“球的体积”教学

“球的体积”教学编者按：马明先生的这篇用“祖暅原理”来推导“球的体积公式”的教案，风靡全国久矣。然现行高中立几教材对“球的体积公式”已不用“祖暅原理”来推导，而采用“分割，求近似和转化为准确和”的方法。本书之所以再次转载，是因为这篇教案魅力不减，仍极具教学参考和鉴赏阶值。一、教案描述：通过“球的体积”的教学，不仅要求学生熟记球的体积公式，更要培养学生观察、估算、猜想、构造和论证能力，并注意完善学生认知结构.[若只要求学生记住有关公式，剩下的就是反复练习——解几个一元方程：已知半径求体积；已知体积求半径，……这是降低教学要求，把高中课降为初中课的做法]师:（板书）已知球的半径为R，求V球=？（出示小黑板——图23）[思维从问题开始]师:为了计算半径为R球的体积，可以先计算半球的体积V半球.观察图23，你一定能在V圆柱、V半球、V圆锥这三个量之间正确地写上不等符号（学生完成）得V圆柱>V半球>V圆锥.[提供类比,让学生目测大小,温故而知新,用以强化认识过程]师:由于是已知的，便得双重不等式（板书）:V圆柱=V圆锥=[向“量化”过渡]你能猜测V半球=?[引诱学生猜想.猜想是发现的开始]生:……[诱导一下]师:(πR3的系数“1”改写为“”,得师:可以大胆一些,准许猜错.生:V半球=对吗?[此答案不一定出自成绩最好的学生,而是胆大者,思维活跃者]师:有一定理由,因为3/3>2/3>1/3嘛!然而,这太冒险了.[既鼓励,又提出更高要求,使学生仍处于激奋境地]6 [用行动支持敢于大胆猜想的学生]师:我们不妨做一个试验,用以验证这个猜想.[理、化有实验,数学也可以有实验,美国盛行“数学实验教学法”,这对激发学生学习兴趣,培养学习能力都十分有利][取一个半径为R的半球面,再取半径和高都是R的圆桶和圆锥各一个,都是铁皮制成的容器.将圆锥放入圆桶内(图24),再将半球容器装满细沙,然后把半球内的细沙倒入圆桶内,发现圆桶恰好被装满]师:你能将实验结果用一个等式表达出来吗?[鼓励学生将实验结果“量化”(构造一个等式)是十分重要的数学方法]生1:[板书]V圆柱―V圆锥=V半球生2:[板书]V半球=V圆柱―V圆锥=师:于是得(板书)V球=且V圆柱:V半球:V圆锥=3:2:1师:中学数学是建立在推理的基础上的,实验结果是否可靠?还要进行论证才行.[中学理、化是建立在实验基础上的][用数学工具去证明实验结果,学生兴趣盎然]师:我们现在的任务是证明这个实验结果,或者说,是要证明图23右边充满细沙的几何体与左边充满细沙的半球是等积形.而右边几何体的体积是已知的.[板书]该几何体的体积=6 .如果再能证明它又符合祖暅原理中的“条件”.我们就可以将它做为半球的参照体;[为了运用祖暅原理,所引入的几何体必须符合两个条件:①它的计算公式是已知的②它符合祖暅原理的条件;该几何体与原几何体要夹在两个平行平面之间,且用平行于这两个平面的任意一个平面去截时,截得的截面面积总相等.符合以上两个条件的几何体可叫做原几何体的参照体,在前面推导柱、锥的体积的多次教学中应该引用这个术语，让学生熟悉祖暅原理与该术语的关系]该几何体与半球同高(R),这说明它与半球可以夹在两个平行平面之间,剩下的问题是要证明它与半球的等距截面的面积相等.用与底面平行的任一平面去截图24的两个几何体,截面分别是圆面和圆环面(图25).如果截面与平面α的距离为l,那么圆面半径,圆环面的大圆半径为R,小圆半径为l,因此S圆=πr2=π(R2–l2),S圆环=πR2–πl2=π(R2–l2),所以S圆=S环根据祖暅原理,这两个几何体的体积相等,即V半球=所以V球=由此,“猜想”得到证明,可以写成定理形式:[从猜想到证明是“质”的升华!是学习数学的最重要的素质]定理:如果球的半径是R,那么它的体积是V球=师:你准备怎样记忆这个结论呢?[不管是意义识记或是机械识记,在这里都是有效的,都是可行的.根据各个学生的学习习惯,不必强求一律]生1:根据“细沙实验”V半球=V圆柱―V圆锥=V球=生2:我保要记住V圆柱:V半球:V圆锥=3:2:1就行了.师:还有其它的记忆方法吗?例如,把球体视为拟柱体,采用拟柱体的体积公工试试看.[数学教师要不要培养学生的记忆能力?这是有争议的.看来,数学教师有可能,也有必要去培养学生的记忆能力]生:[板演]6 V拟柱体=对于球,所以V球==[随时复习与应用拟柱体公式]师:这能作为球体积公式的证明吗?生:球体不是拟柱体,不能作为证明,但可以作为一种记忆方法.师:还有其它的记忆方法吗?例如,将球体分割成许多小的锥体,球心是这些小锥体的顶点,锥的底面不是平面,而是球面的一小部分(是曲面)请看图26.[是可贵的数学思想]于是V球=许多小锥体之和,而这许多小锥体的高可视为球半径R，又因为所有小锥体的底面之和=球面积=4πR2，所以V球=[发展学生的空间想象能力]同样，这也不能作为球体积公式的证明.但是,使人感到兴趣的是,拟柱体\小锥体与球体的这种“默契”,这种内部的一致,给人们和谐的感觉,它不仅可以帮助人们记忆,还给人以和谐美的感受![升华了]师:现在再请大家自己解答一个问题[板书][不十分困难的例题由学生自己解答,然后再对照课本并进行议论,有时比教师直接讲解要收效大些,不妨一试]有一种空心钢球,重142g,测得外径等于5.0cm,求它的内径(钢比重是7.9g/cm3).师:这是课本的例题,解完后自行对照课本.[同时由一位学生板演]议论:(略)师:今天这堂课的关键是构造一个球的参照体,而“细沙实验”帮助我们解决了这个问题.你能离开实验,经过分析直接构造这个参照体吗?[代替小结,将课内效果引向课外——直接构造参照体]二、教案分析这份教案显然是写给别人看的,如果只是为了自己教学,我想,只要记下教学过程就行了:1提出问题V求=?2目测圆柱、半球、圆锥这三者之间的大小关系3得猜想：V半球6 1细沙实验——验证“猜想”2构造参照体，证明“猜想”3得定理·谈记忆4例题·小结·作业我为什么要采取上面这几个环节？理由如下：目前的数学教材是从少数公理和原理出发，通过演绎，将知识展开.于是,过程1~4都可以省略.并且,“参照体”也是由教材直接给出的(不需要构造).师生的任务只是用演绎法推得V半球.这就是“内化”过程.由于教材总是把知识和方法用定论的形式直接呈现在学生面前,新、旧知识的衔接点直接给出,内化任务很快就完成.因此,这种做法的优点是直截了当,节约时间;缺点是学生缺乏一个完整的认识过程,把知识或方法不是作为“过程”而是作为“结果”直接抛给学生.长此以往,越“抛”越多,学生头脑中很难形成一个有效的认知结构,结果成绩分化,出现大量差生.反之,插入环节1~4,则环节5的“构造参照体”(这是全课的关键)就十分自然.从“目测”到“实验”,这是强化“发现”,而环节5则是内化.这种先发现后内化的过程又是在教师指导下进行的,教师的主导作用和学生的学习积极性十分融洽.“目测”、“大胆猜想”、“实验”等环节，所有差生都有发言权,优生也不乏味;从“实验”到“构造参照体”,随流而下,直闯关键(出现参照体),终达彼岸(得定理).最后“谈记忆”,生动活泼,乃至升华;“小结提问”,余味不尽.数学教学的实质是思维过程的教学,“直截了当”则掩盖了“思维过程”,把知识和方法不是作为思维过程暴露在学生面前,而是作为结果抛给学生,这种“奉送”的做法势必回避了教学思想的培养.长此以往,学生的数学素质很难得到提高.最后,还要说明一点,“构造参照体”是本课的难点,本教案采用了“细沙实验”,也就回避了“构造性困难”,因此本教案是为普通班设计的,而“好班”就不应该回避构造困难,何况“构造参照体”是运用祖暅原理的关键,也是学习这一段教材(从柱体开始)的关键所在.因此,建议根据学生情况补充下述内容:参照体与祖暅原理为了利用祖暅原理计算某个几何体的体积,常要构造另一个几何体,此几何体必须符合两个条件(1)它的计算公工是已知的;(2)它符合祖暅原理的条件,即该几何体与原几何体能夹在两个平行平面之间,且用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时,截得的截面面积总相等.为了下面的叙述方便起见,把符合这两个条件的几何体叫做原几何体的参照体,或简称参照体.例1旋转体的母线是抛物线的一部分,其方程为y=x2(0≤y≤H),y轴为旋转轴,求该旋转体的体积解将此旋转体放在平面α上,用与平面α平行且相距h的平面去截,得截面圆的面积=矩形面积(一边为常量π,另一边为变量h).6 这说明参照体的截面可以是一个矩形,其一边长π,另一边长为变量h,于是得参照体:以等腰直角三角形ABC为底面(两腰长H),高AA1=π的直三棱柱ABC-A1B1C1(图27的右侧)由于参照体的体积=底面积×高=,所以所求旋转体的体积=6