2018-2019学年高中数学人教A版必修2 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积 练习

1.3.2 球的体积和表面积【选题明细表】知识点、方法题号球的表面积、体积1,3,7,9与球有关的“切”“接”问题2,4,5,6,8,10,111.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,这两个球的半径之差为( C )(A)4(B)3(C)2(D)1解析:令S球1=4πR2,S球2=4πr2,由题可知4πR2-4πr2=48π,①又2πR+2πr=12π,②得R-r=2.2.(2018·河南平顶山高一期末)长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点落在球O的表面上,已知AB=3,AD=4,BB1=5,那么球O的表面积为( D )(A)25π(B)200π(C)100π(D)50π解析:由长方体的体对角线为外接球的直径,设球半径为r,则2r==5,则r=,4πr2=4×()2π=50π.3.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是( B )(A)4(B)3(C)2(D)5解析:BD=,AC=2,CD=OD-OC=-=-=1.解得R=3.4.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是( D )(A)cm(B)2cm(C)3cm(D)4cm 解析:设球的半径为r,则V水=8πr2,V球=4πr3,加入小球后,液面高度为6r,所以πr2·6r=8πr2+4πr3,解得r=4.故选D.5.已知圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,则该圆柱的体积是( D )(A)π(B)(C)(D)6π解析:如图所示,圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,所以该圆柱底面圆周半径为r==,所以该圆柱的体积为V=Sh=π·()2·2=6π.故选D.6.(2018·湖南郴州二模)底面为正方形,顶点在底面的投影为底面中心的棱锥PABCD的五个顶点在同一球面上,若该棱锥的底面边长为4,侧棱长为2,则这个球的表面积为    . 解析:正四棱锥PABCD外接球的球心在它的高PO1上,记为O,OP=OA=R,PO1=4,OO1=4-R,或OO1=R-4(此时O在PO1的延长线上).在Rt△AO1O中,R2=8+(R-4)2得R=3,所以球的表面积S=36π.答案:36π7.如图所示(单位:cm)四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.解:S球=×4π×22=8π(cm2),S圆台侧=π(2+5)=35π(cm2),S圆台下底=π×52=25π(cm2),即该几何体的表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).又V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),V半球=××23=(cm3).所以该几何体的体积为V圆台-V半球=52π-=(cm3).8.(2018·高一测试)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是π,那么这个三棱柱的体积是( D )(A)96(B)16(C)24(D)48解析:设球的半径为R,由πR3=π,得R=2.所以正三棱柱的高为h=4,设其底面边长为a,得×a=2,a=4.所以V=×(4)2×4=48.9.某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9g/cm3),每个钢球重145kg,并且外径等于50cm,试根据以上数据,判断钢球是空心的还是实心的.如果是空心的,请你计算出它的内径(π取3.14,结果精确到1cm,2.243≈11.24098).解:由于外径为50cm的钢球的质量为7.9×π×()3≈516792(g),街心花园中钢球的质量为145000g,而145000