高中数学球的体积和表面积 教案 北师大必修2

 球的体积和表面积教学设计 一、课标要求：１． 知识与技能⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。２． 过程与方法通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝πR3和面积公式Ｓ＝４πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。３． 情感与价值观  通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。二、教学重点、难点重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。三、学法和教学用具1．学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。2．教学用具：投影仪四、教学过程（一）创设情景⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。（二） 探究新知1．球的体积：（1）比较半球的体积与其等底等高的旋转体的体积结论： （2）利用祖暅原理，求半球的体积结论：（3）得到半径是Ｒ的球的体积公式：结论：2．球的表面积：由于球的表面是曲面,不是平面,所以球的表面积无法利用展开图来求.该如何求球的表面积公式?是否也可借助分割思想来推导呢?（1）.若将球表面平均分割成n个小块,则每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积.（2）.若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.  （3）半径为R的球的表面积公式： 结论：  （三） 典例分析例1.钢球直径是5cm,求它的体积和表面积.(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?例2．如图，正方体的棱长为a,它的各个顶点都在球面上，求球的表面积和体积。 (变式)球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2、,求球体的表面积和体积。例3．（课本P31例4）（变式）求球体与其外接切等边圆锥（截面为等边三角形）的体积之比．（四） 巩固深化、反馈矫正1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的______倍.（答案8倍）2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的________倍（答案4倍）3.若两球表面积之比为1:9，则其体积之比是______.（答案1:27）4.若两球体积之比是8:1，则其表面积之比是______.（答案4:1）5.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为＿＿＿cm3.（答案：）6正方体的内切球和外接球的体积比为          ，表面积比为          。（答案： ； 3：1）7．长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是           。（答案50） （五） 课堂小结本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。（六） 评价设计