球的体积教案

球的体积教案  教学目的  通过“球的体积”的教学，不仅要求学生熟记球的体积公式，更要培养学生观察、估算、猜想、构造和论证能力．并注意完善学生的认知结构．  [若只要求学生记住有关公式，剩下的就是反复练习——解几个一元方程；已知半径求体积；已知体积求半径，……；这是降低教学要求．]  教学过程  师：(板书)已知球的半径为R，求V球=？(出示小黑板——图1．)  [思维从问题开始．]  师：为了计算半径为R的球的体积，可以先计算半球的体积V半球．观察图1，你一定能在V圆柱、V半球、V圆锥这三个量之间正确地写上不等符号(学生完成)，得V圆柱＞V半球＞V圆锥．  [提供类比，让学生目测大小，温故而知新，用以强化认识过程．]    [向“量化”过渡．]  你能猜测V半球=？  [引诱学生猜想．猜想是发现的开始！]  生：……     师：可以大胆一些，准许猜错．    (此答案不一定出自成绩最好的学生，而是胆大者，思维活跃者．)    [既鼓励，又提出更高要求，使学生仍处于激奋境地．]  (用行动支持敢于大胆猜想的学生．)  师：我们不妨做一个试验，用以验证这个猜想．  [理、化有实验，数学也可以有实验．美国盛行“数学实验数学法”，这对激发学生学习兴趣，培养学习能力都十分有利．]  (取一个半径为R的半球面，再取半径和高都是R的圆桶和圆锥各一个，都是铁皮制成的容器．将圆锥放入圆桶内(图2)，再将半球容器装满细沙，然后把半球内的细沙倒入圆桶内，发现圆桶恰好被装满．)  师：你能将实验结果用一个等式表达出来吗？  [鼓励学生将实验结果“量化”(构造一个等式)是十分重要的数学方法．]  生甲：(板书．)V圆柱－V圆锥=V半球．  生乙：(板书．)V半球=V圆柱－V圆锥   师：于是得(板书)  且V圆柱∶V半球∶V圆锥=3∶2∶1．  师：中学数学是建立在推理的基础上的，实验结果是否可靠，还要进行论证才行．  [中学理、化是建立在实验基础上的．用数学工具去证明实验结果，学生兴趣盎然．]  师：我们现在的任务是证明这个实验结果．或者说，是要证明图2右边充满细沙的几何体与左边充满细沙的半球是等积形．而右边几何体的体积是已知的．(板书．)  如果再能证明它又符合祖暅原理中的“条件”，我们就可以将它作为半球的参照体了．  (为了运用祖暅原理，所引入的几何体必须符合两个条件：一是它的计算公式是已知的；二是它符合祖暅原理的条件，即该几何体与原几何体要夹在两个平行平面之间，且用平行于这两个平面的任意一个平面去截时，截得的截面面积总相等，符合以上两个条件的几何体可叫做原几何体的参照体．在前面推导柱、锥的体积的多次教学中应该引用这个术语，让学生熟悉祖暅原理与该术语的关系．)  该几何体与半球同高(R)，这说明它与半球可以夹在两个平行平面之间，剩下的问题是要证明它与半球的等距截面的面积相等．  用与底面平行的任一平面去截图2的两个几何体(图3)，截面分别是圆面和圆环 R，小圆半径为l，因此  S圆=πr2=π(R2－l2)，  S圆环=πR2－πl2=π(R2－l2)，  所以S圆=S环．  根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即    由此，“猜想”得到证明，可以写成定理形式：  [从猜想到证明是“质”的升华！是学习数学的最重要的素质．]  定理：如果球的半径是R，那么它的体积是    师：你准备怎样记忆这个结论呢？  [不管是意义识记或是机械识记，在这里都是有效的，都是可行的．根据各个学生的学习习惯，不必强求一律．]  生甲：根据“细沙实验”，    生乙：我只要记住  V圆柱∶V半球∶V圆锥=3∶2∶1就行了．   师：还有其他的记忆方法吗？例如，把球体视为拟柱体，采用拟柱体的体积公式试试看．  [数学教师要不要培养学生的记忆能力，这是有争议的．看来，数学教师有可能，也有必要去培养学生的记忆能力．]  生：(板演)      (随时复习与应用拟柱体体积公式．)  师：这能作为球体积公式的证明吗？  生：球体不是拟柱体，不能作为证明，但可以作为一种记忆方法．  师：还有其他的记忆方法吗？例如，将球体分割成许多小的锥体，球心是这些小锥体的顶点，锥的底面不是平面，而是球面的一小部分(是曲面)请看图4．  [是重要的数学思想．]  于是，V球=许多小锥体之和，而这许多小锥体的高可视为球半径R．又因为所有小锥体的底面之和=球面积=4πR2，所以     [发展学生的空间想象能力．]  同样，这也不能作为球体积公式的证明．但是，使人感到兴趣的是，拟柱体、小锥体与球体的这种“默契”，这种内部的一致，给人们以合谐的感觉，它不仅帮助人们记忆，还给人以和谐美的感受！  [升华了！]  师：现在再请大家自己解答一个问题：(板书．)  [不十分困难的例题由学生自己解答，然后再对照课本并进行议论，有时比教师直接讲解要收效大些，不妨一试．]  有一种空心钢球，重142g，测得外径等于5.0cm，求它的内径(钢比重是7.9g/cm3)．  师：这是课本的例题，解完后自行对照课本．  (学生议论，同时由一位学生板演．)  师：今天这堂课的关键是构造一个球的参照体，而“细沙实验”帮助我们解决了这个问题．你能离开实验，经过分析直接构造这个参照体吗？  (代替小结，将课内效果引向课外——直接构造参照体．)  教案说明  这份教案显然是写给别人看的，如果只是为了自己教学，我想，只要记下教学过程就行了：  (1)提出问题：V球=？  (2)自测圆柱、半球、圆锥这三者之间的大小关系(图1)．    (4)细沙实验——验证“猜想”．  (5)构造参照体，证明“猜想”．  (6)得定理、谈记忆．  (7)例题、小结、作业．  我为什么要采取上面这几个环节？理由如下：   目前的数学教材是从少数公理和原理出发，通过演绎，将知识展开．于是，过程(1)～(4)都可以省略．并且，“参照体”也是由教材直接给出的(不需要构造)．师生的和方法用定论的形式直接呈现在学生面前，新、旧知识的衔接点直接给出，内化任务很快就完成．因此，这种做法的优点是直截了当，节约时间；缺点是学生缺乏一个完整的认识过程，把知识或方法不是作为“过程”而是作为“结果”直接抛给学生．长此以往，越“抛”越多，学生头脑中很难形成一个有效的认知结构，结果成绩分化，出现大量差生．  反之，插入环节(1)～(4)，则环节(5)的“构造参照体”(这是全课的关键)就十分自然．从“目测”到“猜想”，这是“发现”；从“猜想”到“实验”，这是强化“发现”，而环节(5)则是内化．这种先发现后内化的过程又是在教师指导下进行的，教师的主导作用和学生的学习积极性十分融洽．  “目测”、“大胆猜想”、“实验”等环节，所有差生都有发言权，优生也不乏味；从“实验”到“构造参照体”，随流而下，直闯关键(出现参照体)，终达彼岸(得定理)．最后“谈记忆”，生动活泼，乃至升华；“小结提问”，余味不尽．  数学教学的实质是思维过程的教学，“直截了当”则掩盖了“思维过程”，把知识和方法不是作为思维过程暴露在学生面前，而是作为结果抛给学生，这种“奉送”的做法势必回避了数学思想的培养．长此以往，学生的数学素质很难得到提高．  最后，还要说明一点，“构造参照体”是本课的难点，本教案采用了“细沙实验”，也就回避了“构造性困难”，因此本教案是为普通班设计的．而“好班”就不应该回避构造困难，何况“构造参照体”是运用祖暅原理的关键，也是学习这一段教材(从柱体开始)的关键所在．因此，建议根据学生情况补充下述内容：  参照体与祖暅原理  为了利用祖暅原理计算某个几何体的体积，常要构造另一个几何体，此几何体必须符合两个条件：(1)它的计算公式是已知的；(2)它符合祖暅原理的条件，即该几何体与原几何体能夹在两个平行平面之间，且用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时，截得的截面面积总相等．为了下面的叙述方便起见，把符合这两个条件的几何体叫做原几何体的参照体，或简称参照体．  用祖暅原理求几何体的体积，关键在于构造参照体．  轴，求该旋转体的体积．   解将此旋转体放在平面α上(图5)，用与平面α平行且相距h的平面去截，得  这说明参照体的截面可以是一个矩形，其一边长π，另一边长为变量h．于是得  [例2]求半径为R的半球的体积．  [例3]汽车内胎或游泳时用的救生圈是旋转体(图6)，它的母线是半径为r的圆，圆心与旋转轴MN的距离等于d(d＞r)，能否用构造参照体的思想方法去寻求它的体积公式？  解取环体的上半部研究，它的下底面是圆环(图6，外半径=d+r，内半径=d－r)，上底是半径为d的圆周(面积为零)，半环体的高为r．用平行于底面的平面去截，设截面距底面h(h＜r)，则截面是另一个圆环(图7)．     (变量)，据此，可构造一个参照体如下：取一个半径为r的圆为底面，高为4πd的圆柱的1/4，并将此1/4圆柱横卧(图8)，此参照体的体积为圆柱的1/4，由祖暅原理    此结论与直觉是一致的：将环体沿断面(图6中的小圆)切开后，拉直成一个圆柱，  [培养学生的直觉思维能力．]