中考数学模拟练习卷一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.已知有理数a，b，c在数轴上对应的位置如图所示，化简|b﹣c|﹣|c﹣a|（ ）A.b﹣2c+aB.b﹣2c﹣aC.b+aD.b﹣a2.若x＝1是方程2x+m﹣6＝0的解，则m的值是（ ）A.﹣4B.4C.﹣8D.83.右图是“大润发”超市中“飘柔”洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮忙算一算，该洗发水的原价为（ ）A.22元B.23元C.24元D.26元4.由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（ ）A.B.C.D.5.不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（ ）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.有一个实数根D.无实数根6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为边画等腰三角形BCD，使点D落在△ABC的边上，则点D的位置有（ ）
A.3个B.4个C.5个D.6个7.对于两组数据A，B，如果sA2＞sB2，且A＝B，则（ ）A.这两组数据的波动相同B.数据B的波动小一些C.它们的平均水平不相同D.数据A的波动小一些8.如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，﹣4），顶点C在x轴的正半轴上，函数y＝（k＜0）的图象经过点B，则k的值为（ ）A.﹣12B.﹣32C.32D.﹣369.小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟.若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程（ ）A.＝15B.＝15C.＝D.10.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个二.填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）11.分解因式：3x2﹣6x2y+3xy2＝ .12.一副学生用的三角板如图放置，则∠AOD的度数为 .13.分式方程的解是 .14.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，BC边上有一点E，BE＝4，将纸片折叠，使A点与E点重合，折痕MN交AD于M点，则线段AM的长是 .三.解答题（共6小题，满分54分）15.（1）计算：﹣2sin60°+|1﹣tan60°|+（2019﹣π）0（2）解方程：4x（x+3）＝x2﹣916.先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣.17.科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）
18.“校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为 °；（2）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为 人；（3）若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生A、B、C和2个男生M、N中分别随机抽取1人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率.19.如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）.（1）求n和b的值；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.
20.如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D为上的动点，且cos∠ABC＝.（1）求AB的长度；（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH.四.填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）21.已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n，则的值为 .22.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为 .23.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1.若∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形；③当x＝2时，△BDD1为等边三角形；④s＝（x﹣2）2（0＜x＜2）；其中正确的是 .（把你认为正确结论的序号都填上）
24.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝交于A（x1，y1），B（x2，y2），那么（x1﹣x2）（y1﹣y2）＝ .25.如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC.若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝ .五.解答题（共3小题，满分30分）26.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2.（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？27.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF.，GH.（1）填空：∠AHC ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；（3）设AE＝m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化.请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值.②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值.
28.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D.（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小.若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由.
参考答案与试题解析一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.已知有理数a，b，c在数轴上对应的位置如图所示，化简|b﹣c|﹣|c﹣a|（ ）A.b﹣2c+aB.b﹣2c﹣aC.b+aD.b﹣a【分析】观察数轴，可知：c＜0＜b＜a，进而可得出b﹣c＞0、c﹣a＜0，再结合绝对值的定义，即可求出|b﹣c|﹣|c﹣a|的值.【解答】解：观察数轴，可知：c＜0＜b＜a，∴b﹣c＞0，c﹣a＜0，∴|b﹣c|﹣|c﹣a|＝b﹣c﹣（a﹣c）＝b﹣a.故选：D.【点评】本题考查了数轴以及绝对值，由数轴上a、b、c的位置关系结合绝对值的定义求出|b﹣c|﹣|c﹣a|的值是解题的关键.2.若x＝1是方程2x+m﹣6＝0的解，则m的值是（ ）A.﹣4B.4C.﹣8D.8【分析】根据一元一次方程的解的定义，将x＝1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值.【解答】解：根据题意，得2×1+m﹣6＝0，即﹣4+m＝0，解得m＝4.故选：B.【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义.解题时，需要理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.3.右图是“大润发”超市中“飘柔”洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮忙算一算，该洗发水的原价为（ ）A.22元B.23元C.24元D.26元
【分析】设出洗发水的原价是x元，直接得出有关原价的一元一次方程，再进行求解.【解答】解：设洗发水的原价为x元，由题意得：0.8x＝19.2，解得：x＝24.故选：C.【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用中打折问题，设出原价即可列出有关方程.4.由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（ ）A.B.C.D.【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.【解答】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：D.【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图.5.不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（ ）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.有一个实数根D.无实数根【分析】先把方程化为一般式得到2x2﹣3x﹣3＝0，再计算△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0，然后根据△的意义判断方程根的情况.【解答】解：方程整理得2x2﹣3x﹣3＝0，∵△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0，∴方程有两个不相等的实数根.故选：B.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根.6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为边画等腰三角形BCD，使点D落在△ABC的边上，则点D的位置有（ ）A.3个B.4个C.5个D.6个【分析】①以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；②作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形；③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；④以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形.【解答】解：如图所示，画出的不同的等腰三角形的个数最多为4个.故选：B.【点评】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.7.对于两组数据A，B，如果sA2＞sB2，且A＝B，则（ ）A.这两组数据的波动相同B.数据B的波动小一些C.它们的平均水平不相同D.数据A的波动小一些【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定.【解答】解：∵sA2＞sB2，∴数据B组的波动小一些.
故选：B.【点评】本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.8.如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，﹣4），顶点C在x轴的正半轴上，函数y＝（k＜0）的图象经过点B，则k的值为（ ）A.﹣12B.﹣32C.32D.﹣36【分析】根据反比例函数的性质和菱形的性质可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值.【解答】解：设点C的坐标为（c，0），∵O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，﹣4），顶点C在x轴的正半轴上，∴OA＝5，∴点C（0，5），∴点B的坐标为（8，﹣4），∵函数y＝（k＜0）的图象经过点B，∴﹣4＝，得k＝﹣32，故选：B.【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和菱形的性质解答.9.小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟.若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程（ ）A.＝15B.＝15C.＝D.
【分析】若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，则走路线B时的平均速度为1.6x千米/小时，根据路线B的全程比路线A的全程多7千米，走路线B的全程能比走路线A少用15分钟可列出方程.【解答】解：设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得﹣＝.故选：D.【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键.10.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，则3a+b＝a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c＝﹣3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点可对④进行判断.【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，而抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，所以①正确；∵2≤c≤3，而c＝﹣3a，∴2≤﹣3a≤3，∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x＝1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确.故选：D.【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）.抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.二.填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）11.分解因式：3x2﹣6x2y+3xy2＝ 3x（x﹣2xy+y2） .【分析】原式提取公因式分解即可.【解答】解：原式＝3x（x﹣2xy+y2），故答案为：3x（x﹣2xy+y2）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，找出原式的公因式是解本题的关键.12.一副学生用的三角板如图放置，则∠AOD的度数为 105° .【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠BOC＝105°，再根据对顶角相等，即可得出∠AOD的度数.【解答】解：由题可得，∠ACB＝45°，∠DBC＝30°，∴△BCO中，∠BOC＝180°﹣45°﹣30°＝105°，∴∠AOD＝∠BOC＝105°，故答案为：105°.
【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及对顶角的性质，利用三角形内角和为180°是关键.13.分式方程的解是 x＝﹣1 .【分析】根据分式方程，可以先去分母变为整式方程进行解答，解出整式方程的根注意要进行检验.【解答】解：方程两边同乘以x﹣1得，x2﹣1＝0则（x+1）（x﹣1）＝0∴x+1＝0或x﹣1＝0得，x＝﹣1或x＝1.检验：x＝﹣1时，x﹣1≠0；x＝1时，x﹣1＝0，故x＝1舍去.故分式方程的根为：x＝﹣1.故答案为：x＝﹣1.【点评】本题考查解答分式方程，解题的关键是解出方程的根要检验.14.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，BC边上有一点E，BE＝4，将纸片折叠，使A点与E点重合，折痕MN交AD于M点，则线段AM的长是 .【分析】过M作MF⊥BC于F，根据矩形的性质得到∠DAB＝∠B＝90°，推出四边形ABFM是矩形，得到BF＝AM，FM＝AB＝6，根据折叠的性质得到AM＝ME，设AM＝x，则EF＝BF＝x，根据勾股定理列方程即可得到结论.【解答】解：过M作MF⊥BC于F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∴四边形ABFM是矩形，∴BF＝AM，FM＝AB＝6，∵将纸片折叠，使A点与E点重合，折痕MN交AD于M点，
∴AM＝ME，设AM＝x，则EM＝BF＝x，∴EF＝x﹣4，在Rt△MEF中，ME2＝EF2+MF2，∴x2＝（x﹣4）2+62，解得：x＝，故答案为：.【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.三.解答题（共6小题，满分54分）15.（1）计算：﹣2sin60°+|1﹣tan60°|+（2019﹣π）0（2）解方程：4x（x+3）＝x2﹣9【分析】（1）先计算负整数指数幂和零指数幂并代入特殊锐角的三角函数值，再计算乘法、取绝对值符号，继而计算加减可得；（2）先将方程整理成一般式，再利用因式分解法求解可得.【解答】解：（1）原式＝2﹣2×+|1﹣|+1＝2﹣+﹣1+1＝2；（2）4x2+12x＝x2﹣9，4x2+12x﹣x2+9＝0，3x2+12x+9＝0，x2+4x+3＝0，（x+1）（x+3）＝0，则x+1＝0或x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣3.【点评】本题主要考查解一元二次方程和实数的混合运算，能选择适当的方法解一元二次方程并熟练掌握实数的混合运算是解此题的关键.16.先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣.【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得.【解答】解：原式＝（+）•＝•＝2（x+2）＝2x+4，当x＝﹣时，原式＝2×（﹣）+4＝﹣1+4＝3.【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.17.科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）【分析】过B作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长.【解答】解：过B作BD⊥AC于点D.在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝4×0.8＝3.2（千米），
∵△BCD中，∠CBD＝90°﹣35°＝55°，∴CD＝BD•tan∠CBD＝4.48（千米），∴BC＝CD÷sin∠CBD≈6（千米）.答：B、C两地的距离大约是6千米.【点评】此题考查了方向角问题.此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解.18.“校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有 60 人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为 30 °；（2）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为 300 人；（3）若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生A、B、C和2个男生M、N中分别随机抽取1人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率.【分析】（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角；（2）利用样本估计总体的方法，即可求得答案；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到女生A
的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.【解答】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%＝60（人）；∵了解部分的人数为60﹣（15+30+10）＝5，∴扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为：×360°＝30°；故答案为：60，30；（2）根据题意得：900×＝300（人），则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人，故答案为：300；（3）画树状图如下：所有等可能的情况有6种，其中抽到女生A的情况有2种，所以P（抽到女生A）＝＝.【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图.用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比.19.如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）.（1）求n和b的值；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.
【分析】（1）把点A坐标分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，求出k、b的值，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，即可得出答案；（2）求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可；（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案.【解答】解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，得k＝1×4，1+b＝4，解得k＝4，b＝3，∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝的图象上，∴n＝＝﹣1；（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，∵当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝7.5；（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值.【点评】
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想.20.如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D为上的动点，且cos∠ABC＝.（1）求AB的长度；（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH.【分析】（1）作AM垂直于BC，由AB＝AC，利用三线合一得到CM等于BC的一半，求出CM的长，再由cosB的值，利用锐角三角函数定义求出AB的长即可；（2）连接DC，由等边对等角得到一对角相等，再由圆内接四边形的性质得到一对角相等，根据一对公共角，得到三角形EAC与三角形CAD相似，由相似得比例求出所求即可；（3）在BD上取一点N，使得BN＝CD，利用SAS得到三角形ACD与三角形ABN全等，由全等三角形对应边相等及等量代换即可得证.【解答】解：（1）作AM⊥BC，∵AB＝AC，AM⊥BC，BC＝2BM，∴CM＝BC＝1，∵cosB＝＝，在Rt△AMB中，BM＝1，∴AB＝＝；（2）连接DC，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ACE+∠ACB＝180°，
∴∠ADC＝∠ACE，∵∠CAE公共角，∴△EAC∽△CAD，∴＝，∴AD•AE＝AC2＝10；（3）在BD上取一点N，使得BN＝CD，在△ABN和△ACD中，∴△ABN≌△ACD（SAS），∴AN＝AD，∵AN＝AD，AH⊥BD，∴NH＝HD，∵BN＝CD，NH＝HD，∴BN+NH＝CD+HD＝BH.【点评】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键.四.填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）21.已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n，则的值为 ﹣ .【分析】由根与系数的关系可求得m+n和mn的值，代入求值即可.【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n，∴m+n＝4，mn＝﹣3，∴+＝＝﹣，
故答案为：﹣.【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之积等于﹣、两根之积等于是解题的关键.22.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为 4 .【分析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′＝∠B′CD′＝90°、AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE＝OD＝OC＝3，继而求得CG＝B′E＝OH＝＝2，根据垂径定理可得CF的长.【解答】解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4，∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝3，∴B′H＝OE＝3，∴CH＝B′C﹣B′H＝1，∴CG＝B′E＝OH＝＝2，∵四边形EB′CG是矩形，∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，∴CF＝2CG＝4，
故答案为：4.【点评】本题主要考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识点.23.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1.若∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形；③当x＝2时，△BDD1为等边三角形；④s＝（x﹣2）2（0＜x＜2）；其中正确的是 ①②③ .（把你认为正确结论的序号都填上）【分析】①根据矩形的性质，得∠DAC＝∠ACB，再由平移的性质，可得出∠D1A1A＝∠ACB，A1D1＝CB，从而证出结论；②根据菱形的性质，四条边都相等，可推得当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形.③当x＝2时，点C1与点A重合，可求得BD＝DD1＝BD1＝2，从而可判断△BDD1为等边三角形.④易得△AC1F∽△ACD，根据面积比等于相似比平方可得出s与x的函数关系式.【解答】解：①∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD，BC∥AD∴∠DAC＝∠ACB∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，∴∠D1A1A＝∠DAC，A1D1＝AD，AA1＝CC1，在△A1AD1与△CC1B中，，∴△A1AD1≌△CC1B（SAS），故①正确；
②∵∠ACB＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AB＝1，∴AC＝2，∵x＝1，∴AC1＝1，∴△AC1B是等边三角形，∴AB＝D1C1，又AB∥BC1，∴四边形ABC1D1是菱形，故②正确；③如图所示：则可得BD＝DD1＝BD1＝2，∴△BDD1为等边三角形，故③正确.④易得△AC1F∽△ACD，∴＝（）2，解得：S△AC1F＝（x﹣2）2（0＜x＜2）；故④错误；综上可得正确的是①②③.故答案为：①②③.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定及解直角三角形的知识，解答本题需要我们熟练掌握全等三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质，有一定难度.24.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝交于A（x1，y1），B（x2，y2），那么（x1﹣x2
）（y1﹣y2）＝ 20 .【分析】正比例函数的图象与反比例函数y＝的两交点坐标关于原点对称，依此可得x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，替换后计算即可求解.【解答】解：∵正比例函数的图象与反比例函数y＝交于A（x1，y1），B（x2，y2），关于原点对称，依此可得x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＝（﹣x2﹣x2）（﹣y2﹣y2）＝4x2y2＝4×5＝20.故答案为：20.【点评】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称.25.如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC.若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝ .【分析】延长GP交CD于M，如图，根据菱形的性质得GF∥CD，∠BCD＝120°，CD＝CB，GB＝GF，则利用平行线的性质得∠PDM＝∠PFG，于是可判断△PDM≌△PFG，所以MD＝GF，PM＝PG，接着证明CM＝CG，则根据等腰三角形的性质有CP⊥MG，CP平分∠MCG，所以∠PGC＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解.【解答】解：延长GP交CD于M，如图，∵四边形ABCD和BEFG为菱形，点A、B、E在同一直线上，∴GF∥CD，∠BCD＝120°，CD＝CB，GB＝GF，∴∠PDM＝∠PFG，在△PDM和△PFG中，
，∴△PDM≌△PFG，∴MD＝GF，PM＝PG，∴MD＝GB，∴CM＝CG，∵PM＝PG，∴CP⊥MG，CP平分∠MCG，∴∠PCG＝60°，∴∠PGC＝30°，∴＝.故答案为.【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.也考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质.五.解答题（共3小题，满分30分）26.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2.（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？【分析】（1）将函数解析式配方成顶点式可得最值；
（2）画图象可得t的取值.【解答】解：（1）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∴当t＝2时，h取得最大值20米；答：小球飞行时间是2s时，小球最高为20m；（2）由题意得：15＝20t﹣5t2，解得：t1＝1，t2＝3，由图象得：当1≤t≤3时，h≥15，则小球飞行时间1≤t≤3时，飞行高度不低于15m.【点评】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.27.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF.，GH.（1）填空：∠AHC ＝ ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；（3）设AE＝m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化.请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值.②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值.
【分析】（1）证明∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，即可推出∠AHC＝∠ACG；（2）结论：AC2＝AG•AH.只要证明△AHC∽△ACG即可解决问题；（3）①△AGH的面积不变.理由三角形的面积公式计算即可；②分三种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝45°，∴AC＝＝4，∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，∴∠AHC＝∠ACG.故答案为＝.（2）结论：AC2＝AG•AH.理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，∴△AHC∽△ACG，＝，∴AC2＝AG•AH.（3）①△AGH的面积不变.理由：∵S△AGH＝•AH•AG＝AC2＝×（4）2＝16.∴△AGH的面积为16.
②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，∵BC∥AH，∴＝＝，∴AE＝AB＝.如图2中，当CH＝HG时，易证AH＝BC＝4，∵BC∥AH，∴＝＝1，∴AE＝BE＝2.如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5°.
在BC上取一点M，使得BM＝BE，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，∴CM＝EM，设BM＝BE＝x，则CM＝EM＝x，∴x+x＝4，∴m＝4（﹣1），∴AE＝4﹣4（﹣1）＝8﹣4，综上所述，满足条件的m的值为或2或8﹣4.【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.28.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D.（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小.若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由.
【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论.【解答】解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1.（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示.设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，
EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2.∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点Q的坐标为（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+.∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）.（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）.∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1.∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点C，N关于抛物线的对称轴对称.令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示.∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此时△ANM周长取最小值.当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，∴此时点M的坐标为（﹣1，2）.∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），∴AC＝＝3，AN＝＝，∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+.∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+.
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣x2﹣x+3；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置.
微信/支付宝扫码支付