高中数学1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积1.1.7柱锥台和球的体积自主训练

1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积自主广场我夯基我达标1．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为()A.B.C.D.思路解析:设球的半径为R,过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面,由勾股定理可得一个半径为的圆,所以.答案：A2.正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A.1∶B.1∶3C.1∶3D.1∶9思路解析:设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为a，故所求的比为1∶3，选C.答案：C3.如图11-(6,7)-5，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是____________.图11-(6,7)-5思路解析:显然正六棱锥P—ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2.依题意可得正六棱锥P—ABCDEF的高为2，以此可求得侧面积为.答案：4.如图11-(6,7)-6，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为___________. 图11-(6,7)-6思路解析:利用等体积法，易知，所以点B1到平面ABC1的距离为h=.答案：5.正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为__________________.思路解析:如图，在△OPA中，因为PA=3,OA=,所以正四棱锥的高h==1,故正四棱锥的体积为V=Sh=.图11-(6,7)-7答案：6.一块长方体木料,长、宽、高分别为8厘米、4厘米、6厘米,把它切削成一个体积最大的圆柱体,求这个圆柱体的体积是多少？(π取3.14)思路分析:根据此题提供的条件,削成圆柱体有三种情况,要按条件比较一下哪一种削法削成的圆柱体最大.解：(1)以长8厘米,宽4厘米的面为底,6厘米为高,圆柱的体积为V=π×()2×6=24π(立方厘米).(2)以长8厘米,宽6厘米的面为底,4厘米为高,圆柱的体积为V=π×()2×4=36π(立方厘米).(3)以长6厘米,宽4厘米的面为底,8厘米为高,圆柱的体积为V=π×()2×8=32π(立方厘米).通过比较,以长8厘米,宽6厘米的面为底,以4厘米为高,削出的圆柱体体积最大, Vmax=π×()2×4=36π=113.04(立方厘米).7.在正四棱台内作一个内接棱锥，该棱锥以这个棱台的上底面正方形作底，以下底面正方形的中心作顶点.如果棱台上、下底面的边长分别为a和b，棱台和这个内接棱锥的侧面积相等，求这个内接棱锥的高，以及本题有解的限制条件.思路解析:可以根据侧面积相等建立方程,解方程或者根据方程判断解的情况即可得出结论.解：设内接棱锥的高为x,则棱锥的斜高h1=,棱台的斜高h2=.由棱台和内接棱锥的侧面积相等可得关于x的方程·4a·=·4(a+b)·.解方程可得x=.答:这个内接棱锥的高为.当a,b满足0b>c>0,∴ab>ac>bc>0.∴最短路线的长为.∴蚂蚁从A点出发爬行到点C′走过的最短路程为.