空间几何体的表面积和体积

简单几何体的表面积和体积 表面积、侧面积表面积：立体图形的各个面积之和叫做它的表面积。（每个面的面积相加）侧面积指立体图形的各个侧面的面积之和（除去底面） 棱柱、棱锥、棱台的侧面积侧面积所指的对象分别如下：棱柱----直棱柱。棱锥----正棱锥。棱台----正棱台 1.把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？ 思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？宽＝长方形 ①直棱柱：设棱柱的高为h，底面多边形的周长为c，则S直棱柱侧＝.（类比矩形的面积）②圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么S圆柱侧＝.（类比矩形的面积）ch2πrl知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积(1)柱体的侧面积 棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？h正棱柱的侧面展开图2.棱柱、棱锥、棱台的展开图及表面积求法 圆柱的侧面展开图是矩形3.圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积求法圆柱O 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？正三棱锥的侧面展开图棱锥的展开图 把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？ 思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？扇形 ①正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为c，斜高为h′，则S正棱锥侧＝.（类比三角形的面积）②圆锥：如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么S圆锥侧＝.（类比三角形的面积）1∕2ch′πrl(2)锥体的侧面积 侧面展开正五棱锥的侧面展开图棱锥的展开图 圆锥的侧面展开图是扇形O圆锥 把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？（类比梯形的面积） 思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？扇环 ①正棱台：设正n棱台的上底面、下底面周长分别为c′、c，斜高为h′，则正n棱台的侧面积公式：S正棱台侧＝.②圆台：如果圆台的上、下底面半径分别为r′、r，母线长为l，则S圆台侧＝．1∕2(c＋c′)h′Πl(r＋r′)(3)台体的侧面积注：表面积＝侧面积＋底面积． 侧面展开h'h'正四棱台的侧面展开图棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱台的展开图 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么．OO’圆台的侧面展开图是扇环圆台 OO’侧圆台侧面积公式的推导 OO’圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？Or’＝r上底扩大Or’＝0上底缩小 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，h'棱柱、棱锥、棱台的表面积它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和 例1：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的侧面积.分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E 例2：圆台的上、下底面半径分别为2和4，高为，求其侧面展开图扇环所对的圆心角分析：抓住相似三角形中的相似比是解题的关键小结：1、抓住侧面展开图的形状，用好相应的计算公式，注意逆向用公式；2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆锥中解决圆台问题，注意相似比.答：1800 例：圆台的上、下底半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是1800，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留π） 小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键；2、对应的面积公式C’=0C’=CS圆柱侧=2πrlS圆锥侧=πrlS圆台侧=π（r1+r2)lr1=0r1=r2 练习1：一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为______;答：60练习2：正四棱锥底面边长为6,高是4，中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱台的侧面积 例3已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．DBCAS分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．因为BC=a，所以：因此，四面体S-ABC的表面积．交BC于点D．解：先求的面积，过点S作， 思考：怎样求斜棱柱的侧面积？1）侧面展开图是——平行四边形2）S斜棱柱侧=直截面周长×侧棱长3）S侧=所有侧面面积之和 简单几何体的体积 几何体占有空间部分的大小叫做它的体积一、体积的概念与公理: 公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。V长方体=abc推论1、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。V长方体=sh推论2、正方体的体积等于它的棱长a的立方。V正方体=a3 公理2、夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。PQ幂势既同，则积不容异祖暅原理 定理1：柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积s和高h的积。V柱体=sh二：柱体的体积推论：底面半径为r，高为h圆柱的体积是V圆柱=r2h 三:锥体体积例2：如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.ABDCD1C1CDABCD1ADCC1D1A答:可分成棱锥A-D1DC,棱锥A-D1C1C,棱锥A-BCD.问：（1）从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥？ 3.1．锥体（棱锥、圆锥）的体积（底面积S，高h）注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离问题:锥体(棱锥、圆锥）的体积 定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：推论：如果圆锥的底面半径是ｒ，高是ｈ，那么它的体积是：hSSＶ锥体＝ＳｈＶ圆锥＝πｒ２ｈSh ss/ss/hx四.台体的体积V台体=上下底面积分别是s/,s,高是h，则 推论：如果圆台的上,下底面半径是r1.r2,高是ｈ，那么它的体积是：Ｖ圆台＝πh 五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？S为底面面积，h为柱体高S分别为上、下底面面积，h为台体高S为底面面积，h为锥体高上底扩大上底缩小 (1)长方体的体积V长方体＝abc＝.(其中a、b、c为长、宽、高，S为底面积，h为高)(2)柱体(圆柱和棱柱)的体积V柱体＝Sh.其中，V圆柱＝πr2h(其中r为底面半径)．Sh知识点二．柱、锥、台、球的体积 (3)锥体(圆锥和棱锥)的体积V锥体＝Sh.其中V圆锥＝，r为底面半径．1∕3πr2h (4)台体的体积公式V台＝h(S＋＋S′)．注：h为台体的高，S′和S分别为上下两个底面的面积．其中V圆台＝．注：h为台体的高，r′、r分别为上、下两底的半径．(5)球的体积V球＝.1∕3πh(r2＋rr′＋r′2)1∕3πR3 例 从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A－BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？ 1．求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法．几何体的体积小结2．计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题． 球的表面积与体积 RR球的体积：一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等。探究 RR 第一步：分割O球面被分割成n个网格，表面积分别为：则球的表面积：则球的体积为：设“小锥体”的体积为：O知识点三、球的表面积和体积（ O第二步：求近似和O由第一步得： 第三步：转化为球的表面积如果网格分的越细,则:①由①②得:②球的体积:的值就趋向于球的半径RO“小锥体”就越接近小棱锥。 设球的半径为R，则球的体积公式为V球＝.4∕3πR3例1．(2009年高考上海卷)若球O1、O2表面积之比＝4，则它们的半径之比＝______. (1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—倍。(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的—倍。(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是———。(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是———。例2： 例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。关键：找正方体的棱长a与球半径R之间的关系 OABC例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r， 题型一几何体的展开与折叠有一根长为3πcm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少？把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离.题型分类深度剖析 解把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD（如图所示），由题意知BC=3πcm，AB=4πcm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.故铁丝的最短长度为5πcm. 题型三多面体的表面积及其体积一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥的体积.本题为求棱锥的体积问题.已知底面边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积和高，再根据体积公式求出其体积.解如图所示，正三棱锥S—ABC.设H为正△ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高. 连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.∵△ABC是边长为6的正三角形， 题型四组合体的表面积及其体积(12分)在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合,求形成的三棱锥的外接球的体积.易知折叠成的几何体是棱长为1的正四面体，要求外接球的体积只要求出外接球的半径即可.解由已知条件知，平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.∴折叠后得到一个正四面体.2分 方法一作AF⊥平面DEC，垂足为F，F即为△DEC的中心.取EC的中点G，连接DG、AG，过球心O作OH⊥平面AEC.则垂足H为△AEC的中心.4分∴外接球半径可利用△OHA∽△GFA求得.在△AFG和△AHO中，根据三角形相似可知，6分10分12分 方法二如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球.3分∵正四面体的棱长为1，∴正方体的棱长为，6分9分12分