中考数学模拟练习卷一、选择题（每小题只有一项符合题意，请将正确选项填在答题卡上，每小题3分，共30分）1.下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A.B.C.D.2.一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）A.（x+4）2＝17B.（x+4）2＝15C.（x﹣4）2＝17D.（x﹣4）2＝153.下列成语中描述的事件必然发生的是（ ）A.水中捞月B.瓮中捉鳖C.守株待兔D.拔苗助长4.抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）A.（2，3）B.（﹣2，3）C.（2，﹣3）D.（﹣2，﹣3）5.某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为.小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张（ ）A.能中奖一次B.能中奖两次C.至少能中奖一次D.中奖次数不能确定6.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A.k＞﹣1B.k＞﹣1且k≠0C.k＜1D.k＜1且k≠07.如下图，将直角三角形绕一条边所在直线旋转一周后形成的几何体不可能是（ ）A.B.
C.D.8.如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA＝30°，则OB的长为（ ）A.B.4C.D.29.如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（ ）A.6B.7C.8D.910.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论（1）4a+2b+c＞0；（2）方程ax2+bx+c＝0两根之和小于零；（3）y随x的增大而增大；（4）一次函数y＝x+bc的图象一定不过第二象限.其中正确的个数是（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题（请把最简答案填写在答题卡上相应位置，每小题3分，共24分）11.若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则ab＝ .12.若x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两个根，则x12+x22＝ .13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B＝110°，则∠ADE的度数为 .
14.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、点B，且AC＝2，则图中阴影部分的面积为 （结果不取近似值）.15.10月14日，韵动中国•2018广安国际红色马拉松赛激情开跑.上万名跑友将在小平故里展开激烈的角逐.某校决定从两名男生和三名女生中选出两名同学作为红色马拉松赛的志愿者，则选出一男一女的概率是 .16.在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为 .17.若△ABC的周长为20cm，面积为32cm2，则△ABC的内切圆半径为 .18.抛物线y＝n（n+1）x2﹣（3n+1）x+3与直线y＝﹣nx+2的两个交点的横坐标分别是x1、x2，记dn＝|x1﹣x2|，则代数式d1+d2+d3+…+d2018的值为 .三、解答题（本大题共2个小题，第19题每小题8分，第20题6分，共14分）19.解下列方程：（1）x2﹣3x＝1.（2）（y+2）2﹣6＝0.20.已知实数a满足a2+2a﹣15＝0，求﹣÷的值.四、实践应用（本大题共4小题，每小题8分，共32分）21.某校开展了以“人生观、价值观”为主题的班队活动.活动结束后，初三（2）班数学兴趣小组提出了5个主要观点并在本班50名学生中进行了调査（要求每位同学只选自己最认可的一项观点），并制成了如图所示的扇形统计图.（1）该班学生选择“和谐”观点的有 人，在扇形统计图中，“和谐”
观点所在扇形区域的圆心角是 .（2）如果该校有1500名初三学生.利用样本估计选择“感恩”观点的初三学生约有 人.（3）如果数学兴趣小组在这5个主要观点中任选两项观点在全校学生中进行调查.求恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率.22.如图，下列网格中，每个小方格的边长都是1.（1）分别作出四边形ABCD关于x轴、y轴、原点的对称图形；（2）求出四边形ABCD的面积.23.如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°.求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数.24.某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x
（元/件）之间满足一次函数关系.（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？五、推理与论证（10分）25.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE.（1）求证：DE是半圆⊙O的切线.（2）若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长.六、拓展探究26.如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标.
参考答案一、选择题（每小题只有一项符合题意，请将正确选项填在答题卡上，每小题3分，共30分）1.下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A.B.C.D.【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.故选：B.【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.2.一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）A.（x+4）2＝17B.（x+4）2＝15C.（x﹣4）2＝17D.（x﹣4）2＝15【分析】常数项移到方程的右边，再在两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得.【解答】解：∵x2﹣8x＝1，∴x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17，故选：C.【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤和完全平方公式是解题的关键.3.下列成语中描述的事件必然发生的是（ ）A.水中捞月B.瓮中捉鳖C.守株待兔D.拔苗助长【分析】分别根据确定事件与随机事件的定义对各选项进行逐一分析即可.【解答】解：A、水中捞月是不可能事件，故本选项错误；B、瓮中捉鳖是一定能发生的事件，属必然事件，故本选项正确；C、守株待兔是可能发生也可能不发生的事件，是随机事件，故本选项错误；D、拔苗助长是一定不会发生的事件，是不可能事件，故本选项错误.
故选：B.【点评】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解答此题的关键.4.抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）A.（2，3）B.（﹣2，3）C.（2，﹣3）D.（﹣2，﹣3）【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴.【解答】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）.故选：A.【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h.5.某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为.小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张（ ）A.能中奖一次B.能中奖两次C.至少能中奖一次D.中奖次数不能确定【分析】由于中奖概率为，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生.【解答】解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定.故选D.【点评】解答此题要明确概率和事件的关系：①P（A）＝0，为不可能事件；②P（A）＝1为必然事件；③0＜P（A）＜1为随机事件.6.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A.k＞﹣1B.k＞﹣1且k≠0C.k＜1D.k＜1且k≠0【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可.【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴，即，解得k＞﹣1且k≠0.故选：B.【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键.
7.如下图，将直角三角形绕一条边所在直线旋转一周后形成的几何体不可能是（ ）A.B.C.D.【分析】分三种情况讨论，即可得到直角三角形绕一条边所在直线旋转一周后形成的几何体.【解答】解：将直角三角形绕较长直角边所在直线旋转一周后形成的几何体为：将直角三角形绕较短直角边所在直线旋转一周后形成的几何体为：将直角三角形绕斜边所在直线旋转一周后形成的几何体为：故选：C.【点评】本题主要考查了面动成体，点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界.8.如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA＝30°，则OB的长为（ ）
A.B.4C.D.2【分析】由于直线AB与⊙O相切于点A，则∠OAB＝90°，而OA＝2，∠OBA＝30°，根据三角函数定义即可求出OB.【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，则∠OAB＝90°.∵OA＝2，∴OB＝＝＝4.故选：B.【点评】本题主要利用了切线的性质和锐角三角函数的概念解直角三角形问题.9.如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（ ）A.6B.7C.8D.9【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB＝，计算即可.【解答】解：∵正方形的边长为3，∴弧BD的弧长＝6，∴S扇形DAB＝＝×6×3＝9.故选：D.【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S扇形DAB＝.10.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论（1）4a+2b+c＞0；（2）方程
ax2+bx+c＝0两根之和小于零；（3）y随x的增大而增大；（4）一次函数y＝x+bc的图象一定不过第二象限.其中正确的个数是（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【解答】解：（1）由图象可知：x＝2，y＞0，∴4a+2b+c＞0，故（1）正确；（2）方程ax2+bx+c＝0两根之和为，而抛物线的对称轴为：x＝，且＞0，∴＞0，故（2）错误；（3）当x＜时，y随着x的增大而减少，当x＞时，y随着x的增大而增大，故（3）错误；（4）由图象可知：c＜0，a＞0，b＜0，∴bc＞0，∴一次函数一定不过第四象限，故（4）错误，故选：D.【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型.二、填空题（请把最简答案填写在答题卡上相应位置，每小题3分，共24分）
11.若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则ab＝ .【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数.记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆.【解答】解：∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，∴b＝﹣1，a＝2，∴ab＝2﹣1＝.故答案为：.【点评】此题考查了关于原点对称的点的坐标，这一类题目是需要识记的基础题，记忆时要结合平面直角坐标系.12.若x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两个根，则x12+x22＝ 3 .【分析】先根据根与系数的关系求出x1+x2和x1•x2的值，再利用完全平方公式对所求代数式变形，然后把x1+x2和x1•x2的值整体代入计算即可.【解答】解：∵x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣＝﹣＝﹣1，x1•x2＝＝＝﹣1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）＝1+2＝3.故答案是：3.【点评】本题考查了根与系数的关系、完全平方公式.解题的关键是先求出x1+x2和x1•x2的值.13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B＝110°，则∠ADE的度数为 110° .【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案.【解答】解：∵∠B＝110°，∴∠ADE＝110°.故答案为：110°.
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，关键是熟练掌握圆内接四边形的性质定理.14.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、点B，且AC＝2，则图中阴影部分的面积为 2﹣ （结果不取近似值）.【分析】用三角形ABC的面积减去扇形EAD和扇形FBD的面积，即可得出阴影部分的面积.【解答】解：∵BC＝AC，∠C＝90°，AC＝2，∴AB＝2，∵点D为AB的中点，∴AD＝BD＝，∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形EAD﹣S扇形FBD＝×2×2﹣×2，＝2﹣.故答案为：2﹣.【点评】本题考查了扇形面积的计算以及等腰直角三角形的性质，熟记扇形的面积公式：S＝.15.10月14日，韵动中国•2018广安国际红色马拉松赛激情开跑.上万名跑友将在小平故里展开激烈的角逐.某校决定从两名男生和三名女生中选出两名同学作为红色马拉松赛的志愿者，则选出一男一女的概率是 .【分析】先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.【解答】解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出一男一女的有12种情况，∴选出一男一女的概率是：＝.故答案为：.【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率＝所求情况数与总情况数之比.16.在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为 x（x﹣1）＝110 .【分析】设有x人参加聚会，则每人送出（x﹣1）件礼物，根据共送礼物110件，列出方程.【解答】解：设有x人参加聚会，则每人送出（x﹣1）件礼物，由题意得，x（x﹣1）＝110.故答案是：x（x﹣1）＝110.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程.17.若△ABC的周长为20cm，面积为32cm2，则△ABC的内切圆半径为 3.2cm .【分析】利用圆的内切圆的性质，以及三角形的面积公式：三角形的面积＝×三角形的周长×内切圆的半径即可求解.【解答】解：设内切圆的半径是r，则×20r＝32，解得：r＝3.2.故答案是：3.2cm.【点评】本题考查了三角形的面积公式以及三角形的内切圆，理解三角形的面积＝×三角形的周长×内切圆的半径是关键.18.抛物线y＝n（n+1）x2﹣（3n+1）x+3与直线y＝﹣nx+2的两个交点的横坐标分别是x1、x2，记dn＝|x1﹣x2|，则代数式d1+d2+d3+…+d2018的值为 .
【分析】联立抛物线和直线的解析式，求得两个交点的横坐标，然后观察dn表达式的规律，根据规律进行求解即可.【解答】解：依题意，联立抛物线和直线的解析式有：n（n+1）x2﹣（3n+1）x+3＝﹣nx+2，整理得：n（n+1）x2﹣（2n+1）x+1＝0，解得x1＝，x2＝；所以当n为正整数时，dn＝﹣，故代数式d1+d2+d3+…+d2018＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，故答案为.【点评】此题主要考查的是函数图象交点坐标的求法，能够发现所求代数式中的规律是解决问题的关键.三、解答题（本大题共2个小题，第19题每小题8分，第20题6分，共14分）19.解下列方程：（1）x2﹣3x＝1.（2）（y+2）2﹣6＝0.【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；【解答】解：（1）将原方程化为一般式，得x2﹣3x﹣1＝0，∵b2﹣4ac＝13＞0∴.∴，.（2）（y+2）2＝12，∴或，∴，.【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的方法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.
20.已知实数a满足a2+2a﹣15＝0，求﹣÷的值.【分析】先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把a2+2a﹣15＝0进行配方，得到一个a+1的值，再把它整体代入即可求出答案.【解答】解：﹣÷＝﹣•＝﹣＝，∵a2+2a﹣15＝0，∴（a+1）2＝16，∴原式＝＝.【点评】此题考查了分式的化简求值，关键是掌握分式化简的步骤，先进行通分，再因式分解，然后把除法转化成乘法，最后约分；化简求值题要将原式化为最简后再代值.四、实践应用（本大题共4小题，每小题8分，共32分）21.某校开展了以“人生观、价值观”为主题的班队活动.活动结束后，初三（2）班数学兴趣小组提出了5个主要观点并在本班50名学生中进行了调査（要求每位同学只选自己最认可的一项观点），并制成了如图所示的扇形统计图.（1）该班学生选择“和谐”观点的有 5 人，在扇形统计图中，“和谐”观点所在扇形区域的圆心角是 36° .（2）如果该校有1500名初三学生.利用样本估计选择“感恩”观点的初三学生约有 420 人.（3）如果数学兴趣小组在这5个主要观点中任选两项观点在全校学生中进行调查.求恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率.【分析】（1）选择“和谐”观点的人数等于总人数乘以和谐观点的百分率，圆心角就是用圆周角乘以和谐观点的百分率；
（2）用总人数乘以持感恩观点的所占的百分比即可得到选择感恩观点的学生数；（3）列出表格，然后求解答案.【解答】解：（1）共调查了50名学生，选择“和谐”观点的占10%，50×10%＝5，360°×10%＝36°；（2）∵选择“感恩”的占28%，∴1500×28%＝420人，（3）互动平等思取和谐感恩互动（互动，平等）（互动，思取）（互动，和谐）（互动，感恩）平等（平等，互动）（平等，思取）（平等，和谐）（平等，感恩）思取（思取，互动）（思取，平等）（思取，和谐）（思取，感恩）和谐（和谐，互动）（和谐，平等）（和谐，思取）（和谐，感恩）感恩（感恩，互动）（感恩，平等）（感恩，思取）（感恩，和谐）∴恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率＝.【点评】本题考查的是扇形统计图的运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.22.如图，下列网格中，每个小方格的边长都是1.（1）分别作出四边形ABCD关于x轴、y轴、原点的对称图形；（2）求出四边形ABCD的面积.【分析】（1）分别作A，B，C，D关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标，即可得出答案；
（2）根据三角形底乘以高除以2，即可得出答案.【解答】解：（1）如图所示：（2）四边形ABCD的面积＝.【点评】此题主要考查了关于坐标轴以及原点对称的图形作法和三角形面积求法，得出对应点的坐标是解决问题的关键.23.如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°.求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数.【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于PA+PB的结论，即可求出PA的长；（2）根据三角形的内角和求出∠ADC和∠BEC的度数和，然后根据切线长定理，得出∠EDO和∠DEO的度数和，再根据三角形的内角和求出∠DOE的度数.【解答】解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，∴CA＝CE，同理DE＝DB，PA＝PB，∴三角形PDE的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，
即PA的长为6；（2）∵∠P＝60°，∴∠PCE+∠PDE＝120°，∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，∵CA，CE是圆O的切线，∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD；同理：∠ODE＝∠CDB，∴∠OCE+∠ODE＝（∠ACD+∠CDB）＝120°，∴∠COD＝180﹣120°＝60°.【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长.24.某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系.（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【分析】（1）利用待定系数法求得y与x之间的一次函数关系式；（2）根据“利润＝（售价﹣成本）×售出件数”，可得利润W与销售价格x之间的二次函数关系式，然后求出其最大值.【解答】解：（1）由题意，可设y＝kx+b（k≠0），把（5，30000），（6，20000）代入得：，解得：，所以y与x之间的关系式为：y＝﹣10000x+80000；（2）设利润为W元，则W＝（x﹣4）（﹣10000x+80000）＝﹣10000（x﹣4）（x﹣8）＝﹣10000（x2﹣12x+32）
＝﹣10000[（x﹣6）2﹣4]＝﹣10000（x﹣6）2+40000所以当x＝6时，W取得最大值，最大值为40000元.答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元.【点评】本题主要考查利用函数模型（二次函数与一次函数）解决实际问题的能力.要先根据题意列出函数关系式，再代数求值.解题关键是要分析题意根据实际意义求解.注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识.五、推理与论证25.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE.（1）求证：DE是半圆⊙O的切线.（2）若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长.【分析】（1）连接OD，OE，由AB为圆的直径得到三角形BCD为直角三角形，再由E为斜边BC的中点，得到DE＝BE＝DC，再由OB＝OD，OE为公共边，利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等，由全等三角形的对应角相等得到DE与OD垂直，即可得证；（2）在直角三角形ABC中，由∠BAC＝30°，得到BC为AC的一半，根据BC＝2DE求出BC的长，确定出AC的长，再由∠C＝60°，DE＝EC得到三角形EDC为等边三角形，可得出DC的长，由AC﹣CD即可求出AD的长.【解答】（1）证明：连接OD，OE，BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴DE＝BE，在△OBE和△ODE中，
，∴△OBE≌△ODE（SSS），∴∠ODE＝∠ABC＝90°，则DE为圆O的切线；（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴BC＝AC，∵BC＝2DE＝4，∴AC＝8，又∵∠C＝60°，DE＝CE，∴△DEC为等边三角形，即DC＝DE＝2，则AD＝AC﹣DC＝6.【点评】此题考查了切线的判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键.六、拓展探究26.如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标.【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离.然后分三种情况进行讨论：①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上.求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标.②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）.③当CM＝CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；（3）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积＝三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积.直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC
的长.在三角形BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长.如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值.即可求出此时E的坐标.【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴解得：∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，∴其对称轴为x＝＝﹣1，∴设P点坐标为（﹣1，a），当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），M（﹣1，0）∴当CP＝PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a＝，∴P点坐标为：P1（﹣1，）；∴当CM＝PM时，（﹣1）2+32＝a2，解得a＝±，∴P点坐标为：P2（﹣1，）或P3（﹣1，﹣）；∴当CM＝CP时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，∴P点坐标为：P4（﹣1，6）综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；（3）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a
∴S四边形BOCE＝BF•EF+（OC+EF）•OF＝（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）＝＝﹣+∴当a＝﹣时，S四边形BOCE最大，且最大值为.此时，点E坐标为（﹣，）.【点评】本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解.
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