人教版数学九年级上册期末模拟试卷03（含答案）

人教版数学九年级上册期末模拟试卷一、选择题1．方程﹣5x2=1的一次项系数是（　　）A．3B．1C．﹣1D．02．下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．3．用配方法解方程x2﹣8x+11=0，则方程可变形为（　　）A．（x+4）2=5B．（x﹣4）2=5C．（x+8）2=5D．（x﹣8）2=54．下列事件中必然发生的事件是（　　）A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数5．已知圆锥的底面半径是3，母线长为6，则该圆锥侧面展开后所得扇形的圆心角为（　　）A．60°B．90°C．120°D．180°6．已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于（　　）A．﹣1B．0C．1D．27．将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字 “69”旋转180°，得到的数字是（　　）A．96B．69C．66D．998．对称轴是直线x=﹣2的抛物线是（　　）A．y=﹣x2+2B．y=x2+2C．y=（x+2）2D．y=4（x﹣2）29．“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为（　　）A．寸B．13寸C．25寸D．26寸10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c都是常数，且a≠0）的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是　　12．在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，这些球除颜色外都相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为　　个．13．抛物线y=﹣x2﹣2x+m，若其顶点在x轴上，则m=　　．14．如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为　　．15．四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD=　　．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是　　． 三、解答题17．解方程：3（x﹣4）2=﹣2（x﹣4）18．一个不透明的袋中中装有大小、质地完全相同的3只球，球上分别标有2，3，5三个数字．从这个袋子中任意摸一只球，记下所标数字，不放回，再从这个袋子中任意摸一只球，记下所标数字．将第一次记下的数字作为十位数字，第二次记下的数字作为个位数字，组成一个两位数．求所组成的两位数是5的倍数的概率．（请用”画树状图“或”列表“的方法写出过程）19．关于x的方程mx2+（m+2）x+=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．（1）把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）以原点O为对称中心，画出△A1B1C1，关于原点O对称的△A2B2C2，并写出B2的坐标．21．已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）交于点F，若FB=2，CF=FD=4，求AC的长．22．我市2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1500万元用于某镇的异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1875万元． （1）从2015年到2017年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2017年的具体实施中，该镇计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁户的奖励，规定前100户（含第100户）每户奖励2万元，100户以后每户奖励5000元，试求今年该镇最多有多少户享受到优先搬迁奖励？23．已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…5212n…（1）表中n的值为　　；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m1，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．24．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．（1）求证：DC=DE；（2）若，AB=3，求BD的长． 25．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有两个不动点．　 参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．方程﹣5x2=1的一次项系数是（　　）A．3B．1C．﹣1D．0【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可．【解答】解：方程整理得：﹣5x2﹣1=0，则一次项系数为0，故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可解答．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．3．用配方法解方程x2﹣8x+11=0，则方程可变形为（　　）A．（x+4）2=5B．（x﹣4）2=5C．（x+8）2=5D．（x﹣8）2=5【分析】把常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，把方程变化为左边是完全平方的形式．【解答】解：x2﹣8x+11=0，x2﹣8x=﹣11，x2﹣8x+16=﹣11+16， （x﹣4）2=5．故选：B．【点评】本题考查的是用配方法解方程，把方程的左边配成完全平方的形式，右边是非负数．4．下列事件中必然发生的事件是（　　）A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．【解答】解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．5．已知圆锥的底面半径是3，母线长为6，则该圆锥侧面展开后所得扇形的圆心角为（　　）A．60°B．90°C．120°D．180°【分析】求得圆锥的底面周长即为侧面扇形的弧长，利用弧长公式即可求得扇形的圆心角．【解答】解：圆锥的底面周长为：2π×3=6π，那么=6π，解得n=180°．故选：D．【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．6．已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于（　　）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】将x=m代入方程即可求出所求式子的值．【解答】解：将x=m代入方程得：m2﹣m﹣1=0，m2﹣m=1．故选：C． 【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．7．将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（　　）A．96B．69C．66D．99【分析】直接利用中心对称图形的性质结合69的特点得出答案．【解答】解：现将数字“69”旋转180°，得到的数字是：69．故选：B．【点评】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确想象出旋转后图形是解题关键．8．对称轴是直线x=﹣2的抛物线是（　　）A．y=﹣x2+2B．y=x2+2C．y=（x+2）2D．y=4（x﹣2）2【分析】由抛物线的顶点式可得出答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+c的对称轴为y轴，∴A、B不正确；∵抛物线y=a（x﹣h）2的对称轴为x=h，∴抛物线y=（x+2）2的对称轴为x=﹣2，故选：C．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握不同的解析式所对称的抛物线的对称轴是解题的关键．9．“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为（　　）A．寸B．13寸C．25寸D．26寸【分析】连接OA．设圆的半径是x尺，在直角△OAE中，OA=x，OE=x﹣1，在直角△OAE中利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径CD的长． 【解答】解：连接OA．设圆的半径是x尺，在直角△OAE中，OA=x，OE=x﹣1，∵OA2=OE2+AE2，则x2=（x﹣1）2+25，解得：x=13．则CD=2×13=26（cm）．故选：D．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线是关键．10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c都是常数，且a≠0）的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据待定系数法、方程根与系数的关系等知识和数形结合能力仔细分析即可解．【解答】解：①由y=ax2+bx+c与X轴的交点坐标为（﹣2，0）得：a×（﹣2）2+b×（﹣2）+c=0，即4a﹣2b+c=0，所以正确；②由图象开口向下知a＜0，由y=ax2+bx+c与X轴的另一个交点坐标为（x1，0），且1＜x1＜2，则该抛物线的对称轴为，即＜1，由a＜0，两边都乘以a得：b＞a，∵a＜0，对称轴x=﹣＜0，∴b＜0，∴a＜b＜0．故正确；③由一元二次方程根与系数的关系知，结合a＜0得2a+c＞0，所以结论正确，④由4a﹣2b+c=0得，而0＜c＜2，∴， ∴﹣1＜2a﹣b＜0∴2a﹣b+1＞0，所以结论正确．故填正确结论的个数是4个．故选：D．【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与X轴的交点，二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的符号是解题的关键．　二、填空题（每小题3分，共18分）11．已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是　7　【分析】设另一根为a，直接利用根与系数的关系可得到关于a的方程，则可求得答案．【解答】解：设方程的另一根为a，∵﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，∴﹣3+a=4，解得a=7，故答案为：7．【点评】本题有要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．12．在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，这些球除颜色外都相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为　24　个．【分析】首先设黄球的个数为x个，根据题意得：=，解此分式方程即可求得答案．【解答】解：设黄球的个数为x个，根据题意得：=，解得：x=24，经检验：x=24是原分式方程的解；∴黄球的个数为24．故答案为：24；【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．抛物线y=﹣x2﹣2x+m，若其顶点在x轴上，则m=　﹣1　．【分析】根据抛物线y=﹣x2﹣2x+m， 若其顶点在x轴上可知其顶点纵坐标为0，故可得出关于m的方程，求出m的值即可．【解答】解：∵抛物线y=﹣x2﹣2x+m，若其顶点在x轴上，∴=0，解得m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意得出关于m的方程是解答此题的关键．14．如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为　（﹣1）a2　．【分析】由图可知，阴影部分的面积是两个圆心角为90°，且半径为a的扇形的面积与正方形的面积的差，可据此求出阴影部分的面积．【解答】解：由题意可得出：S阴影=2S扇形﹣S正方形=2×﹣a2=（﹣1）a2．故答案为：（﹣1）a2．【点评】本题利用了扇形的面积公式，正方形的面积公式求解，得出S阴影=2S扇形﹣S正方形是解题关键．15．四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD=　130°或50°　．【分析】先根据圆心角的度数等于它所对弧的度数得到∠BOD=100°，再根据圆周角定理得∠BCD=∠BOD=50°，然后根据圆内接四边形的性质求解．【解答】解：如图∵弧BAD的度数为100°，∴∠BOD=100°， ∴∠BCD=∠BOD=50°，∴∠BAD=180°﹣∠ACD=130°．同理，当点A是优弧上时，∠BAD=50°．故答案为：130°或50°．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的对边和相等．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是　+1　．【分析】如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM为等边三角形根据AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO=AC=1，OM=CM•sin60°=，最终得到答案BM=BO+OM=1+．【解答】解：如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM为等边三角形，∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；∵∠ABC=90°，AB=BC=，∴AC=2=CM=2，∵AB=BC，CM=AM，∴BM垂直平分AC，∴BO=AC=1，OM=CM•sin60°=，∴BM=BO+OM=1+，故答案为：1+． 【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．　三、解答题（共9小题，共72分）17．（6分）解方程：3（x﹣4）2=﹣2（x﹣4）【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：3（x﹣4）2=﹣2（x﹣4），3（x﹣4）2+2（x﹣4）=0，（x﹣4）[3（x﹣4）+2]=0，x﹣4=0，3（x﹣4）+2=0，x1=4，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法．18．（6分）一个不透明的袋中中装有大小、质地完全相同的3只球，球上分别标有2，3，5三个数字．从这个袋子中任意摸一只球，记下所标数字，不放回，再从这个袋子中任意摸一只球，记下所标数字．将第一次记下的数字作为十位数字，第二次记下的数字作为个位数字，组成一个两位数．求所组成的两位数是5的倍数的概率．（请用”画树状图“或”列表“的方法写出过程）【分析】列表得出所有等可能的结果，找出组成的两位数是5的倍数的情况，即可求出所求的概率．【解答】解：列表得：2352﹣﹣﹣3252323﹣﹣﹣5352535﹣﹣﹣ 所有等可能的情况有6种，其中组成两位数是5的倍数的情况有2种，则所组成的两位数是5的倍数的概率为=．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．（8分）关于x的方程mx2+（m+2）x+=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；（2）假设存在，设方程的两根分别为x1、x2，根据根与系数的关系结合+=0，即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，再根据（1）的结论即可得出不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0．【解答】解：（1）∵关于x的方程mx2+（m+2）x+=0有两个不相等的实数根，∴，解得：m＞﹣1且m≠0．（2）假设存在，设方程的两根分别为x1、x2，则x1+x2=﹣，x1x2=．∵+==﹣=0，∴m=﹣2．∵m＞﹣1且m≠0，∴m=﹣2不符合题意，舍去．∴假设不成立，即不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零结合根的判别式△＞0，找出关于m的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合+=0，列出关于m的方程． 20．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．（1）把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）以原点O为对称中心，画出△A1B1C1，关于原点O对称的△A2B2C2，并写出B2的坐标．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用关于原点对称点的性质进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点B1的坐标为：（5，1）；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，点B2的坐标为：（﹣5，﹣1）．【点评】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．21．（8分）已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）交于点F，若FB=2，CF=FD=4，求AC的长． 【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求出答案．【解答】解：连接BC，∵AB是直径，CF=FD=4，∴AB⊥CD，∵∠ACB=90°∴∠A=∠BCF，∴△BCF∽△CAF，∴=，∴CF2=AF•BF，设AF=x，∴16=2x，∴x=8，∴由勾股定理可知：AC=4【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于中等题型．22．（8分）我市2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1500万元用于某镇的异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1875万元．（1）从2015年到2017年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （2）在2017年的具体实施中，该镇计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁户的奖励，规定前100户（含第100户）每户奖励2万元，100户以后每户奖励5000元，试求今年该镇最多有多少户享受到优先搬迁奖励？【分析】（1）设从2015年到2017年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据2015年及2017年投入的异地安置资金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设今年该镇有y户享受到优先搬迁奖励，根据100×20000+超出100户的数量×5000≤投入资金，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设从2015年到2017年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意得：1500（1+x）2=1500+1875，解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（不合题意，舍去）．答：从2015年到2017年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为50%．（2）设今年该镇有y户享受到优先搬迁奖励，根据题意得：100×20000+（y﹣100）×5000≤5000000，解得：y≤700．答：今年该镇最多有700户享受到优先搬迁奖励．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（8分）已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…5212n…（1）表中n的值为　5　；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m1，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．【分析】（1）根据表中的数据得出对称轴是直线x=2，根据对称点的特点得出即可；（2）根据表得出图象有最小值，根据顶点坐标得出即可；（3）根据二次函数的性质得出即可．【解答】解：（1）∵根据表可知：对称轴是直线x=2，∴点（0，5）和（4，n）关于直线x=2对称，∴n=5，故答案为：5； （2）根据表可知：顶点坐标为（2，1），即当x=2时，y有最小值，最小值是1；（3）∵函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，1），对称轴是直线x=2，∴当m＞2时，点A（m1，y1），B（m+1，y2）都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∵m＜m+1，∴y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，能根据表中的熟记得出正确信息是解此题的关键．24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．（1）求证：DC=DE；（2）若，AB=3，求BD的长．【分析】（1）利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出∠DCE=∠E，进而得出答案；（2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，利用勾股定理得出BD的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∴∠ACO+∠DCE=90°，又∵ED⊥AD，∴∠EDA=90°，∴∠EAD+∠E=90°，∵OC=OA，∴∠ACO=∠EAD，故∠DCE=∠E，∴DC=DE，（2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，在Rt△EAD中， ∵=，∴ED=AD=（3+x），由（1）知，DC=（3+x），在Rt△OCD中，OC2+CD2=DO2，则1.52+[（3+x）]2=（1.5+x）2，解得：x1=﹣3（舍去），x2=1，故BD=1【点评】此题主要考查了切线的性质以及以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，熟练应用切线的性质得出∠OCD=90°是解题关键．25．（10分）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有两个不动点．【分析】（1）由条件可分别求得A、B的坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）结合（1）中A、B、C的坐标，根据勾股定理可分别求得AB、AM、BM，可得到AB2+AM2=BM2，可判定△ABM为直角三角形； （3）由条件可写出平移后的抛物线的解析式，联立y=x，可得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式可求得m的范围．【解答】解：（1）∵A点为直线y=x+1与x轴的交点，∴A（﹣1，0），又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3，∴B（2，3），∵抛物线顶点在y轴上，∴可设抛物线解析式为y=ax2+c，把A、B两点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣1；（2）△ABM为直角三角形．理由如：由（1）抛物线解析式为y=x2﹣1可知M点坐标为（0，﹣1），∴AM=，AB==3，BM==2，∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，∴△ABM为直角三角形；（3）当抛物线y=x2﹣1平移后顶点坐标为（m，2m）时，其解析式为y=（x﹣m）2+2m，即y=x2﹣2mx+m2+2m，联立y=x，可得，消去y整理可得x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，∵平移后的抛物线总有不动点，∴方程x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0有两个不等的实数根，∴△＞0，即（2m+1）2﹣4（m2+2m）≥0，解得m＜，即当m＜时，平移后的抛物线总有两个不动点． 【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及其逆定理、一元二次方程等知识点．在（1）中确定出A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中分别求得AB、AM、BM的长是解题的关键，在（3）中确定出抛物线总有两个不动点的条件是解题的关键．本题考查知识点较为基础，难度适中．