2017-2018学年高一数学人教a版必修2试题：1.3.2球的体积和表面积含答案

第一章1.31.3.2A级 基础巩固一、选择题1．如果三个球的半径之比是1︰2︰3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( B )A．倍  B．倍  C．2倍  D．3倍[解析] 设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，＝.2．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为( A )A．1  B．2  C．3  D．4[解析] 设两球的半径分别为R、r(R>r)，则由题意得，解得.故R－r＝1.3．一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( A )A．  B．C．  D．[解析] 由6a2＝4πR2得＝，∴＝＝3＝.4．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( C )A．  B．  C．  D．π[解析] 设正方体的棱长为a，球半径为R，则3a2＝4R2，∴a2＝R2，球的表面积S1＝4πR2，正方体的表面积S2＝6a2＝6×R2＝8R2，∴S1︰S2＝.5．正方体的内切球与其外接球的体积之比为( C )A．1︰  B．1︰3C．1︰3  D．1︰9[解析] 设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为a，故所求体积之比为1︰3.6．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r、R，则球的表面积为( C ) A．4π(r＋R)2  B．4πr2R2C．4πRr  D．π(R＋r)2[解析] 解法一：如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝.故球的表面积为D球＝4πr＝4πRr.解法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA、OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面积为S球＝4πRr.二、填空题7．(2017·天津理，10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.[解析] 设正方体的棱长为a，则6a2＝18，∴a＝.设球的半径为R，则由题意知2R＝＝3，∴R＝.故球的体积V＝πR3＝π×()3＝.8．已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为____.[解析] 设球O的半径为r，则πr3＝23，解得r＝.三、解答题9．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S1、S2、S3，试比较它们的大小.[解析] 设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2. 由题意知，πR3＝a3＝πr2·2r，∴R＝a，r＝a，∴S2＝4π2＝4π·a2＝a2，S3＝6π2＝6π·a2＝a2，∴S23a2＝a2，即S1>S3.∴S1、S2、S3的大小关系是S2