝6πa2.【答案】 B3．已知一个球的体积为π，则此球的表面积为________．
【解析】 设球的半径为R，则V＝πR3＝π，∴R＝1，∴球的表面积S＝4π.【答案】 4π4．某几何体的三视图如图1318所示，则其表面积为________．图1318【解析】 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即×4π＋π＝3π.【答案】 3π5．圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r，圆柱、圆锥的高都是2r，(1)求圆柱、圆锥、球的体积之比；(2)求圆柱、圆锥、球的表面积之比．【解】 (1)V圆柱＝πr2·2r＝2πr3，V圆锥＝·πr2·2r＝πr3，V球＝πr3，所以V圆柱∶V圆锥∶V球＝3∶1∶2.(2)S圆柱＝2πr·2r＋2πr2＝6πr2，S圆锥＝πr·＋πr2＝(＋1)πr2，S球＝4πr2，所以S圆柱∶S圆锥∶S球＝6∶(＋1)∶4.学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]
一、选择题1．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( )A.π B.C．4πD．32π【解析】 设正方体边长为a，由题意可知，6a2＝24，∴a＝2.设正方体外接球的半径为R，则a＝2R，∴R＝，∴V球＝πR3＝4π.【答案】 C2．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )A．2∶3B．4∶9C.∶D.∶【解析】 ∶＝r3∶R3＝8∶27，∴r∶R＝2∶3，∴S1∶S2＝r2∶R2＝4∶9.【答案】 B3．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A．12πB.πC．8πD．4πA [设正方体棱长为a，则a3＝8，所以a＝2.所以正方体的体对角线长为2，所以正方体外接球的半径为，所以球的表面积为4π·()2＝12π，故选A.]4．一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是( )A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3【解析】 根据球的截面性质，有R＝＝＝5，
∴V球＝πR3＝π(cm3)．【答案】 C5．等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，它们的表面积的大小关系是( )A．S球
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