数学必修2人教A：133球的表面积与体积

第三课时球的表面积与体积（-）教学目标1.知识与技能（1）了解球的表而积与体积公式（不要求记忆公式）.（2）培养学生空I'可想彖能力和思维能力.2.过程与方法通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量Z间的关系.3.情感、态度与价值让学生更好地认识空间儿何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.（二）教学重点、难点重点：球的表面积少体枳的计算难点：简单纽合体的体积计算（三）教学方法讲练结合教学过程教学内容师牛可动设计意图新课引入复习柱体、锥体、台体的表血积和体积，点出主题.师牛共同复习，教师点出点题（板书）复习巩固探索新知1.球的体积：V=-7rRy32.球的表而积：S=4ttR2师：设球的半径为R,那么它的体积：V=-ttR\它的3面积S=4兀疋现在请人家观察这两个公式，思考它们都有什么特点？生：这两个公式说明球的体积和农而积都山球的半径R惟一确定•其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径的二次函数.师（肯定）：球的体积公式和球的表而积公式以后可以证明.这节课主耍学习它们的应用.加强对公式的认识培养学生理解能力 典例分析例1如图，圆柱的底而直径与仟高都等于球的直［梨w径.求证：（1）球的体积等于圆柱体积的？；3（2）球的表而积等于圆柱的侧血积.证明：（1）设球的半径为R,教师投影例1并读题，学生先独立完成•教师投影答案并点评（木题联系各有关量的关键性耍素是球的半径）木题较易，学生独立完成，有利丁•培养学生问题解决的能力. 通过师生讨论，突破问题解决的关键，培养学生空间想象能力和问题解决的能力.则圆柱的底面半径为R,高为2R.因为$=-ttR\3=ttR1-2R=2ttR3,2所以，％•(2)因为Sj求=4ttR2,5则柱傀=2龙R■2R=4兀R~»■所以，S球=S画柱测.例2球与圆台的上、下底血及侧面都相切，H球而面积与恻台的侧面积之比为3:4,则球的体积与圆台的体积Z比为()A.6:13B.5:14C.3:4D.7:15【解析】如图所示，作圆台的轴截而等腰梯形ABCD,球的人圆心圆台的上、下底而半径分别为门、广2,由平面几何知识知,圆台的高为2R,母线长为M+r2.VZAOB=90°,OE丄AB(E为切点)，・\R2=OE2=AEBE=ri・r2.rh已知s球：s関台侧=47F：n(n+r2)2=3：47r(r\+r2)2=—/?2.3-7CR3v球：v圆台=3兀斤十也十才)・2/?教师投影例2并读题，师：请人家思考一下这道题小组合体的结构特征.生：球内切于圆台.师：你准备怎样研究这个组合体？生：画出球和恻台的轴截面.师：圆台的高与球的哪一个量相等？生：球的直径.师：根据球和圆台的体积公式，你认为木题解题关键是什么？牛：求出球的半径与圆台的上、下底而半径间的关系.师投影轴截而图，边分析边板书有关过程.师：简单几何体的切接问题，包括简单儿何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决. _2R22R2_6(r.+r2)2-r,r2也r2_r2133故选A.例3在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两垂直且PA二PB=PC=a,求这个球的休积.解TPA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC=ci.・••以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体.•又TP、A、B、C四点是球面上四点，・・・球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的宜径.°・•・2R=y/3a,R=—a.2V=—7tR3=—7T(—Q)‘332巧3=——na2教师投影例3并读题,学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，最后由学生分析，教师板书有关过程.师：计算球的体积，首先必须先求出球的半径•由于PA、PB、PC是两两垂直的而且相等的三条棱，所以P-ABC可以看成一个正方体的一角，四点P、A、B、C在球上，所以此球可视为〃、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球,其直径为正方体的对角线.木题有两种解题Jj法,此处采用构造法解题，目标培养学生联想，转化化归的能力•另•种方法，因要应用球的性质，可在以后讨论.随堂练习1.(1)将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的儿倍？(2)一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是acm,求球的体积.(3)—个球的体积是100cm2,试计算它的表面积(兀取3.14,纟課精确到1cm2,可用计算器).参考答案：1.(1)8佬(2)—Tracm36(3)104.学生独立完成巩固所学知识归纳总结1.球的体积和表面积2.等积变换3.轴截而的应用学生独立思考、归纳，然后师牛共同交流、完善归纳知识，提高学牛口我整合知识的能力.课后作业1.3第「课吋习案学生独立完成固化练习提升能力备用例题 例1・已知过球面上三点A、B、C的截而到球心的距离等于球半径的一半，且AC二BC=6,AB=4,求球而而积与球的体积.【分析】可以川球的截面性质。即截面小恻的恻心到球心的线段垂直于截面小圆平面.【解析】如图，设球心为0,球半径为心作0。丄平面ABCT0|,由0A=0B=0C=R,则0|是厶ABC的外心.设M是AB的中点，由于AC二BC,则0\WCM.设0lM=xf易知0M丄AB,则0{A=血+疋,0xC=CM-0xM=^62-22-x乂0}A=0iC:.V2rT7=V6r^2F-x.mx=—则OS=0iB=0}C=在Rt/\00}A中，0Q二ZOOS=90°，OA=/?,山勾股定理得（-）2+（—）2=/?2.解得/?=—.例2.如图所示棱锥P-ABCD底而ABCD是正方形，边长为d,PD=°,PA=PCWa,且PD是四棱锥的高.yk（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；I夕■•弋（2）求四棱锥外接球的半径.\/AyL【分析】（1）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最人，即球心图4—3—9到各个面的距离均相等，联想到用体积分割法求解.（2）四棱锥的外接球的球心到P、4、B、C、D五点的距离均为半径，只要找出球心的位置即可.球心O在过底而中心EflSfL于底面的垂线上.【解析】（1）设此球半径为R,最大的球应与四棱锥各个而都相切，设球心为S,连结SA、SB、SC、SP,则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R. SPAB222Shabcd=aVp-ABCD=%-PDA+%-PDC+VS-ABCD+%-PAR+匕-PBC'§a=3R(SpAD+SPDC+SpAB+SPBC+SABCD)'131D/1212a/22"x/^22\—a'=—R(—CTH—CTHCTHer+a_)，c图4—3—10332222所以-(2+x/2)a2=-a3,R=^L==k2Ha即球的最人半径为（!-—）«（2）法一：设PB的中点为F.332+*v22因为在RtAPDB中，FP=FB=FD,在RtAPABFA=FP=FB,在RtAP^C中，FP=FB=FC,所以FP=FB=FA=FC=FD.所以F为四棱锥外接球的球心，则FP为外接球的半径.法二:球心O在如图EF上，设OE=x,EA=—a,R=>JeA2+OE2=J-a2+x2=OA2V2又OP=J(G—切2+DE?=J(a—兀)2+*/得"守即球心O在PB中点F上.【评析】方法二为求多而体（底而正多而边形）外接球半径的通法；求多而体内切球半径经常采用体积分割求和方法.