第5章检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、精心选一选(每小题3分，共30分)1．下列命题：①平行四边形的对边相等；②对角线相等的四边形是矩形；③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中真命题有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个2．矩形具有而菱形不具有的性质是(B)A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.求证：AC⊥BD.以下是排乱的证明过程：①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB＝AD.证明步骤正确的顺序是(B)
A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②4．若顺次连结四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是(C)A．矩形B．菱形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形5．在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连结AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连结AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连结EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断(C)A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误,第5题图) ,第6题图) ,第7题图)6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF.若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为(C)A．4B．4C．4D．287．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，
把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为(D)A．(，1)B．(2，1)C．(1，)D．(2，)8．一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按如图步骤折叠纸片，则线段DG长为(A)A.B．2C．1D．2,第8题图) ,第9题图) ,第10题图)9．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为(D)A.B.C.D.10．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC，DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连结DE，EH，DH，FH.下列结论：①EG＝DF；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若＝，则3S△EDH＝13S△DHC，其中结论正确的有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个二、细心填一填(每小题4分，共24分)11．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是__∠ABC＝90°或AC＝BD__．(补充一个即可)
12．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为____．,第11题图) ,第12题图) ,第13题图)13．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，P是对角线BD上一动点，则PE＋PC的最小值是__2__．14．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为__4600__m.15．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2＋DF2＝AF2＋DE2.其中正确的是__②③④___．(填序号),第14题图) ,第15题图) ,第16题图)16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的一个动点，以EF为对称轴折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB＝3，BC＝5，
则CF的取值范围为__≤CF≤3__.三、耐心做一做(共66分)17．(6分)如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为点C′，若∠ADC′＝20°，求∠BDC的度数．解：设AD，BC交于点E，证△ABE≌△C′DE得∠ABE＝∠ADC′＝20°，∴∠CBC′＝90°－∠ABE＝70°，∴∠CBD＝∠CBC′＝35°，∴∠BDC＝55°18．(6分)如图，是一个菱形的花坛，花坛的周长为40m，沿着花坛相对的两个顶点分别修建了两条小路，这两条小路的长度之比为3∶4，请你计算这个花坛的面积是多少？(小路的宽度忽略不计)解：设两条小路将于点O，则AB＝40m÷4＝10(m)，又∵AC∶BD＝3∶4，，∴OA∶OB＝3∶4，设OA＝3xm，OB＝4xm，则由勾股定理得(3x)2＋(4x)2＝102，解得x＝2，∴OA＝6m，OB＝8m，∴S△OAB＝×OA×OB＝24(m2)，∴S
菱形ABCD＝4S△OAB＝96m219．(6分)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连结AF，CE交于点G.求证：AG＝CG.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADF＝CDE＝90°，AD＝CD.∵AE＝CF，∴DE＝DF，∴△ADF≌△CDE(SAS)，∴∠DAF＝∠DCE，在△AGE和△CGF中，∴△AGE≌△CGF(AAS)，∴AG＝CG20．(8分)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点F是AD的中点，过点D作DE∥AC，交CF的延长线于点E，连结BE，AE.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AB＝AC，试判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论．解：(1)证△AFC≌△DFE得CF＝EF，又AF＝DF，∴四边形ACDE是平行四边形 (2)四边形ADBE是矩形，由(1)知，四边形ACDE是平行四边形，∴AE∥BC，AE＝CD＝BD，∴四边形ADBE是平行四边形，又AB＝AC，CD＝BD，∴AD⊥BC，∴四边形ADBE是矩形
21．(8分)如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F使CF＝BE，连结AF，DE，DF.(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．解：(1)∵CF＝BE，∴CF＋EC＝BE＋EC，即EF＝BC.∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，∴AD∥EF且AD＝EF.∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°.∴四边形AEFD是矩形(2)∵四边形AEFD是矩形，DE＝8，∴AF＝DE＝8.∵AB＝6，BF＝10，∴AB2＋AF2＝62＋82＝100＝BF2.∴∠BAF＝90°.∵AE⊥BF，∴△ABF的面积＝AB·AF＝BF·AE.∴AE＝＝＝22．(10分)如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P，Q的速度的速度都是1cm/s，连结PQ，AQ，CP，设点P，Q运动的时间为t(s)．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形？(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．解：(1)当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，即：t＝8－t，解得t＝4(2)当AQ＝CQ时，四边形AQCP是菱形，即＝8－t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝3(3)当t＝3时，CQ＝5，则周长为4CQ＝20(cm)，面积为4×8－2××3×4＝20(cm2)23．(10分)在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图①，他连结AD，CF，经测量发现AD＝CF.(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图②，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图③，请你求出CF的长．解：(1)AD＝CF，证△AOD≌△COF(SAS) (2)连结DF交OE于M，DF＝＝2，∴DM＝OM＝1，∴AD＝＝，由(1)得CF＝AD＝24．(12分)在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连结CF.(1)如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF.②CF＝BC－CD.(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；(3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变：①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系．②若连结正方形对角线AE，DF，交点为O，连结OC，探究△AOC的形状，并说明理由．解：(1)①∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAF＝∠CAF＋∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF(SAS)，∴∠ACF＝∠ABD＝45°，∴∠ACF＋∠ACB＝90°，∴BD⊥CF；②由①△BAD≌△CAF可得BD＝CF，∵BD＝BC－CD，∴CF＝BC－CD(2)与(1)同理可得BD＝CF，∴CF＝BC＋CD(3)①与(1)同理可得，BD＝CF，∴CF＝CD－BC；②∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，则∠ABD＝180°－45°＝135°，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAC＝∠BAF＋∠CAF＝90°，∠DAF＝∠BAD＋∠BAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF(SAS)，∴∠ACF＝∠ABD＝135°，∴∠FCD＝∠ACF－∠ACB＝90°，
则△FCD为直角三角形，∵正方形ADEF中，O为DF中点，∴OC＝DF，∵在正方形ADEF中，OA＝AE，AE＝DF，∴OC＝OA，∴△AOC是等腰三角形
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