高中数学1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积1.1.7柱锥台和球的体积例题与探究

1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积典题精讲例1表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为()A.B.πC.D.π思路解析：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8×,知a=1，则此球的直径为，故选A.答案：A绿色通道：球与正方体或长方体的接与切问题是高考中最常见的一种题型.若长方体内接于一个球,那么其对角线长等于球的直径.对于正方体来说,恰有球的直径等于正方体棱长的3倍.变式训练1已知正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长等于()A.B.C.D.思路解析：正方体外接球的体积是π，则外接球的半径R=2，正方体的体对角线的长为4，棱长等于，选D.答案：D例2正四棱台AC1的高是17cm,两底面的边长分别是4cm和16cm,求这个棱台的侧棱长和斜高.思路分析：棱台中有关量的计算通常是归结到某个梯形内进行,而正棱台则是在直角梯形内进行.图11-(6,7)-1解：设棱台两底面的中心分别是O1和O,B1C1和BC的中点分别是E1和E,如图11-(6,7)-1所示,连结O1O、E1E、OB、O1B1、OE、O1E1,则OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形.∵A1B1=4cm,AB=16cm, ∴O1E1=2cm,OE=8cm,O1B1=cm,OB=cm.因此BB1==19(cm),EE1=(cm),即这个棱台的侧棱长是19cm,斜高是cm.绿色通道：正棱台的侧面积与斜高有一定的关系,而斜高的求解一般归结到一个梯形中,利用梯形的性质进行求解.变式训练2棱台的两底面都是矩形，两底面对角线交点的连线是棱台的高且长为12cm，上底的周长为112cm，下底的长和宽分别为54cm和30cm.求棱台的侧面积.思路解析：首先可以根据平行成比例求出上底长和宽,再求侧面积.解：设上底面的长为xcm，宽为(56-x)cm，把棱台恢复成棱锥以后小棱锥的高为hcm.则,∴x=36,56-x=20.设侧面梯形的高分别为ycm，zcm.则y==15,z==13.∴S侧=(54+36)·13+(30+20)·15=1170+750=1920.答：棱台的侧面积是1920cm2.例3如图11-(6,7)-2，有一圆柱内接于底面半径为4、高为3的圆锥内，求此圆柱的侧面积的最大值.图11-(6,7)-2思路分析：本题圆柱的底面半径和母线长都在变，设圆柱的底面半径为r，通过轴截面中三角形的相似，可以找到圆柱的底面半径r和母线长l的关系，从而使l能用r来表示，利用圆柱的侧面积公式，最终把问题转化为求函数最大值的问题.解：如题图所示，设圆柱的底面半径为r，母线长为l,则CO=r，A′C=l，AO=4，SO=3.在△SAO中，∵A′C∥SO,，∴.∴l=.根据圆柱的侧面积公式S侧=2πr·r(12-3r)=［-3(r-2)2+24］,当r=2时，S侧最大，此时圆柱的侧面积的最大值为12π.绿色通道：求圆柱的侧面积的关键是求圆柱的底面半径和母线长，本题中使l能用r来表示，把问题转化为求函数最大值的问题是常见的题型. 变式训练3直四棱柱的底面是矩形，且底面对角线的夹角为60°，对角面的面积为S，求此直四棱柱的侧面积.思路分析：此题应可以将对角线大胆的设元，目的是方便列方程，将对角线设出，但设而不解.因此，底面两条边以及对角线全部用母线长l来表示，在最后进行侧面积的计算时，刚好约去l.解：如图所示，设底面两边分别为a、b，侧棱长为l，图11-(6,7)-3底面对角线长为t，则AC=BD=t，设AC与BD相交于O点，则∠AOD=60°，∠AOB=120°,∴△AOD是等边三角形.∴AD=OA=AC=t.∴△AOB是顶角为120°的等腰三角形，AB=OA=t.又∵对角面的面积为S，S=t·l，∴t=.∴AD=t=，AB=t=.∴S侧=c·l=2(AD+AB)l=(+)l=(+1)S.问题探究问题球与长方体、正方体的切、接问题较复杂,一般将球转化为平面问题解决.如下例:棱长为2cm的正方体容器盛满了水，把半径为1cm的铜球放入水中，铜球刚好被淹没.现向正方体内放入一个铁球，使它淹没在水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多少？导思:铜球放入正方体容器刚好被淹没，相当于球内切于正方体，再放入一个铁球，要使流出的水量最多，就是使铁球与水面相切，画出过正方体的对角面的截面图，转化为平面问题求解.探究：图11-(6,7)-4是正方体的对角面的截面图.AC1=，AO=，AS=AO-OS=-1.设铁球的半径为r，tan∠C1AC=. 图11-(6,7)-4在△AO1D中，AO1=r，∴AS=AO1+O1S=r+r.又AS=-1，∴r+r=-1,r==(2-)cm.故铁球的半径为(2-)cm.单独说球很简单，因为球有多方位对称性，但是当球被平面所截，特别是与多面体切接时，问题的难度就大大增加了.要充分发挥空间想象力，把有关球的问题转化为平面问题，熟记一些常见的球与多面体组成的组合体的截面图，将有利于解题.