2019年高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积课时作业（含解析）新人教a版

1.3.2 球的体积和表面积1.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,这两个球的半径之差为( C )(A)4(B)3(C)2(D)1解析:令S球1=4πR2,S球2=4πr2,由题可知4πR2-4πr2=48π,①又2πR+2πr=12π,②得R-r=2.2.长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点落在球O的表面上,已知AB=3,AD=4,BB1=5,那么球O的表面积为( D )(A)25π(B)200π(C)100π(D)50π解析:由长方体的体对角线为外接球的直径,设球半径为r,则2r==5,则r=,4πr2=4×()2π=50π.3.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )(A)72π(B)48π(C)30π(D)24π解析:由三视图可知,该几何体的上方是一个以3为半径的半球,下方是以3为底面半径,以5为母线长的圆锥,所以其体积V=×π×33+×π×32×=18π+12π=30π.4.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为S1,S2,则S1∶S2等于( C )(A)1∶1(B)2∶1(C)3∶2(D)4∶1解析:由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,设球的半径为1,则S1=6π,S2=4π.所以S1∶S2=3∶2,故选C.5.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形,如图所示,则( C ) (A)以上四个图形都是正确的(B)只有(2)(4)是正确的(C)只有(4)是错误的(D)只有(1)(2)是正确的解析:正三棱锥内接于球,故其各个顶点在球面上.如果过球心的截面恰好截得三棱锥的面为三角形,则根据其顶点是否在截面圆上,有如下讨论:①当用过球心且平行于三棱锥某底面的平面去截球时,三个点都不在截面圆上,则截面近似图(1);②当截面是过球心和三棱锥两个顶点的平面时,它交对棱于中点,中点不在球上,也就不在截面圆上,则该截面近似图(2);③当截面是过三棱锥一顶点和球心的平面时,截得的面除了图(2)的情况外,大都是如图(3)的情况,即另两点不在截面圆上;④当三棱锥的三个顶点都是截面圆上时,截面不过球心,与题意矛盾.故选C.6.已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( C )(A)(B)2(C)(D)3解析:如图所示,由球心作平面ABC的垂线,则垂足为BC的中点M.又AM=BC=,OM=AA1=6,所以球O的半径为R=OA==.故选C.7.一平面截一球得到直径是6cm的圆面,球心到这个圆面的距离是4cm,则该球的体积是( C ) (A)cm3(B)cm3(C)cm3(D)cm3解析:根据球的截面的性质,得球的半径R==5(cm),所以V球=πR3=(cm3).故选C.8.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是    cm. 解析:设圆柱底面半径是r,则πr2×8=πr2×6r-πr3×3,所以r=4.答案:49.边长为4的正方形ABCD的四个顶点在半径为5的球O的表面上,则四棱锥OABCD的体积是    . 解析:因为ABCD外接圆的半径r==4,又因为球的半径为5,所以球心O到平面ABCD的距离d==3,所以=×(4)2×3=32.答案:3210.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是    .  解析:依题意得,该多面体是球的一个内接正方体,且棱长为2.设该球的直径为2R,则2R==2,即R=,所以该球的表面积为4πR2=4π()2=12π.答案:12π11.如图,半径为2的半球内有一个内接正六棱锥PABCDEF,则此正六棱锥的侧面积是    . 解析:显然正六棱锥PABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆,由已知,可得大圆的半径为2.易得其内接正六边形的边长为2.又正六棱锥PABCDEF的高为2,则斜高为=,所以该正六棱锥的侧面积为6××2×=6.答案:612.如图所示(单位:cm)四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.解:S球=×4π×22=8π(cm2),S圆台侧=π(2+5)=35π(cm2),S圆台下底=π×52=25π(cm2),即该几何体的表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).又V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),V半球=××23=(cm3). 所以该几何体的体积为V圆台-V半球=52π-=(cm3).13.已知球心到过球面上A,B,C三点的截面的距离等于球的半径的一半,且AC=BC=6,AB=4,求球的表面积和体积.解:如图,设球心为O,球的半径为R,作OO1垂直平面ABC于点O1,由于OA=OB=OC=R,则O1是△ABC的外心,即O1A=O1B=O1C.设M是AB的中点,连接CM,由于AC=BC,则O1在CM上,设O1M=x,易知O1M⊥AB,则O1A=,O1C=CM-O1M=4-x.又O1A=O1C,所以=4-x,解得x=,则O1A=O1B=O1C=.在Rt△OO1A中,O1O=,∠OO1A=90°,OA=R.由勾股定理得()2+()2=R2,解得R=.故S球=4πR2=54π,V球=πR3=27π.14.已知正三棱锥SABC的所有棱长均为a,求SABC的外接球的体积. 解:设S在底面ABC上的射影为O1,球心为O,显然O在SO1上,连接AO1,OA,则AO1=·a·sin60°=a.所以SO1===a.设球的半径为R,在Rt△OO1A中,OA2=O+A,即R2=(a-R)2+(a)2,得R=a.所以外接球的体积V=πR3=πa3.15.在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( B )(A)4π(B)(C)6π(D)解析:由题意可得若V最大,则球与直三棱柱的部分面相切,若与三个侧面都相切,可求得球的半径为2,球的直径为4,超过直三棱柱的高,所以这个球放不进去,则球可与上、下底面相切,此时球的半径R=,该球的体积最大,Vmax=πR3=×=.故选B.16.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为( A ) (A)(B)(C)(D)解析:因为△ABC是边长为1的正三角形,所以△ABC的外接圆的半径r=,因为点O到面ABC的距离d==,SC为球O的直径,所以点S到面ABC的距离为2d=,所以棱锥的体积为V=S△ABC×2d=××=,故选A.17.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为    . 解析:设球的半径为R,则球的表面积为4πR2,设圆锥的底面半径为r,则圆锥的底面面积为πr2,由已知得πr2=×4πR2,所以r2=R2,由几何体的特征知,球心到圆锥底面的距离、球的半径以及圆锥底面的半径可以构成一个直角三角形, 由此可以求得球心到圆锥底面的距离h==R,所以两个圆锥的高分别为h1=R-h=R-R=R,h2=R+h=R.所以这两个圆锥中,体积较小者的高为R,体积较大者的高为R,故所求比值为.答案:18.如图所示,半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是    . 解析:由球的半径为4,可知球的表面积为64π.设内接圆柱底面半径为r,高为2h,则r2+h2=16.圆柱侧面积为2πr·2h=4πr·h=4π·=4π·=4π≤32π,故所求球的表面积与内接圆柱的侧面积之差的最大值为32π.答案:32π19.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体(四面体的每个面都是正三角形)的容器里,求这个正四面体的高的最小值.名师点拨:四个小球在正四面体内一定是两两相切的,球心连起来构成一个正四面体.解:由题意,如图所示,在正四面体SABC的底面上放三个钢球,上面再放一个钢球时,正四面体的高最小.且连接小钢球的球心又得到一个棱长为2的小正四面体MNEF,且两个正四面体的中心重合于点O,取△NEF的中心O1,连接NO1,则NO1=,MO1==.由正四面体的性质知其中心O与O1的距离OO1=MO1=.从而OO2=OO1+1=+1.故正四面体的高的最小值为4OO2=+4.