2018-2019高中高中数学人教A版必修2 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积 学案

1.3.2 球的体积和表面积学习目标 1.掌握球的表面积和体积公式.2.能解决与球有关的组合体的计算问题．知识点 球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)；2．球的体积公式V＝πR3.1．球的表面积等于它的大圆面积的2倍．( × )2．两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.( × )3．球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．( √ )类型一 球的体积和表面积例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积；(2)已知球的体积为π，求它的表面积．考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 与球有关的体积、表面积问题解 (1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的体积V＝πR3＝π·43＝π.(2)设球的半径为R，则πR3＝π，解得R＝5，所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.反思与感悟 (1)公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．(2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方．跟踪训练1 (1)两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为(  )A．2∶3B．4∶9C.∶D.∶ (2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________．考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 与球有关的体积、表面积问题答案 (1)B (2)解析 (1)由两球的体积之比为8∶27，可得半径之比为2∶3，故表面积之比是4∶9.(2)设大球的半径为R，由题意得πR3＝2×π×13，得R＝.类型二 与球有关的三视图问题例2 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为________．考点 球的表面积题点 与三视图有关球的表面积计算问题答案 4π解析 由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和，因为R＝1，所以S＝×4×π×12＋2××π×12＝4π.反思与感悟 (1)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积与体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义，根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．(2)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉等．跟踪训练2 已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为(  ) A.＋B.＋C.＋D.＋考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积答案 C解析 由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得V＝××3＋××1×1×1＝＋，故选C.类型三 球的截面及切接问题例3 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，若不计容器的厚度，则球的体积为(  )A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3 考点 球的体积题点 与截面有关球的体积计算问题答案 A解析 如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5.∴V球＝π×53＝π(cm3)．反思与感悟 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.跟踪训练3 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的表面积为________．考点 球的表面积题点 其他球的表面积计算问题答案 12π解析 用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为，已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为，所以球的表面积为4π()2＝12π.例4 (1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(  )A.B.C.D.考点 球的体积题点 与外接、内切有关球的体积计算问题答案 A 解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×13＝.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为，，，则它的外接球表面积为________．考点 球的表面积题点 与外接、内切有关球的表面积计算问题答案 9π解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，则   解得∴外接球半径为＝，∴外接球表面积为4π×2＝9π.反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图①.(2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝a，如图②.(3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.(5)正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a. 跟踪训练4 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为(  )A．1∶B．1∶3C．1∶3D．1∶9(2)表面积为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为(  )A.πB.πC.πD.π考点 球的体积题点 与外接、内切有关球的体积计算问题答案 (1)C (2)A解析 (1)设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为，外接球的直径为正方体的体对角线，∴外接球的半径为，∴其体积比为π×3∶π×3＝1∶3.(2)如图所示，将正四面体补形成一个正方体．设正四面体的棱长为a.∵正四面体的表面积为，∴4×a2＝，解得a＝，∴正方体的棱长是，又∵球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R，∴2R＝×，∴R＝，∴球的体积为π·3＝π，故选A.1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于(  ) A．3B．2C．1D.考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 与球有关的体积、表面积问题答案 A解析 设球的半径为R，则4πR2＝πR3，所以R＝3.2．一个球的表面积是16π，则它的体积是(  )A．64πB.C．32πD.考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 与球有关的体积、表面积问题答案 D解析 设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半径为2，体积V＝πR3＝π.3．如图，圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为(  )A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm考点 球的体积题点 其他球的体积计算问题答案 B解析 由题意可得，设球的半径为r，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，∴3×πr3＝πr2(6r－6)，解得r＝3，故选B.4．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为(  )A．1B．2C．3D．4考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积 题点 与球有关的体积、面积问题答案 B解析 设两球半径分别为R1，R2，且R1>R2，则4π(R－R)＝48π，2π(R1＋R2)＝12π，所以R1－R2＝2.5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．考点 球的表面积题点 与三视图有关球的表面积计算问题答案 3π解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即×4π＋π＝3π.1．球的体积和表面积公式设球的半径为R(1)体积公式：V＝πR3.(2)表面积公式：S＝4πR2.2．用一个平面截球所得截面的特征(1)用一个平面去截球，截面是圆面．(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面．(3)球心到截面的距离d与球的半径R以及截面的半径r，有下面的关系r＝.3．常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算． 一、选择题1．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为(  )A．1B．2C．3D．4考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 与球有关的体积、表面积问题答案 A解析 设两球的半径分别为R，r(R＞r)，则由题意得  解得∴R－r＝1.2．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，则圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为(  )A.，B.，1C.，1D.，考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 若干个几何体的体积、表面积关系答案 A解析 设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，∴V圆柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝πR3，则＝＝，＝＝.3．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2cm，那么该棱柱的表面积为(  )A．(2＋4)cm2B．(8＋16)cm2C．(4＋8)cm2D．(16＋32)cm2考点 球的表面积题点 与外接、内切有关球的表面积计算问题 答案 B解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm的球面上，正四棱柱的底面边长为2cm，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4cm，正四棱柱的底面对角线长为2cm，∴正四棱柱的高为＝2cm，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×2＝8＋16(cm2)，故选B.4．一平面截一球得到直径为6cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4cm，则该球的体积是(  )A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3考点 球的体积题点 与截面有关球的体积计算问题答案 C解析 如图，根据题意，OO1＝4cm，O1A＝3cm，∴OA＝R＝＝5(cm)，故球的体积V＝πR3＝(cm3)．故选C.5．某几何体的三视图如图所示，它的体积为(  )A．30πB．48πC．72πD．24π考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积答案 A解析 由三视图可知几何体是由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体， 所以V＝π×32×4＋×π×33＝30π.6．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是(  )A．S正方体>S球B．S正方体