人教版数学九年级上册期末模拟试卷07（含答案）

人教版数学九年级上册期末模拟试卷一、选择题1．下列四个图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）A．B．C．D．2．一个不透明的袋子中只装有5个红球，从中随机摸出一个球是黑球（　　）A．属于随机事件B．可能性大小为C．属于不可能事件D．是必然事件3．抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是（　　）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（3，4）4．小明在解方程x2﹣4x﹣15＝0时，他是这样求解的：移项得x2﹣4x＝15，两边同时加4得x2﹣4x+4＝19，∴（x﹣2）2＝19，∴x﹣2＝±，∴x﹣2＝±，∴x1＝2+，x2＝2﹣，这种解方程的方法称为（　　）A．待定系数法B．配方法C．公式法D．因式分解法5．抛掷一枚质地均匀的硬币，若连续4次均得到“正面朝上”的结果，则对于第5次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是（　　）A．出现“正面朝上”的概率等于B．一定出现“正面朝上”C．出现“正面朝上”的概率大于D．无法预测“正面朝上”的概率6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为（　　）A．30°B．40°C．50°D．80° 7．已知x＝2是关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（　　）A．6B．8C．10D．8或108．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是（　　）A．25°B．30°C．35°D．40°9．某药品经过两次降价，每瓶零售价由112元降为63元．已知两次降价的百分率相同．要求每次降价的百分率，若设每次降价的百分率为x，则得到的方程为（　　）A．112（1﹣x）2＝63B．112（1+x）2＝63C．112（1﹣x）＝63D．112（1+x）＝6310．如图，直线l的解析式为y＝﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（　　）A．B．C．D．二、填空题11．在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于原点对称的点为B（a，b），则a•b＝　　．12．如果关于x的方程x2﹣5x+k＝0没有实数根，那么k的值为　　． 13．已知某抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位后所得抛物线的解析式为y＝x2+2x+3，那么原抛物线的解析式是　　．14．若关于x的一元二次方程（m+2）x2+3x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m的值为＝　　．15．如图，⊙O的半径为10cm，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于D，交⊙O于点C，且CD＝4cm，弦AB的长为　　cm．16．如图，圆形转盘中，A，B，C三个扇形区域的圆心角分别为150°，120°和90°．转动圆盘后，指针停止在任何位置的可能性都相同（若指针停在分界线上，则重新转动圆盘），则转动圆盘一次，指针停在B区域的概率是　　．17．我市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？若设应邀请x支球队参赛，根据题意，可列出方程　　．18．面积等于6cm2的正六边形的周长是　　．19．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＞0，⑥设x1，x2对应的函数值分别是y1，y2，则当x1＞x2＞2时y1＞y2，其中正确结论序号为　　．20．如图，正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为　　cm．（结果保留π） 三.解答题21．解方程：（1）x2+4x＝﹣3（2）a2+3a+1＝0（用公式法）22．举世瞩目的港珠澳大桥已于2018年10月24日正式通车，这座大桥是世界上最长的跨海大桥，被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”，车辆经过这座大桥收费站时，从已开放的4个收费通道A、B、C、D中可随机选择其中一个通过．（1）一辆车经过收费站时，选择A通道通过的概率是　　．（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；（3）求证：CD＝HF． 24．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，经过调研预测，它一年中获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24．（1）若利润为21万元，求n的值．（2）哪一个月能够获得最大利润，最大利润是多少？（3）当产品无利润时，企业会自动停产，企业停产是哪几个月份？25．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．（2）设OD＝t，①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）． 26．某公园在一个扇形OEF草坪上的圆心O处垂直于草坪的地上竖一根柱子OA，在A处安装一个自动喷水装置．喷头向外喷水．连喷头在内，柱高m，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，喷出的水流在与D点的水平距离4米处达到最高点B，点B距离地面2米．当喷头A旋转120°时，这个草坪可以全被水覆盖．如图1所示．（1）建立适当的坐标系，使A点的坐标为（O，），水流的最高点B的坐标为（4，2），求出此坐标系中抛物线水流对应的函数关系式；（2）求喷水装置能喷灌的草坪的面积（结果用π表示）；（3）在扇形OEF的一块三角形区域地块△OEF中，现要建造一个矩形GHMN花坛，如图2的设计方案是使H、G分别在OF、OE上，MN在EF上．设MN＝2x，当x取何值时，矩形GHMN花坛的面积最大？最大面积是多少？ 参考答案1．下列四个图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形．【解答】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误，C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项正确，D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，难度适中．2．一个不透明的袋子中只装有5个红球，从中随机摸出一个球是黑球（　　）A．属于随机事件B．可能性大小为C．属于不可能事件D．是必然事件【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．【解答】解：一个不透明的袋子中只装有5个红球，从中随机摸出一个球是黑球属于不可能事件；故选：C．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（3，4）【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+4，∴该函数的顶点坐标是（3，4），故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握抛物线y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．4．小明在解方程x2﹣4x﹣15＝0时，他是这样求解的：移项得x2﹣4x＝15，两边同时加4得x2﹣4x+4＝19，∴（x﹣2）2＝19，∴x﹣2＝±，∴x﹣2＝±，∴x1＝2+，x2＝2﹣，这种解方程的方法称为（　　）A．待定系数法B．配方法C．公式法D．因式分解法【分析】根据配方法解方程的步骤即可得．【解答】解：根据题意知这种解方程的方法称为配方法，故选：B．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法是解题的关键．5．抛掷一枚质地均匀的硬币，若连续4次均得到“正面朝上”的结果，则对于第5次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是（　　）A．出现“正面朝上”的概率等于B．一定出现“正面朝上”C．出现“正面朝上”的概率大于D．无法预测“正面朝上”的概率【分析】根据一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，从而得出答案．【解答】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是．故选：A． 【点评】本题考查了模拟实验，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为（　　）A．30°B．40°C．50°D．80°【分析】根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解．【解答】解：∵OA＝OB，∠OBA＝50°，∴∠OAB＝∠OBA＝50°，∴∠AOB＝180°﹣50°×2＝80°，∴∠C＝∠AOB＝40°．故选：B．【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．7．已知x＝2是关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（　　）A．6B．8C．10D．8或10【分析】先利用一元二次方程解的定义把x＝2代入方程x2﹣（m+4）x+4m＝0得m＝2，则方程化为x2﹣6x+8＝0，然后解方程后利用三角形三边的关系确定三角形的三边，最后就是三角形的周长．【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣（m+4）x+4m＝0得4﹣2（m+4）+4m＝0，解得m＝2，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，因为2+2＝4，所以三角形三边为4、4、2，所以△ABC的周长为10．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．8．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′ 的度数是（　　）A．25°B．30°C．35°D．40°【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，∴∠AOB′＝∠A′OA﹣∠A′OB′＝45°﹣15°＝30°，故选：B．【点评】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°是解题关键．9．某药品经过两次降价，每瓶零售价由112元降为63元．已知两次降价的百分率相同．要求每次降价的百分率，若设每次降价的百分率为x，则得到的方程为（　　）A．112（1﹣x）2＝63B．112（1+x）2＝63C．112（1﹣x）＝63D．112（1+x）＝63【分析】根据题意可得等量关系：原零售价×（1﹣百分比）（1﹣百分比）＝降价后的售价，然后根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：112（1﹣x）2＝63，故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．10．如图，直线l的解析式为y＝﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（　　） A．B．C．D．【分析】分别求出0＜t≤2和2＜t≤4时，S与t的函数关系式即可判断．【解答】解：当0＜t≤2时，S＝t2，当2＜t≤4时，S＝t2﹣（2t﹣4）2＝﹣t2+8t﹣8，观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C．故选：C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）11．在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于原点对称的点为B（a，b），则a•b＝　2　．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵点A（1，2）关于原点对称的点为B（a，b），∴a＝﹣1，b＝﹣2，∴a•b＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 12．如果关于x的方程x2﹣5x+k＝0没有实数根，那么k的值为　k＞　．【分析】根据题意可知方程没有实数根，则有△＝b2﹣4ac＜0，然后解得这个不等式求得k的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣5x+k＝0没有实数根，∴△＜0，即△＝25﹣4k＜0，∴k＞，故答案为：k＞．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有：当△＜0时，方程无实数根．基础题型比较简单．13．已知某抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位后所得抛物线的解析式为y＝x2+2x+3，那么原抛物线的解析式是　y＝（x﹣3）2+4　．【分析】根据左加右减，上加下减的规律，可得答案．【解答】解：y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2．抛物线向右平移4个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2+4，则原抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2+4，故答案是：y＝（x﹣3）2+4．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．14．若关于x的一元二次方程（m+2）x2+3x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m的值为＝　2　．【分析】先把x＝0代入方程（m+2）x2+3x+m2﹣4＝0得m2﹣4＝0，然后解关于m的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．【解答】解：把x＝0代入方程（m+2）x2+3x+m2﹣4＝0得m2﹣4＝0，解得m1＝2，m2＝﹣2，因为m+2≠0，所以m的值为2．故答案为2．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 15．如图，⊙O的半径为10cm，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于D，交⊙O于点C，且CD＝4cm，弦AB的长为　16　cm．【分析】连接OA，求出OD，根据勾股定理求出AD，根据垂径定理得出AB＝2AD，代入求出即可，【解答】解：连接OA，∵OA＝OC＝10cm，CD＝4cm，∴OD＝10﹣4＝6cm，在Rt△OAD中，有勾股定理得：AD＝＝8cm，∵OC⊥AB，OC过O，∴AB＝2AD＝16cm．故答案为16．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．16．如图，圆形转盘中，A，B，C三个扇形区域的圆心角分别为150°，120°和90°．转动圆盘后，指针停止在任何位置的可能性都相同（若指针停在分界线上，则重新转动圆盘），则转动圆盘一次，指针停在B区域的概率是　　．【分析】求出B区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．【解答】解：∵B扇形区域的圆心角为120°， 所以B区域所占的面积比例为＝，即转动圆盘一次，指针停在B区域的概率是．故答案为．【点评】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．17．我市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？若设应邀请x支球队参赛，根据题意，可列出方程　x（x﹣1）＝28　．【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝x（x﹣1），由此可得出方程．【解答】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得，x（x﹣1）＝28，故答案为：x（x﹣1）＝28．【点评】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．18．面积等于6cm2的正六边形的周长是　12cm　．【分析】根据正六边形的面积等于六个正三角形的面积之和，可出每个正三角形的边长即可，进而可求出正六边形的周长．【解答】解：如图，设正六边形外接圆的半径为a，∵正六边形的面积为6cm2，∴S△AOF＝×6＝cm2，即a•a•sin∠OFA＝a2•＝．∴a＝2cm，∴正六边形的周长是12cm，故答案为：12cm． 【点评】本题考查的是正多边形和圆及锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．19．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＞0，⑥设x1，x2对应的函数值分别是y1，y2，则当x1＞x2＞2时y1＞y2，其中正确结论序号为　①③　．【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由对称轴可知：x＝＞1，∵a＜0，∴2a+b＞0，故①正确；②由图象可知：a＜0，c＜0，b＞0，∴abc＞0，故②错误；③由图象可知：△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知x＝1，y＝a+b+c＞0，故④错误；⑤由图象可知：x＝﹣2，y＝4a﹣2b+c＜0，故⑤错误；故答案为：①③；【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．20．如图，正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为　2π　cm．（结果保留π） 【分析】首先弄清每段弧的圆心，半径及圆心角的度数，然后利用弧长公式即可求得．【解答】解：从图中可以看出翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，所以弧长＝，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，在BC边上，第一次第二次同样没有路程，AC边上也是如此，点P运动路径的长为×3＝2π．故答案为：2π．【点评】本题主要考查了旋转变换及弧长的计算公式，但是弄清弧长的圆心，半径及圆心角的度数是关键．三.（本题共12分）21．解方程：（1）x2+4x＝﹣3（2）a2+3a+1＝0（用公式法）【分析】（1）用配方法或者移项后用因式分解法都比较简便；（2）先确定二次项系数、一次项系数及常数项，再计算△，代入求根公式即可．【解答】解：（1）x2+4x+3＝0，（x+1）（x+3）＝0，（x+1）＝0，（x+3）＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3．（2）a2+3a+1＝0，△＝32﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题考查了一元二次方程的解法及公式法．可根据题目特点灵活选择（1）的解法． 四、（本题8分）22．举世瞩目的港珠澳大桥已于2018年10月24日正式通车，这座大桥是世界上最长的跨海大桥，被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”，车辆经过这座大桥收费站时，从已开放的4个收费通道A、B、C、D中可随机选择其中一个通过．（1）一辆车经过收费站时，选择A通道通过的概率是　　．（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；（2）画出树状图即可得到结论．【解答】解答：（1）一辆车经过收费站时，选择A通道通过的概率是，故答案为：．（2）列表如下：ABCDAAAABACADBBABBBCBDCCACBCCCDDDADBDCDD由表可知，共有16种等可能结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，所以选择不同通道通过的概率为＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．五、（本题共15分）23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；（3）求证：CD＝HF． 【分析】（1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE＝∠OBE；而OB＝OE，就有∠OBE＝∠OEB，等量代换有∠OEB＝∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC；又∠C＝90°，所以∠AEO＝90°，即AC是⊙O的切线；（2）根据等角的余角相等即可证明；（3）连结DE，先根据AAS证明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD＝HF．【解答】（1）证明：（1）如图，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴BF是圆O的直径，∴OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC是⊙O的切线；（2）证明：∵∠C＝∠BHE＝90°，∠EBC＝∠EBA，∴BEC＝∠BEH，∵BF是⊙O是直径，∴∠BEF＝90°，∴∠FEH+∠BEH＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，∴∠FEH＝∠FEA，∴FE平分∠AEH． （3）证明：如图，连结DE．∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC＝EH．∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，∴∠CDE＝∠HFE，∵∠C＝∠EHF＝90°，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD＝HF，【点评】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．六、（本题共15分）24．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，经过调研预测，它一年中获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24．（1）若利润为21万元，求n的值．（2）哪一个月能够获得最大利润，最大利润是多少？（3）当产品无利润时，企业会自动停产，企业停产是哪几个月份？【分析】（1）把y＝21代入，求出n的值即可；（2）根据解析式，利用配方法求出二次函数的最值即可；（3）根据解析式，求出函数值y等于0时对应的月份，依据开口方向以及增减性，再求出y小于0时的月份即可解答．【解答】解：（1）由题意得：﹣n2+14n﹣24＝21，解得：n＝5或n＝9； （2）y＝﹣n2+14n﹣24＝﹣（n﹣7）2+25，∵﹣1＜0，∴开口向下，y有最大值，即n＝7时，y取最大值25，故7月能够获得最大利润，最大利润是25万；（3））∵y＝﹣n2+14n﹣24＝﹣（n﹣2）（n﹣12），当y＝0时，n＝2或者n＝12．又∵图象开口向下，∴当n＝1时，y＜0，当n＝2时，y＝0，当n＝12时，y＝0，则该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是熟练运用配方法求二次函数的最大值，借助二次函数解决实际问题．七、探究题（本题共14分）25．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．（2）设OD＝t，①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．【分析】（1）由旋转的性质得到∠DCE＝60°，DC＝EC，即可得到结论；（2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE＝AD，于是得到C△DBE ＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，根据等边三角形的性质得到DE＝CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，求得∠BED＝90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB＝60°，求得∠CEB＝30°，求得OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2＝t③当6＜t＜10时，此时不存在；④当t＞10时，由旋转的性质得到∠DBE＝60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t＝14．【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4， ∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴t＝2；③当6＜t＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴t＝14，综上所述：当t＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．八、（本题共16分）26．某公园在一个扇形OEF草坪上的圆心O处垂直于草坪的地上竖一根柱子OA，在A处安装一个自动喷水装置．喷头向外喷水．连喷头在内，柱高m，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，喷出的水流在与D点的水平距离4米处达到最高点B，点B距离地面2米．当喷头A旋转120°时，这个草坪可以全被水覆盖．如图1所示．（1）建立适当的坐标系，使A点的坐标为（O，），水流的最高点B的坐标为（4，2），求出此坐标系中抛物线水流对应的函数关系式；（2）求喷水装置能喷灌的草坪的面积（结果用π表示）；（3）在扇形OEF的一块三角形区域地块△OEF中，现要建造一个矩形GHMN花坛，如图2的设计方案是使H、G分别在OF、OE上，MN在EF上．设MN＝2x，当x取何值时，矩形GHMN花坛的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可；（2）利用y＝0时求出图象与x轴的交点坐标，进而得出扇形的半径，即可得出S的值；（3）利用锐角三角函数关系得出MH的长，再利用二次函数最值公式求出即可．【解答】解：（1）根据题意得出：图象顶点坐标为：（4，2），故设解析式为：y＝a（x﹣4）2+2，将（O，），代入上式得：＝a（0﹣4）2+2，解得：a＝﹣，∴抛物线水流对应的函数关系式为：y＝﹣（x﹣4）2+2；（2）当y＝0时，0＝﹣（x﹣4）2+2，解得：x1＝10，x2＝﹣2（舍去），∴扇形半径为10米，∴S＝＝（平方米）；（3）过点O作OA⊥EF于点A，交GH于点B，∵∠EOF＝120°，EO＝FO＝10，∴∠OEF＝∠OFE＝30°，∴AO＝FO＝5，设MN＝2x，∴AM＝BH＝x， ∴BO＝x，∴MH＝5﹣x，由题意得出：S＝2x（5﹣x）＝﹣x2﹣10x，当x＝﹣＝时，S的值最大为：S＝（平方米）．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及扇形面积公式和锐角三角函数的关系等知识，利用数形结合得出对应点的坐标与线段的长是解题关键．