2019_2020学年高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积课时作业新人教A版必修220191118644

1.3.2 球的体积和表面积选题明细表知识点、方法题号球的表面积、体积1,2,6,8,11,12与球有关的三视图4,7与球有关的切接问题3,5,9,10基础巩固1.两个球的体积之比为8∶27,那么这两个球的表面积之比为( B )(A)2∶3(B)4∶9(C)∶(D)∶解析:(πr3)∶(πR3)=r3∶R3=8∶27,所以r∶R=2∶3,所以S1∶S2=r2∶R2=4∶9.2.一个正方体的表面积与一个球的表面积相等,那么它们的体积比是( A )(A)(B)(C)(D)解析:设正方体的边长为a,球的半径为R,则6a2=4πR2.则=,则=·()3=.故选A.3.(2018·河北保定高一期末)棱长为2的正方体的内切球的体积为( C )(A)4π(B)16π(C)(D)解析:由正方体的性质可得正方体的内切球的半径R=a(a是边长),正方体的边长为2,可得R=1.球的体积V=πR3=.故选C.-6- 4.(2018·合肥高一期末)已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成,俯视图由正方形及其内切圆组成,则该几何体的表面积等于( D )(A)48+8π(B)48+4π(C)64+8π(D)64+4π解析:由三视图可知,该几何体由上下两部分组成,下面是一个底面边长为4的正方形,高为2的直四棱柱;上面是一个大圆与四棱柱的底面相切的半球.所以S表面积=4×4+2×16+4×4-π×22+2π×22=64+4π.故选D.5.(2018·云南高二期末)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥PABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=2,三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为( A )(A)12π(B)16π(C)20π(D)24π解析:由题意,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=2,所以平面ABC是直角三角形,补形底面为长方形.所以球心到底面长方形外接圆圆心的距离为1,底面长方形的外接圆的半径r=.所以R2=r2+1,即R=.所以球O的表面积S=4πR2=12π.故选A.6.将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中,水面升高4cm,则钢球的半径是    . -6- 解析:圆柱形玻璃容器中水面升高4cm,则钢球的体积为V=π×32×4=36π,即有πR3=36π,所以R=3.答案:3cm7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为    . 解析:由三视图可知几何体为组合体,上方是半径为1的球,下方是长方体,其底面是边长为2的正方形,侧棱长为4,故其体积V=×π×13+2×2×4=16+.答案:16+8.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.解:该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=.能力提升9.球内切于圆柱,则此圆柱的表面积与球表面积之比是( C )(A)1∶1(B)2∶1(C)3∶2(D)4∶3-6- 解析:设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,所以S圆柱=2πR×2R+2×πR2=6πR2,S球=4πR2.所以此圆柱的表面积与球表面积之比是==.故选C.10.(2018·南昌高二八校联考)已知圆锥的母线长为2,高为,则该圆锥的外接球的表面积是    . 解析:因为圆锥的母线长为2,高为,所以该圆锥的底面半径为r==1,由题意,圆锥轴截面的顶角为60°,设该圆锥的底面圆心为O′,球O的半径为R,由勾股定理可得R2=(-R)2+12,解得R=,所以球O的表面积为4πR2=4π×()2=π.答案:π-6- 11.如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积.(其中∠BAC=30°)解:如图所示,过C作CO1⊥AB于O1.在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,所以AC=R,BC=R,CO1=R,所以S球=4πR2,=π×R×R=πR2,=π×R×R=πR2,所以S几何体表=S球++=πR2+πR2=πR2.故旋转所得几何体的表面积为πR2.探究创新12.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料?解:设圆锥形杯子的高为hcm,-6- 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,则必须V圆锥≥V半球,而V半球=×πr3=××43,V圆锥=Sh=πr2h=×42×h.依题意:×42×h≥××43,解得h≥8,即当圆锥形杯子杯口直径为8cm,高大于或等于8cm时,冰淇淋融化后不会溢出杯子.又因为S圆锥侧=πrl=πr,当圆锥高取最小值8时,S圆锥侧最小,所以高为8cm时,制造的杯子最省材料.-6-