1.3.2球的表面积与体积
学习目标:1、通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割—求和—化为准确和”；2、能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题；3、能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题。
柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和展开图圆台圆柱圆锥复习旧知
柱体、锥体、台体的体积锥体台体柱体复习旧知
RR一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后,所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等。一、球的体积:
RR
R设想一个球由许多顶点在球心,底面在球面上的“准锥体”组成,这些准锥体的底面并不是真的多边形,但只要其底面足够小,就可以把它们看成真正的锥体.二、球的表面积:
RS球表=4πR2
例1圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证：(1)球的体积等于圆柱体积的；(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.例题讲解
(2)圆圆柱证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.RO
例2.钢球直径是5cm,求它的体积.
变式1：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是答:空心钢球的内径约为4.5cm.由计算器算得:
例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。ABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。ABCDD1C1B1A1O例题讲解
(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?用料最省时,球与正方体有什么位置关系?侧棱长为5cm两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.球内切于正方体
(变式3)把正方体的纸盒装入半径为4cm的球状木盒里,能否装得下?半径为4cm的木盒能装下的最大正方体与球盒有什么位置关系?球外接于正方体两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上。
OABC例4：已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，例题讲解
OABC例4.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．例题讲解
变式4、正方体的内切球和外接球队体积比为______，表面积之比为1：3。变式5、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49和400，求球的表面积。答案：2500
一个球的体积是100cm3，试计算它的表面积（π取3.14，结果精确到1cm2）解：设球的半径为R，那么根据题意有：100πR3=34R≈2.88×3.14×R3=10034球的表面积S=4πR2=4×3.14×2.882≈104（cm2）
一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢满杯子吗？解：由图可知，半球的半径为4圆锥的体积为πR2×12=31π43=34半球的体积为3256π3192π因此，如果冰淇淋融化了，会溢满杯子.
82.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________.1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍.练习1:探究：若正方体的棱长为a，则：(1)正方体的内切球的直径=(2)正方体的外接球的直径=(3)与正方体所有的棱相切的球的直径=
7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是______.6.若两球表面积之差为48π,它们大圆周长之和为12π,则两球的直径之差为______.练习2:5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为，则它的外接球的表面积为_____.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为＿＿＿cm3.83.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________.1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍.练习一课堂练习
4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______.练习二1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍.2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍.3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.课堂练习
了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割→求近似和→化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法—极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；熟练掌握球的体积、表面积公式：课堂小结
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