空间几何体的表面积和体积

学习必备欢迎下载41中高三数学第一轮复习—空间几何体的表面积和体积一．命题走向由于本讲公式多反映在考题上，预测008年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；二．要点精讲1．多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体积(V)棱柱直截面周长×lS底·h=S直截面·h棱S侧+2S底柱直棱柱chS底·h棱锥各侧面积之和棱11S侧+S底S底·h锥正棱锥ch′32棱台各侧面面积之和1h(S上底+S下底棱31S侧+S上底+S下底台正棱台(c+c′)h′2+S下底S下底)表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。2．旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2πrlπrlπ(r1+r2)l22π(r1+r2)l+π(r1+r2)2S全2πr(l+r)πr(l+r)4πR221212243Vπrh(即πrl)πrhπh(r1+r1r2+r2)πR333表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。四．典例解析题型1：柱体的体积和表面积2例1．一个长方体全面积是20cm，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm(2xyyzzx)20)1(依题意得：(4xyz)24)2(2222由（2）得：x+y+z+2xy+2yz+2xz=36（3）222由（3）－（1）得x+y+z=162即l=16所以l=4(cm)。精品学习资料可选择pdf第1页，共11页----------------------- 学习必备欢迎下载点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例2．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2=_____。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh。∵E、F分别为AB、AC的中点，1∴S△AEF=S,41117V1=h(S+S+S)=Sh344125V2=Sh-V1=Sh，12∴V1∶V2=7∶5。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。题型2：锥体的体积和表面积P例3．（2006上海，19）在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交D于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角AC为60，求四棱锥P－ABCD的体积？O解：（1）在四棱锥P-ABCD中，由PO⊥平面ABCD,B得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO=60°。在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,由PO⊥BO，于是PO=BOtan60°=3，而底面菱形的面积为23。1∴四棱锥P－ABCD的体积V=×23×3=2。3点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。A例4．（2006江西理，12）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，OD设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则F必有（）A．S1S2B．S1S2BEC．S1=S2D．S1，S2的大小关系不能确定C精品学习资料可选择pdf第2页，共11页----------------------- 学习必备欢迎下载解：连OA、OB、OC、OD，则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFDVA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。题型3：棱台的体积、面积例5．（1）（1998全国，9）如果棱台的两底面积分别是S、S′，中截面的面积是S0，那么（）2A．2S0SSB．S0SSC．2S0＝S＋S′D．S0＝2S′S（2）（1994全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（）A．323B．283C．243D．203解析：（1）解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A；3232（2）正六棱台上下底面面积分别为：S上＝6··2＝63，S下＝6··4＝243，441V台＝h(S上S上S下S下)283，答案B。3点评：本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。题型6：圆柱的体积、表面积及其综合问题例6．（2000全国理，9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）12141214A．B．C．D．242解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h=2πr.222222∴S全=2πr+（2πr）=2πr（1+2π）.S侧=h=4πr，S全12∴。答案为A。S侧2点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。精品学习资料可选择pdf第3页，共11页----------------------- 学习必备欢迎下载例7．（2003京春理13，文14）如图9—9，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适R量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则=。r2解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加πR·r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，432R2323因此有πr=πRr。故。答案为。3r33点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。题型4：圆锥的体积、表面积及综合问题例8．（1）（2002京皖春，7）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）9753A．πB．πC．πD．π2222图（2）（2001全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（）A．3πB．33πC．6πD．9π解析：（1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥C—ADE与圆锥B—ADE体积之差，又∵求得AB=1。1513∴VVCADEVBADE331，答案D。3232112（2）∵S＝absinθ，∴asin60°＝3，222∴a＝4，a＝2，a=2r，2∴r＝1，S全＝2πr＋πr＝2π＋π＝3π，答案A。点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。精品学习资料可选择pdf第4页，共11页----------------------- 学习必备欢迎下载例9．（2000全国文，12）如图所示，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（）1111A．B．C．D．342222图1212解析：如图所示，由题意知，πrh＝πRh，36R∴r＝．又△ABO∽△CAO，22rOA2RR∴，∴OA＝r·R＝,OA，OAR422图OA1∴cosθ＝，答案为D。4R2点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。题型5：球的体积、表面积例10．已知过球面上ABC,,三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且ABBCCA2，求球的表面积。解：设截面圆心为O，连结OA，设球半径为R，2323则OA2，323222在RtOOA中，OAOAOO，223212∴R()R，344∴R，3264∴S4R。9点评：正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。精品学习资料可选择pdf第5页，共11页----------------------- 学习必备欢迎下载例11．如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,∴AB=BC=CA=2a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。2a6由正弦定理，得=2r,∴r=a。sin603又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，22222223∴P、O、O′共线，球的半径R=rd。又PO′=PAr=aa=a，33322322623∴OO′=R－a=d=Rr,(R－a)=R–(a)，解得R=a,333222∴S球=4πR=3πa。点评：本题也可用补形法求解。将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体3内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a,下略。2题型9：球的面积、体积综合问题例12．（1）（2006四川文，10）如图，正四棱锥PABCD底面的四个顶16点ABCD,,,在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果VPABCD，3则球O的表面积是（）A．4B．8C．12D．16（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积。解析：（1）如图，正四棱锥PABCD底面的四个顶点精品学习资料可选择pdf第6页，共11页----------------------- 学习必备欢迎下载2ABCD,,,在球O的同一个大圆上，点P在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，SABCD2R，161216VPABCD，所以2RR，R=2，球O的表面积是16，选D。333（2）作轴截面如图所示，CC6，AC2623，设球半径为R，222则ROCCC22(6)(3)9∴R3，243∴S球4R36，V球R36。3点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素。例13．表面积为324的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积。解：设球半径为R，正四棱柱底面边长为a，则作轴截面如图，AA14，AC2a，2又∵4R324，∴R9，22∴ACACCC82，∴a8，∴S6423214576表精品学习资料可选择pdf第7页，共11页----------------------- 学习必备欢迎下载题型6：球的经纬度、球面距离问题例14．在半径为13cm的球面上有ABC,,三点，ABBCAC12cm，求球心到经过这三点的截面的距离。解：设经过ABC,,三点的截面为⊙O，设球心为O，连结OO，则OO平面ABC，32∵AO1243，2322∴OOOAOA11，所以，球心到截面距离为11cm．2例15．在北纬45圈上有,AB两点，设该纬度圈上,AB两点的劣弧长为R（R为地4球半径），求,AB两点间的球面距离。2解：设北纬45圈的半径为r，则rR，设O为北纬45圈的圆心，AO'B，4222∴rR，∴RR，424∴，∴AB2rR，2∴ABC中，AOB，3所以，,AB两点的球面距离等于R．3点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，例16．地球半径为R，A、B两地都在北纬45°线上，且A、B的球面距离为，求A、B两地经度的差.解：90度精品学习资料可选择pdf第8页，共11页----------------------- 学习必备欢迎下载空间几何体的表面积和体积思维总结1．正四面体的性质设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的2(1)全面积：S全=3a；23(2)体积：V=a；122(3)对棱中点连线段的长：d=a；26(4)内切球半径：r=a；126(5)外接球半径R=a；4(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。2．直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面体有下列性质：如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c。则：①不含直角的底面ABC是锐角三角形；②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；1③体积V=abc；61222222④底面△ABC=abbcca；22⑤S△ABC=S△BHC·S△ABC；2222⑥S△BOC=S△AOB+S△AOC=S△ABC1111⑦=++;2222OHabc1222⑧外切球半径R=abc；2SAOBSBOC-SABC⑨内切球半径r=abc3．圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.①如图，圆锥的顶角为β，母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，底面半径为r，则hsinα=cos=，2lα+=90°2精品学习资料可选择pdf第9页，共11页----------------------- 学习必备欢迎下载rcosα=sin=.2l②圆台如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，上、下底面半径分别为r′、r，则h=lsinα，r-r′=lcosα。③球的截面用一个平面去截一个球，截面是圆面.(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；(3)球心和截面距离d,球半径R，截面半径r有关系：22r=R-d.4．经度、纬度：经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数。纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。精品学习资料可选择pdf第10页，共11页----------------------- 学习必备欢迎下载5.两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离两点的球面距离公式：（其中R为球半径，为A,B所对应的球心角的弧度数）精品学习资料可选择pdf第11页，共11页-----------------------