第4章检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、精心选一选(每小题3分，共30分)1．下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是(C)2．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是(D)A．①②B．①④C．③④D．②③3．若两个图形成中心对称，则下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转180°后必与另一个图形重合．正确的有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个4．用反证法证明：在四边形中，至少有一个内角不小于90°，应先假设(A)A．四边形中每一个内角都小于90°B．四边形中最多有一个内角不小于90°C．四边形中每一个内角都大于90°D．四边形中有一个内角大于90°5．在直角坐标系中，将点(－2，3)关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是(C)
A．(4，－3)B．(－4，3)C．(0，－3)D．(0，3)6．若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是(B)A．6B．12C．16D．187．在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，还不能判定四边形ABCD为平行四边形，若想使四边形ABCD为平行四边形，要添加一个条件：①BC＝AD；②∠BAD＝∠BCD；③OA＝OC；④∠ABD＝∠CAB.这个条件可以是(B)A．①或②B．②或③C．①或③或④D．②或③或④8．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连结OE.下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④OE＝BC.成立的个数有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个,第8题图) ,第9题图) ,第8题图)9．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为(B)A．4B．3C．2.5D．1.510．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm.点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P达到点D时停止(同时点Q也停止)．在运动以后，以P，D，Q，B四点为顶点组成平行四边形的次数有(B)A．4次B．3次C．2次D．1次二、细心填一填(每小题4分，共24分)
11．若点(a，1)与(－2，b)关于原点对称，则ab＝____．12．如图，若将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半，若BM的长为10cm，则AD与BC间的距离是__5_cm__．,第12题图) ,第13题图) ,第14题图)13．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于__108__度．14．如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转40°，再沿直线前进10米后，又向左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了__90__米．15．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，E为AC的中点，AD＝6cm，BD＝8cm，BC＝16cm，则DE的长为__3__cm.,第15题图) ,第16题图)16．如图，在△APB中，AB＝2，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD，正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__1__.三、耐心做一做(共66分)
17．(6分)如图，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标．解：画图略，A1(3，－2)，B1(2，1)，C1(－2，－3)18．(6分)在五边形ABCDE中，∠A＋∠C＝240°，∠D＝∠E＝2∠B，求∠B的度数．解：∠B＝60°19．(8分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，请你利用中心对称的性质，把梯形ABCD转化成与原梯形面积相等的三角形，并简要说明变换理由．解；取CD中点M，连结AM并延长交BC延长线于点N，得到△ABN即为与原梯形面积相等的三角形．在△ADM和△NCM中∴△ADM≌△NCM(ASA)，∴△NCM可以看作是△ADM关于点M的中心对称图形，∴△ABN即为与原梯形面积相等的三角形20．(8分)如图，P为直线AB外一点，PC⊥AB于点C，D为直线AB上不同于点C的任意一点．求证：PC＜PD.(用反证法)
证明：假设PC≥PD，(1)当PC＝PD时，∠PCD＝∠PDC＝90°，∴PD⊥AB，这与“过直线外一点，有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾，∴PC≠PD(2)当PC＞PD时，则有∠PDC＞∠PCD，而∠PCD＝90°，∴∠PDC＞90°，∴∠PDC＋∠PCD＋∠P＞180°.这与“三角形的内角和为180°”矛盾．∴PC＞PD不成立．综上所述，可得假设不成立，∴PC＜PD21．(8分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD.连结DM，DN，MN.若AB＝6，求DN的长．解：连结CM，∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝AB＝3，∵M，N分别是AB，AC的中点，∴MN＝BC，MN∥BC，∵CD＝BD，∴MN＝CD，又MN∥BC，∴四边形NDCM是平行四边形，∴DN＝CM＝3
22．(8分)如图，是某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B⇒A⇒E⇒F；乙乘2路车，路线是B⇒D⇒C⇒F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站，请说明理由．解：可以同时到达．理由如下：连结BE交AD于G，∵BA∥DE，AE∥DB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AB＝DE，AE＝BD，BG＝GE，∵AF∥BC，G是BE的中点，∴F是CE的中点(过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边)，即EF＝FC，∵EC⊥BC，AF∥BC，∴AF⊥CE，即AF垂直平分CE，∴DE＝DC，∴AB＝DC，∴AB＋AE＋EF＝DC＋BD＋CF，∴二人同时到达F站23．(10分)如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．
解：(1)∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C，∵EG∥BC，DE∥AC，∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，∴∠DEG＝∠C，∵BE＝BF，∴∠BFE＝∠BEF＝∠AEG＝∠ABC，∴∠F＝∠DEG，∴BF∥DE，∴四边形BDEF为平行四边形 (2)∵∠C＝45°，∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°，∴△BDE，△BEF是等腰直角三角形，∴BF＝BE＝BD＝，作FM⊥BD于M，连结DF，则△BFM是等腰直角三角形，∴FM＝BM＝BF＝1，∴DM＝3，在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF＝＝，即D，F两点间的距离为24．(12分)如图1，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB＝6，点A的坐标为(1，－4)，点D的坐标为(－3，4)，点B在第四象限，点P是▱ABCD边上的一个动点．(1)若点P在边BC上，PD＝CD，求点P的坐标；(2)若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝x－1上，求点P的坐标；(3)若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．解：(1)∵CD＝6，∴点P与点C重合，∴点P坐标为(3，4) (2)①当点P在边AD上时，∵直线AD的解析式为y＝－2x－2，设P(a，－2a－2)，且－3≤a≤1，若点P关于x轴的对称点Q1(a，2a＋2)在直线y＝x－1上，∴2a＋2＝a－1，解得a＝－3，此时P(－3，4)．若点P关于y轴的对称点Q3(－a，－2a－2)在直线y＝x－1上时，∴－2a－2＝－a－1，解得a＝－1，此时P(－1，0)；②当点P
在边AB上时，设P(a，－4)且1≤a≤7，若点P关于x轴的对称点Q2(a，4)在直线y＝x－1上，∴4＝a－1，解得a＝5，此时P(5，－4)，若点P关于y轴的对称点Q4(－a，－4)在直线y＝x－1上，∴－4＝－a－1，解得a＝3，此时P(3，－4)，综上所述，点P的坐标为(－3，4)或(－1，0)或(5，－4)或(3，－4) (3)①如图3中，当点P在线段CD上时，设P(m，4)．在Rt△PNM′中，∵PM＝PM′＝6，PN＝4，∴NM′＝＝2，在Rt△OGM′中，∵OG2＋OM′2＝GM′2，∴22＋(2＋m)2＝m2，解得m＝－，∴P(－，4)根据对称性可知，P(，4)也满足条件．②如图4中，当点P在AB上时，易知四边形PMGM′是正方形，边长为2，此时P(2，－4)．③如图5中，当点P在线段AD上时，设AD交x轴于R.易证∠M′RG＝∠M′GR，推出M′R＝M′G＝GM，设M′R＝M′G＝GM＝x.∵直线AD的解析式为y＝－2x－2，∴R(－1，0)，在Rt△OGM′中，有x2＝22＋(x－1)2，解得x＝，∴P(－，3)．点P坐标为(2，－4)或(－，3)或(－，4)或(，4)．
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