人教版数学九年级上册期末复习试卷一、选择题1.下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.2.已知反比例函数y=(k≠0)的图象经过点M(﹣2,2),则k的值是( )A.﹣4B.﹣1C.1D.43.抛物线y=x2+2x+3的对称轴是( )A.直线x=1B.直线x=﹣1C.直线x=﹣2D.直线x=24.在某一时刻,测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时测得一根旗杆的影长为25m,那么这根旗杆的高度为( )A.10mB.12mC.15mD.40m5.用配方法解方程x2+4x+1=0,配方后的方程是( )A.(x﹣2)2=5B.(x+2)2=5C.(x+2)2=3D.(x﹣2)2=36.“同吋掷两枚质地均匀的骰子,至少有一枚骰子的点数是3”的概率为( )A.B.C.D.7.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠BOD=88°,则∠BCD的度数是( )A.88°B.92°C.106°D.136°8.在小孔成像问题中,如图所示,若为O到AB的距离是18cm,O到CD的距离是6cm,则像CD的长是物体AB长的( )A.B.C.2倍D.3倍
9.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,M为EF的中点,连接DM,若⊙O的半径为2,则MD的长度为( )A.B.C.2D.110.一次函数y=ax﹣a与反比例函数y=(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A.B.C.D.11.如图,把直角△ABC的斜边AC放在直线l上,按顺时针的方向在直线l上转动两次,使它转到△A2B1C2的位置,设AB=,∠BAC=30°,则顶点A运动到点A2的位置时,点A所经过的路线为( )A.(+)πB.(+)πC.2πD.π12.如图,抛物线y1=a(x+2)2﹣3与y2=(x﹣3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结沦:①无论x取何值,y2的值总是正数;②2a=1;③当x=0时,y2﹣y1=4;④2AB=3AC;其中正确结论是( )A.①②B.②③C.③④D.①④ 二、填空题
13.一元二次方程y2=2y的解为 .14.某农户2010年的年收入为4万元,由于“惠农政策”的落实,2012年年收入增加到5.8万元.设每年的年增长率x相同,则可列出方程为 .15.已知二次函数y=2x2﹣6x+m的图象与x轴没有交点,则m的值为 .16.如图,在▱ABCD中,EF∥AB,DE:EA=2:3,EF=4,则CD的长为 .17.已知:如图,矩形ABCD的长和宽分别为2和1,以D为圆心,AD为半径作AE弧,再以AB的中点F为圆心,FB长为半径作BE弧,则阴影部分的面积为 .18.如图是反比例函数与在x轴上方的图象,点C是y轴正半轴上的一点,过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于点A,B.若点P在x轴上运动,则△ABP的面积等于 .三、解答题19.解方程:x2﹣6x+4=0(用配方法)20.为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度,学校数学兴趣小组做了如下探索:根据光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺,设计如下图所示的测量方案:把一面很小的镜子水平放置在离B(树底)8.4米的点E处,然后沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=3.2米,观察者目高CD=1.6米,求树AB的高度.
21.如图,小明同学用一把直尺和一块三角板测量一个光盘的直径,他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上,并量出AB=3cm,求此光盘的直径.22.四张扑克牌(方块2、黑桃4、黑桃5、梅花5)的牌面如图l,将扑克牌洗匀后,如图2背面朝上放置在桌面上.小亮和小明设计的游戏规则是两人同时抽取一张扑克牌,两张牌面数字之和为奇数时,小亮获胜;否则小明获胜.请问这个游戏规则公平吗?并说明理由.23.(8分)如图,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(4,6).双曲线y=(x>0)的图象经过BC的中点D,且与AB交于点E,连接DE.(1)求k的值及点E的坐标;(2)若F是OC边上一点,且∠CBF=∠BED,求点F的坐标.24.如图,已知AB是⊙O的直径,P为⊙O外一点,且OP∥BC,∠P=∠BAC.
(1)求证:PA为⊙O的切线;(2)若OB=5,OP=,求AC的长.25.一玩具厂去年生产某种玩具,成本为10元/件,出厂价为12元/件,年销售量为2万件.今年计划通过适当增加成本来提高产品档次,以拓展市场.若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍,今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍,则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0<x≤1).(1)用含x的代数式表示,今年生产的这种玩具每件的成本为 元,今年生产的这种玩具每件的出厂价为 元.(2)求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式.(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元,求当x为何值时,今年的年销售利润最大?最大年销售利润是多少万元?注:年销售利润=(每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本)×年销售量.26.如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.
(1)求点B的坐标;(2)求经过点A、O、B的抛物线的解析式;(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
参考答案一、选择题(本大题共12个小题;每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故A选项错误;B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故B选项错误;C、既是轴对称图形,也是中心对称图形,故C选项正确;D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故D选项错误.故选:C.【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识,解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.2.已知反比例函数y=(k≠0)的图象经过点M(﹣2,2),则k的值是( )A.﹣4B.﹣1C.1D.4【分析】把点(﹣2,2)代入反比例函数y=(k≠0)中,可直接求k的值.【解答】解:把点(﹣2,2)代入反比例函数y=(k≠0)中得2=所以,k=xy=﹣4,故选:A.【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征,反比例函数的比例系数等于在函数图象上面的点的横纵坐标的乘积.3.抛物线y=x2+2x+3的对称轴是( )
A.直线x=1B.直线x=﹣1C.直线x=﹣2D.直线x=2【分析】先把一般式化为顶点式,然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程.【解答】解:∵y=x2+2x+3=(x+1)2+2,∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1.故选:B.【点评】本题考查了二次函数的性质:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它的顶点坐标是(﹣,),对称轴为直线x=﹣.4.在某一时刻,测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时测得一根旗杆的影长为25m,那么这根旗杆的高度为( )A.10mB.12mC.15mD.40m【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解.【解答】解:设旗杆高度为x米,由题意得,=,解得:x=15.故选:C.【点评】本题考查了相似三角形的应用,主要利用了同时同地物高与影长成正比,需熟记.5.用配方法解方程x2+4x+1=0,配方后的方程是( )A.(x﹣2)2=5B.(x+2)2=5C.(x+2)2=3D.(x﹣2)2=3【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可.【解答】解:∵x2+4x=﹣1,∴x2+4x+4=﹣1+4,即(x+2)2=3,故选:C.【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程,掌握用配方法解一元二次方程的步骤:①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解,是解题的关键.6.“同吋掷两枚质地均匀的骰子,至少有一枚骰子的点数是3”的概率为( )
A.B.C.D.【分析】首先利用列表法,列举出所有的可能,再看至少有一个骰子点数为3的情况占总情况的多少即可.【解答】解:列表如下1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)由表可知一共36种等可能结果,其中至少有一枚骰子的点数是3的有11种结果,所以至少有一枚骰子的点数是3的概率为,故选:B.【点评】此题主要考查了列表法求概率,如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=,注意本题是放回实验,找到两个骰子点数相同的情况数和至少有一个骰子点数为3的情况数是关键.7.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠BOD=88°,则∠BCD的度数是( )A.88°B.92°C.106°D.136°【分析】首先根据∠BOD=88°,应用圆周角定理,求出∠BAD的度数多少;然后根据圆内接四边形的性质,可得∠BAD+∠BCD=180°,据此求出∠BCD的度数是多少即可.【解答】解:∵∠BOD=88°,∴∠BAD=88°÷2=44°,∵∠BAD+∠BCD=180°,
∴∠BCD=180°﹣44°=136°,即∠BCD的度数是136°.故选:D.【点评】(1)此题主要考查了圆内接四边形的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①圆内接四边形的对角互补.②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).(2)此题还考查了圆周角定理的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.8.在小孔成像问题中,如图所示,若为O到AB的距离是18cm,O到CD的距离是6cm,则像CD的长是物体AB长的( )A.B.C.2倍D.3倍【分析】如图,作OE⊥AB于E,EO的延长线交CD于F.由△AOB∽△DOC,推出===(相似三角形的对应高的比等于相似比),由此即可解决问题.【解答】解:如图,作OE⊥AB于E,EO的延长线交CD于F.∵AB∥CD,∴FO⊥CD,△AOB∽△DOC,∴===(相似三角形的对应高的比等于相似比),∴CD=AB,故选:A.【点评】
本题考查相似三角形的判定和性质,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,记住相似三角形对应高的比等于相似比,属于中考常考题型.9.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,M为EF的中点,连接DM,若⊙O的半径为2,则MD的长度为( )A.B.C.2D.1【分析】连接OM、OD、OF,由正六边形的性质和已知条件得出OM⊥OD,OM⊥EF,∠MFO=60°,由三角函数求出OM,再由勾股定理求出MD即可.【解答】解:连接OM、OD、OF,如图所示:∵正六边形ABCDEF内接于⊙O,M为EF的中点,∴OM⊥OD,OM⊥EF,∠MFO=60°,∴∠MOD=∠OMF=90°,∴OM=OF•sin∠MFO=2×=,∴MD===;故选:A.【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理;熟练掌握正六边形的性质,由三角函数求出OM是解决问题的关键.10.一次函数y=ax﹣a与反比例函数y=(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A.B.
C.D.【分析】先根据一次函数的性质判断出a取值,再根据反比例函数的性质判断出a的取值,二者一致的即为正确答案.【解答】解:A、由函数y=ax﹣a的图象可知a<0,由函数y=(a≠0)的图象可知a>0,相矛盾,故错误;B、由函数y=ax﹣a的图象可知a>0,﹣a>0,由函数y=(a≠0)的图象可知a<0,错误;C、由函数y=ax﹣a的图象可知a<0,由函数y=(a≠0)的图象可知a<0,正确;D、由函数y=ax﹣a的图象可知m>0,﹣a<0,一次函数与y轴交与负半轴,相矛盾,故错误;故选:C.【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质,要掌握它们的性质才能灵活解题.11.如图,把直角△ABC的斜边AC放在直线l上,按顺时针的方向在直线l上转动两次,使它转到△A2B1C2的位置,设AB=,∠BAC=30°,则顶点A运动到点A2的位置时,点A所经过的路线为( )A.(+)πB.(+)πC.2πD.π【分析】A点所经过的弧长有两段,①以C为圆心,CA长为半径,∠ACA1为圆心角的弧长;②以B1为圆心,AB长为半径,∠A1B1A2为圆心角的弧长.分别求出两段弧长,然后相加即可得到所求的结论.【解答】解:在Rt△ABC中,AB=,∠BAC=30°,∴∠ACB=60°,AC=2;由分析知:点A经过的路程是由两段弧长所构成的:①A~A1段的弧长:L1==,
②A1~A2段的弧长:L2==,∴点A所经过的路线为(+)π,故选:A.【点评】本题考查的是弧长的计算,30度角直角三角形的性质,旋转的性质,难点在于与动点知识相结合,但是只要将运动的过程分解清楚,就能顺利作答.12.如图,抛物线y1=a(x+2)2﹣3与y2=(x﹣3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结沦:①无论x取何值,y2的值总是正数;②2a=1;③当x=0时,y2﹣y1=4;④2AB=3AC;其中正确结论是( )A.①②B.②③C.③④D.①④【分析】利用二次函数的性质得到y2的最小值为1,则可对①进行判断;把A点坐标代入y1=a(x+2)2﹣3中求出a,则可对②进行判断;分别计算x=0时两函数的对应值,再计算y2﹣y1的值,则可对③进行判断;利用抛物线的对称性计算出AB和AC,则可对④进行判断.【解答】解:∵y2=(x﹣3)2+1,∴y2的最小值为1,所以①正确;把A(1,3)代入y1=a(x+2)2﹣3得a(1+2)2﹣3=3,∴3a=2,所以②错误;当x=0时,y1=(x+2)2﹣3=﹣,y2=(x﹣3)2+1=,∴y2﹣y1=+=,所以③错误;抛物线y1=a(x+2)2﹣3的对称轴为直线x=﹣2,抛物线y2=(x﹣3)2+1的对称轴为直线x=3,∴AB=2×3=6,AC=2×2=4,∴2AB=3AC,所以④正确.故选:D.【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠
0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点位置:抛物线与y轴交于(0,c).也考查了二次函数的性质. 二、填空题{本大题共6个小题;每小题3分,共18分.把答案写在题中横线上)13.一元二次方程y2=2y的解为 y1=0,y2=2 .【分析】利用因式分解法解方程.【解答】解:y2﹣2y=0,y(y﹣2)=0,y=0或y﹣2=0,所以y1=0,y2=2.故答案为y1=0,y2=2.【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).14.某农户2010年的年收入为4万元,由于“惠农政策”的落实,2012年年收入增加到5.8万元.设每年的年增长率x相同,则可列出方程为 4(1+x)2=5.8 .【分析】增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),参照本题,如果设每年的年增长率为x,根据“由2010年的年收入4万元增加到2012年年收入5.8万元”,即可得出方程.【解答】解:设每年的年增长率为x,则2011年的年收入为4(1+x)万元,2012年的年收入为4(1+x)2万元,根据题意得:4(1+x)2=5.8.故答案为4(1+x)2=5.8.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程﹣﹣增长率问题.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b(增长为+,下降为﹣).15.已知二次函数y=2x2﹣6x+m的图象与x轴没有交点,则m的值为 m> .
【分析】由二次函数y=2x2﹣6x+m的图象与x轴没有交点,可知△<0,解不等式即可.【解答】解:∵二次函数y=2x2﹣6x+m的图象与x轴没有交点,∴△<0,∴(﹣6)2﹣4×2×m<0,解得:m>;故答案为:m>.【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,熟记:有两个交点,△>0;有一个交点,△=0;没有交点,△<0是解决问题的关键.16.如图,在▱ABCD中,EF∥AB,DE:EA=2:3,EF=4,则CD的长为 10 .【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所截得的三角形与原三角形相似,再根据相似三角形的对应边成比例可解得AB的长,而在▱ABCD中,CD=AB.【解答】解:∵EF∥AB∴△DEF∽△DAB∴EF:AB=DE:DA=DE:(DE+EA)=2:5∴AB=10∵在▱ABCD中AB=CD.∴CD=10.【点评】本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质,以及平行四边形的性质,注意对应边的比不要搞错.17.已知:如图,矩形ABCD的长和宽分别为2和1,以D为圆心,AD为半径作AE弧,再以AB的中点F为圆心,FB长为半径作BE弧,则阴影部分的面积为 1 .【分析】根据题意扇形DAE的面积与扇形FBE的面积相等,则阴影部分的面积等于矩形面积的一半.【解答】解:∵AF=BF,AD=1,AB=2,
∴AD=BF=1,∴扇形DAE的面积=扇形FBE的面积,∴阴影部分的面积=1×1=1.故答案为1.【点评】考查了扇形面积的求法以及拼图的能力.18.如图是反比例函数与在x轴上方的图象,点C是y轴正半轴上的一点,过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于点A,B.若点P在x轴上运动,则△ABP的面积等于 5 .【分析】先设C(0,b),由直线AB∥x轴,则A,B两点的纵坐标都为b,而A,B分别在反比例函数与的图象上,可得到A点坐标为(,b),B点坐标为(﹣,b),从而求出AB的长,然后根据三角形的面积公式计算即可.【解答】解:设C(0,b),∵直线AB∥x轴,∴A,B两点的纵坐标都为b,而点A在反比例函数y=的图象上,∴当y=b,x=,即A点坐标为(,b),又∵点B在反比例函数y=﹣的图象上,∴当y=b,x=﹣,即B点坐标为(﹣,b),∴AB=﹣(﹣)=,∴S△ABC=•AB•OC=••b=5.故答案为:5.【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义,即在反比例函数y=的图象上任意一点象坐标轴作垂线,这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|,且保持不变.
三、解答下列各题(本题有8个小题,共66分)19.(6分)解方程:x2﹣6x+4=0(用配方法)【分析】配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.【解答】解:由原方程移项,得x2﹣6x=﹣4,等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方,得x2﹣6x+9=﹣4+9,即(x﹣3)2=5,∴x=±+3,∴x1=+3,x2=﹣+3.【点评】此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.20.(6分)为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度,学校数学兴趣小组做了如下探索:根据光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺,设计如下图所示的测量方案:把一面很小的镜子水平放置在离B(树底)8.4米的点E处,然后沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=3.2米,观察者目高CD=1.6米,求树AB的高度.【分析】先过E作EF⊥BD于点E,再根据入射角等于反射角可知,∠1=∠2,故可得出∠DEC=∠AEB,由CD⊥BD,AB⊥BD可知∠CDE=∠ABE,进而可得出△CDE∽△ABE,再由相似三角形的对应边成比例即可求出大树AB的高度.【解答】解:过点E作EF⊥BD于点E,则∠1=∠2,∵∠DEF=∠BEF=90°,∴∠DEC=∠AEB,
∵CD⊥BD,AB⊥BD,∴∠CDE=∠ABE=90°,∴△CDE∽△ABE,∴=,∵DE=3.2米,CD=1.6米,EB=8.4米,∴=,解得AB=4.2(米).答:树AB的高度为4.2米.【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用、光的反射定律等知识,解答此题的关键知道入射角等于反射角,熟练掌握相似三角形的判定和性质,属于中考常考题型.21.(8分)如图,小明同学用一把直尺和一块三角板测量一个光盘的直径,他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上,并量出AB=3cm,求此光盘的直径.【分析】先画图,根据题意求出∠OAB=60°,再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB,从而得出光盘的直径.【解答】解:如图,设光盘的圆心为O,三角板的另外两点为C,D,连接OB,OA,∵∠CAD=60°,∴∠CAB=120°,∵AB和AC与⊙O相切,∴∠OAB=∠OAC,∴∠OAB=∠CAB=60°
∵AB=3cm,∴OA=6cm,∴由勾股定理得OB=3cm,∴光盘的直径为6cm.【点评】本题考查了切线的性质,勾股定理,是基础知识要熟练掌握.22.(8分)四张扑克牌(方块2、黑桃4、黑桃5、梅花5)的牌面如图l,将扑克牌洗匀后,如图2背面朝上放置在桌面上.小亮和小明设计的游戏规则是两人同时抽取一张扑克牌,两张牌面数字之和为奇数时,小亮获胜;否则小明获胜.请问这个游戏规则公平吗?并说明理由.【分析】先利用树状图展示所有有12种等可能的结果,其中两张牌面数字之和为奇数的有8种情况,再根据概率公式求出P(小亮获胜)和P(小明获胜),然后通过比较两概率的大小判断游戏的公平性.【解答】解:此游戏规则不公平.理由如下:画树状图得:共有12种等可能的结果,其中两张牌面数字之和为奇数的有8种情况,所以P(小亮获胜)==;P(小明获胜)=1﹣=,因为>,所以这个游戏规则不公平.【点评】
本题考查了游戏公平性:判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率,然后比较概率的大小,概率相等就公平,否则就不公平.23.(8分)如图,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(4,6).双曲线y=(x>0)的图象经过BC的中点D,且与AB交于点E,连接DE.(1)求k的值及点E的坐标;(2)若F是OC边上一点,且∠CBF=∠BED,求点F的坐标.【分析】(1)根据题意可得中点D的坐标为(2,6),可求解析式,即可求k和点E的坐标;(2)由题意可证Rt△FBC∽Rt△DEB,可求CF的长,则可得OF的长,即可求点F的坐标.【解答】解:(1)在矩形OABC中,B(4,6),∴BC边中点D的坐标为(2,6),∵又曲线y=的图象经过点(2,6),∴k=12,∴解析式y=∵E点在AB上,∴E点的横坐标为4,∵反比例函数y=图象经过点E,∴E点纵坐标为3,∴E点坐标为(4,3);(2)由(1)得,BD=2,BE=3,BC=4,∵∠CBF=∠BED,∠BCF=∠DBE=90°∴Rt△FBC∽Rt△DEB,∴,即,∴CF=,
∵OF=OC﹣CF∴OF=,即点F的坐标为(0,).【点评】本题考查了反比例函数综合题,反比例函数的性质,矩形的性质,相似三角形的性质和判定,熟练运用相似三角形的判定和性质是解决问题的关键.24.(8分)如图,已知AB是⊙O的直径,P为⊙O外一点,且OP∥BC,∠P=∠BAC.(1)求证:PA为⊙O的切线;(2)若OB=5,OP=,求AC的长.【分析】(1)欲证明PA为⊙O的切线,只需证明OA⊥AP;(2)通过相似三角形△ABC∽△PAO的对应边成比例来求线段AC的长度.【解答】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC+∠B=90°.又∵OP∥BC,∴∠AOP=∠B,∴∠BAC+∠AOP=90°.∵∠P=∠BAC.∴∠P+∠AOP=90°,∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°,即OA⊥AP.又∵OA是的⊙O的半径,∴PA为⊙O的切线;(2)解:由(1)知,∠PAO=90°.∵OB=5,∴OA=OB=5.
又∵OP=,∴在直角△APO中,根据勾股定理知PA==,由(1)知,∠ACB=∠PAO=90°.∵∠BAC=∠P,∴△ABC∽△POA,∴=.∴=,解得AC=8.即AC的长度为8.【点评】本题考查的知识点有切线的判定与性质,三角形相似的判定与性质,得到两个三角形中的两组对应角相等,进而得到两个三角形相似,是解答(2)题的关键.25.(10分)一玩具厂去年生产某种玩具,成本为10元/件,出厂价为12元/件,年销售量为2万件.今年计划通过适当增加成本来提高产品档次,以拓展市场.若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍,今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍,则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0<x≤1).(1)用含x的代数式表示,今年生产的这种玩具每件的成本为 (10+7x) 元,今年生产的这种玩具每件的出厂价为 (12+6x) 元.(2)求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式.(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元,求当x为何值时,今年的年销售利润最大?最大年销售利润是多少万元?注:年销售利润=(每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本)×年销售量.【分析】(1)根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍,即为(10+10•0.7x)元/件;这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍,即为(12+12•0.5x)元/件;
(2)今年这种玩具的每件利润y等于每件的出厂价减去每件的成本价,即y=(12+6x)﹣(10+7x),然后整理即可;(3)今年的年销售量为(2+2x)万件,再根据年销售利润=(每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本)×年销售量,得到w=2(1+x)(2﹣x),然后把它配成顶点式,利用二次函数的最值问题即可得到答案.【解答】解:(1)10+7x;12+6x;(2)y=(12+6x)﹣(10+7x),∴y=2﹣x(0<x≤1);(3)∵w=2(1+x)•y=2(1+x)(2﹣x)=﹣2x2+2x+4,∴w=﹣2(x﹣0.5)2+4.5∵﹣2<0,0<x≤1,∴w有最大值,∴当x=0.5时,w最大=4.5(万元).答:当x为0.5时,今年的年销售利润最大,最大年销售利润是4.5万元.【点评】本题考查了二次函数的顶点式:y=a(x﹣k)2+h,(a≠0),当a<0,抛物线的开口向下,函数有最大值,当x=k,函数的最大值为h.也考查了代数式的表示和利润的含义以及配方法.26.(12分)如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.(1)求点B的坐标;(2)求经过点A、O、B的抛物线的解析式;(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
【分析】方法一:(1)首先根据OA的旋转条件确定B点位置,然后过B做x轴的垂线,通过构建直角三角形和OB的长(即OA长)确定B点的坐标.(2)已知O、A、B三点坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式.(3)根据(2)的抛物线解析式,可得到抛物线的对称轴,然后先设出P点的坐标,而O、B坐标已知,可先表示出△OPB三边的边长表达式,然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论,然后分辨是否存在符合条件的P点.方法二:(3)用参数表示点M坐标,分类讨论三种情况,利用两点间距离公式便可求解.(4)列出点M的参数坐标,利用MO=MB求解.此问也可通过求出OB的垂直平分线与y轴的交点得出M点.【解答】解:(1)如图,过B点作BC⊥x轴,垂足为C,则∠BCO=90°,∵∠AOB=120°,∴∠BOC=60°,又∵OA=OB=4,∴OC=OB=×4=2,BC=OB•sin60°=4×=2,∴点B的坐标为(﹣2,﹣2);(2)∵抛物线过原点O和点A、B,∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx,将A(4,0),B(﹣2.﹣2)代入,得:,
解得,∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x;(3)存在;如图,抛物线的对称轴是直线x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为(2,y),①若OB=OP,则22+|y|2=42,解得y=±2,当y=2时,在Rt△P′OD中,∠P′DO=90°,sin∠P′OD==,∴∠P′OD=60°,∴∠P′OB=∠P′OD+∠AOB=60°+120°=180°,即P′、O、B三点在同一直线上,∴y=2不符合题意,舍去,∴点P的坐标为(2,﹣2)②若OB=PB,则42+|y+2|2=42,解得y=﹣2,故点P的坐标为(2,﹣2),③若OP=BP,则22+|y|2=42+|y+2|2,解得y=﹣2,故点P的坐标为(2,﹣2),综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为(2,﹣2).方法二:(3)设P(2,t),O(0,0),B(﹣2,﹣2),∵△POB为等腰三角形,∴PO=PB,PO=OB,PB=OB,(2﹣0)2+(t﹣0)2=(2+2)2+(t+2)2,∴t=﹣2,
(2﹣0)2+(t﹣0)2=(0+2)2+(0+2)2,∴t=2或﹣2,当t=2时,P(2,2),O(0,0)B(﹣2,﹣2)三点共线故舍去,(2+2)2+(t+2)2=(0+2)2+(0+2)2,∴t=﹣2,∴符合条件的点P只有一个,∴P(2,﹣2).方法二追加第(4)问:在(3)的条件下,⊙M为△OBP的外接圆,求出圆心M的坐标.(4)∵点B,点P关于y轴对称,∴点M在y轴上,设M(0,m),∵⊙M为△OBF的外接圆,∴MO=MB,∴(0﹣0)2+(m﹣0)2=(0+2)2+(m+2)2,∴m=﹣,M(0,﹣).【点评】此题融合了函数解析式的确定、等腰三角形的判定等知识,综合程度较高,但属于二次函数综合题型中的常见考查形式,没有经过分类讨论而造成漏解是此类题目中易错的地方.