苏科版数学九年级上册期末模拟试卷05（含答案）

苏科版数学九年级上册期末模拟试卷一、选择题1．﹣2的绝对值是（　　）A．﹣2B．2C．﹣D．2．下列计算正确的是（　　）A．2a﹣a=1B．a2+a2=2a4C．a2•a3=a5D．（a﹣b）2=a2﹣b23．已知x=2是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣2a=0的一个解，则a的值为（　　）A．0B．﹣1C．1D．24．将161000用科学记数法表示为（　　）A．0.161×106B．1.61×105C．16.1×104D．161×1035．三角形的两边长分别为3米和6米，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为（　　）A．11B．12C．11或13D．136．九（2）班“环保小组”的5位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，16，16．这组数据的中位数、众数分别为（　　）A．16，16B．10，16C．8，8D．8，167．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是（　　）A．20cmB．20πcm2C．40πcm2D．40cm28．如图，点D是△ABC的边AC的上一点，且∠ABD=∠C；如果=，那么=（　　）A．B．C．D．9．如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=16cm，CD=6cm，则⊙O的半径为（　　） A．cmB．10cmC．8cmD．cm10．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论①∠AED=∠ADC；②=；③AC•BE=12；④3BF=4AC，其中结论正确的个数有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．因式分解：a2﹣3a=　　．12．函数y=中，自变量x的取值范围是　　．13．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根，则x1+x2=　　．14．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC=　　．15．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，点C为圆上异于A、B的一点，∠OAB=25°，则∠ACB=　　．16．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为　　%．17．一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为　　．18．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是△A′B′C，点A的对应点A′落在中线AD上，且点A′是△ABC的重心，A′B′ 与BC相交于点E，那么BE：CE=　　．三、解答题19．解方程：（1）x2+2x=0（2）x2﹣4x+3=0．20．已知关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为负整数，求此时方程的根． 21．市中小学全面开展“体艺2+1”活动，某校根据学校实际，决定开设A：篮球，B：乒乓球，C：声乐，D：健美操等四中活动项目，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有　　人．（2）请你将统计图1补充完整．（3）统计图2中D项目对应的扇形的圆心角是　　度．（4）已知该校学生2400人，请根据调查结果估计该校最喜欢乒乓球的学生人数．22．如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长． 23．如图，已知AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）求证：四边形BNCM是菱形．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径． 25．某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价x（元/箱）与销售量y（箱）有如表关系：每箱售价x（元）68676665…40每天销量y（箱）40455055…180已知y与x之间的函数关系是一次函数．（1）求y与x的函数解析式；（2）水蜜桃的进价是40元/箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？（3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了m%，同时水蜜桃的进货成本下降了10%，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了2m%（m＜100），7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求m的值．26．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10．点Q与点B在AC的同侧，且AQ⊥AC．（1）如图1，点Q不与点A重合，连结CQ交AB于点P．设AQ=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）是否存在点Q，使△PAQ与△ABC相似，若存在，求AQ的长；若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BD⊥AQ，垂足为D．将以点Q为圆心，QD为半径的圆记为⊙Q．若点C到⊙Q上点的距离的最小值为8，求⊙Q的半径． 27．如果一个三角形的三边a，b，c能满足a2+b2=nc2（n为正整数），那么这个三角形叫做“n阶三角形”．如三边分别为1、2、的三角形满足12+22=1×（）2，所以它是1阶三角形，但同时也满足（）2+22=9×12，所以它也是9阶三角形．显然，等边三角形是2阶三角形，但2阶三角形不一定是等边三角形．（1）在我们熟知的三角形中，何种三角形一定是3阶三角形？（2）若三边分别是a，b，c（a＜b＜c）的直角三角形是一个2阶三角形，求a：b：c．（3）如图1，直角△ABC是2阶三角形，AC＜BC＜AB，三条中线BD、AE、CF所构成的三角形是何种三角形？四位同学作了猜想：A同学：是2阶三角形但不是直角三角形；B同学：是直角三角形但不是2阶三角形；C同学：既是2阶三角形又是直角三角形；D同学：既不是2阶三角形也不是直角三角形．请你判断哪位同学猜想正确，并证明你的判断．（4）如图2，矩形OACB中，O为坐标原点，A在y轴上，B在x轴上，C点坐标是（2，1），反比例函数y=（k＞0）的图象与直线AC、直线BC交于点E、D，若△ODE是5阶三角形，直接写出所有可能的k的值． 28．已知：如图1，菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，点E是AB的中点，连接AC、EC．点Q从点A出发，沿折线A﹣D﹣C运动，同时点P从点A出发，沿射线AB运动，P、Q的速度均为每秒1个单位长度；以PQ为边在PQ的左侧作等边△PQF，△PQF与△AEC重叠部分的面积为S，当点Q运动到点C时P、Q同时停止运动，设运动的时间为t．（1）当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时，求运动时间t的值；当等边△PQF的边QF恰好经过点E时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，请求出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，当点Q到达C点时，将等边△PQF绕点P旋转α°（0＜α＜360），直线PF分别与直线AC、直线CD交于点M、N．是否存在这样的α，使△CMN为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段CM的长度；若不存在，请说明理由．　 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．﹣2的绝对值是（　　）A．﹣2B．2C．﹣D．【考点】绝对值．【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．【解答】解：|﹣2|=2．故选B．【点评】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．2．下列计算正确的是（　　）A．2a﹣a=1B．a2+a2=2a4C．a2•a3=a5D．（a﹣b）2=a2﹣b2【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法．【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，即可解答．【解答】解：A.2a﹣a=a，故错误；B．a2+a2=2a2，故错误；C．a2•a3=a5，正确；D．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故错误；故选：C．【点评】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式．　3．已知x=2是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣2a=0的一个解，则a的值为（　　）A．0B．﹣1C．1D．2【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．【分析】把方程的解代入方程，可以求出字母系数a的值．【解答】解：∵x=2是方程的解，∴4﹣2﹣2a=0∴a=1．故本题选C． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．　4．将161000用科学记数法表示为（　　）A．0.161×106B．1.61×105C．16.1×104D．161×103【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：161000=1.61×105．故选B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　5．三角形的两边长分别为3米和6米，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为（　　）A．11B．12C．11或13D．13【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】解方程求得x的值，再根据三角形三边之间的关系得出符合条件的x的值，最后求出周长即可．【解答】解：∵x2﹣6x+8=0，即（x﹣2）（x﹣4）=0，∴x﹣2=0或x﹣4=0，解得：x=2或x=4，若x=2，则三角形的三边2+3＜6，构不成三角形，舍去；当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解法及三角形三边之间的关系．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．　6．九（2）班“环保小组” 的5位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，16，16．这组数据的中位数、众数分别为（　　）A．16，16B．10，16C．8，8D．8，16【考点】众数；中位数．【分析】根据众数和中位数的定义求解．找出次数最多的数为众数；把5个数按大小排列，位于中间位置的为中位数．【解答】解：在这一组数据中16是出现次数最多的，故众数是16；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是8，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是8．故选D．【点评】本题考查统计知识中的中位数和众数的定义．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．　7．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是（　　）A．20cmB．20πcm2C．40πcm2D．40cm2【考点】圆锥的计算．【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可．【解答】解：这个圆锥的侧面积=×2π×4×5=20π（cm2）．故选B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．　8．如图，点D是△ABC的边AC的上一点，且∠ABD=∠C；如果=，那么=（　　）A．B．C．D． 【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】证明△ABD∽△ACB，利用相似的性质求解即可．【解答】解：∵点D是△ABC的边AC的上一点，且∠ABD=∠C，且∠BAD=∠CAB，∴△ABD∽△ACB，如果=∴==∵=，∴AD=x，CD=3x，∴AB2=AC•AD，∴AB=2x∴=故：选A【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ABD∽△ACB，由=设AD=x，CD=3x，根据相似的性质求解．　9．如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=16cm，CD=6cm，则⊙O的半径为（　　）A．cmB．10cmC．8cmD．cm【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连结OA，如图，设⊙O的半径为r，根据垂径定理得到AC=BC=AB=8，再在Rt△OAC中利用勾股定理得到（r﹣6）2+82=r2，然后解方程求出r即可．【解答】解：连结OA，如图，设⊙O的半径为r，∵OD⊥AB，∴AC=BC=AB=8，在Rt△OAC中，∵OA=r，OC=OD﹣CD=r﹣6，AC=8， ∴（r﹣6）2+82=r2，解得r=，即⊙O的半径为cm．故选A．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．　10．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论①∠AED=∠ADC；②=；③AC•BE=12；④3BF=4AC，其中结论正确的个数有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】①∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，∠EAD=∠DAC；②易证△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：AC，AC不一定等于4．③当FC⊥AB时成立；④连接DM，可证DM∥BF∥AC，得FM：MC=BD：DC=4：3；易证△FMB∽△CMA，得比例线段求解．【解答】解：①∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，∵∠EAD=∠DAC，∴∠AED=∠ADC．故本选项正确；②∵AD平分∠BAC， ∴==，∴设AB=4x，则AC=3x，在直角△ABC中，AC2+BC2=AB2，则（3x）2+49=（4x）2，解得：x=，∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，∴△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：，故不正确；③由①知∠AED=∠ADC，∴∠BED=∠BDA，又∵∠DBE=∠ABD，∴△BED∽△BDA，∴DE：DA=BE：BD，由②知DE：DA=DC：AC，∴BE：BD=DC：AC，∴AC•BE=BD•DC=12．故本选项正确；④连接DM，在Rt△ADE中，MD为斜边AE的中线，则DM=MA．∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，∴DM∥BF∥AC，由DM∥BF得FM：MC=BD：DC=4：3；由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC=FM：MC=4：3，∴3BF=4AC．故本选项正确．综上所述，①③④正确，共有3个．故选C． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定和性质，综合性强，有一定难度．　二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．因式分解：a2﹣3a=　a（a﹣3）　．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接把公因式a提出来即可．【解答】解：a2﹣3a=a（a﹣3）．故答案为：a（a﹣3）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．　12．函数y=中，自变量x的取值范围是　x≠2　．【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2．【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．　 13．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根，则x1+x2=　3　．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系即可得出x1+x2=﹣=3，此题得解．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根，∴x1+x2=﹣=3．故答案为：3．【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和等于﹣是解题的关键．　14．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC=　6　．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据DE∥BC，可判断△ADE∽△ABC，利用对应边成比例的知识可求出BC．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即=解得：BC=6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握：相似三角形的对应边成比例．　15．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，点C为圆上异于A、B的一点，∠OAB=25°，则∠ACB=　65°　． 【考点】圆周角定理．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠AOB的度数，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵OA=OB，∠OAB=25°，∴∠AOB=180°﹣25°﹣25°=130°，∴∠ACB=∠AOB=65°，故答案为：65°．【点评】本题考查的是圆周角定理和三角形内角和定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．　16．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为　10　%．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是1000（1+x），五月份的产量是1000（1+x）2，据此列方程解答即可．【解答】解：设四、五月份的月平均增长率为x，根据题意得，1000（1+x）2=1210，解得x1=0.1，x2=﹣2.1（负值舍去），所以该厂四、五月份的月平均增长率为10%．【点评】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．　17．一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为　6cm　． 【考点】弧长的计算．【分析】根据已知的扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，代入弧长公式即可求出半径r．【解答】解：由扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，即n=60°，l=2π，根据弧长公式l=，得2π=，即r=6cm．故答案为：6cm．【点评】本题考查了弧长的计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式，理解弧长公式中各个量所代表的意义．　18．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是△A′B′C，点A的对应点A′落在中线AD上，且点A′是△ABC的重心，A′B′与BC相交于点E，那么BE：CE=　4：3　．【考点】旋转的性质；三角形的重心．【分析】先证明DA′=CB′，由DA′∥CB′，得==即可解决问题．【解答】证明：∵∠BAC=90°，A′是△ABC重心，∴BD=DC=AD，DA′=AA′=AD=BC，∵△A′CB′S是由△ABC旋转得到，∴CA′=CA，BC=CB′，∠ACB=∠A′CB′=∠DAC，∠CA′B′=90°，∴∠CAA′=∠CA′A=∠DAC，∠DA′B′+′CA′A=90°，∠B′+∠A′CB′=90°， ∴∠DA′B′=∠B′∴DA′∥CB′，∴==，设DE=k，则EC=6k，BE=DC=7k，BE=8k，∴BE：CE=8k：6k=4：3．故答案为4：3．【点评】本题考查三角形重心、旋转平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是发现DA′=CB′，记住三角形的重心把中线分成1：2两部分，属于中考常考题型．　三、解答题（本大题共10小题，共84分）19．解方程：（1）x2+2x=0（2）x2﹣4x+3=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）利用因式分解法把方程化为x=0或x+2=0，然后解两个一次方程即可；（2）利用十字相乘法把要求的式子进行因式分解，得到两个一元一次方程，然后求解即可．【解答】解：（1）x2+2x=0，x（x+2）=0，x1=0，x2=﹣2；（2）x2﹣4x+3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x1=3，x2=1．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．　20．已知关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为负整数，求此时方程的根． 【考点】根的判别式．【分析】（1）由方程有两个不等实数根可得b2﹣4ac＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据m为负整数以及（1）的结论可得出m的值，将其代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出结论．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=32﹣4（1﹣m）＞0，即5+4m＞0，解得：m＞﹣．∴m的取值范围为m＞﹣．（2）∵m为负整数，且m＞﹣，∴m=﹣1．将m=﹣1代入原方程得：x2+3x+2=（x+10）（x+2）=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣2．故当m=﹣1时，此方程的根为x1=﹣1和x2=﹣2．【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及用因式分解法解方程，解题的关键：（1）由根的情况得出关于m的一元一次不等式；（2）确定m的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由方程根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．　21．扬州市中小学全面开展“体艺2+1”活动，某校根据学校实际，决定开设A：篮球，B：乒乓球，C：声乐，D：健美操等四中活动项目，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有　200　人．（2）请你将统计图1补充完整．（3）统计图2中D项目对应的扇形的圆心角是　72　度．（4）已知该校学生2400人，请根据调查结果估计该校最喜欢乒乓球的学生人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）分析统计图可知，喜欢篮球的人数为20人，所占百分比为10%，进而得出总人数即可；（2）根据条形图可以得出喜欢C音乐的人数=200﹣20﹣80﹣40=60，即可补全条形图；（3）根据喜欢D：健美操的人数为：40人，得出统计图2中D项目对应的扇形的圆心角是：40÷200×360°=72°；（4）用全校学生数×最喜欢乒乓球的学生所占百分比即可得出答案．【解答】解：（1）根据喜欢篮球的人数为20人，所占百分比为10%，故这次被调查的学生共有：20÷10%=200；故答案为：200；（2）根据喜欢C音乐的人数=200﹣20﹣80﹣40=60，故C对应60人，如图所示：（3）根据喜欢D：健美操的人数为：40人，则统计图2中D项目对应的扇形的圆心角是：40÷200×360°=72°；故答案为：72； （4）根据样本中最喜欢乒乓球的学生人数为80人，故该校学生2400人中最喜欢乒乓球的学生人数为：×2400=960人．答：该校最喜欢乒乓球的学生人数大约为960人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．　22．如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）△ABE和△DFA都是直角三角形，还需一对角对应相等即可．根据AD∥BC可得∠DAF=∠AEB，问题得证；（2）运用相似三角形的性质求解．【解答】（1）证明：∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．（1分）∴∠B=∠AFD=90°．又∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB．∴△ABE∽△DFA．（4分） （2）解：∵AB=6，BE=8，∠B=90°，∴AE=10．（6分）∵△ABE∽△DFA，∴=．（7分）即=．∴DF=7.2．（8分）【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，以及矩形的性质、勾股定理等知识点，难度中等．　23．如图，已知AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）求证：四边形BNCM是菱形．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）利用SSS定理可直接判定△ABC≌△DCB；（2）首先根据CN∥BD、BN∥AC，可判定四边形BNCM是平行四边形，再根据△ABC≌△DCB可得∠1=∠2，进而可得BM=CM，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得结论．【解答】解：（1）∵在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（SSS）；（2）∵CN∥BD、BN∥AC，∴四边形BNCM是平行四边形，∵△ABC≌△DCB， ∴∠1=∠2，∴BM=CM，∴四边形BNCM是菱形．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．　24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．【考点】切线的判定；圆周角定理．【分析】（1）连接OA，因为点A在⊙O上，所以只要证明OA⊥AE即可；由同圆的半径相等得：OA=OD，则∠ODA=∠OAD，根据角平分线可知：∠OAD=∠EDA，所以EC∥OA，由此得OA⊥AE，则AE是⊙O的切线；（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F，证明四边形AOFE是矩形，得OF=AE=4cm，由垂径定理得：DF=3，根据勾股定理求半径OD的长．【解答】（1）证明：连结OA，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∵DA平分∠BDE，∴∠ODA=∠EDA， ∴∠OAD=∠EDA，∴EC∥OA，∵AE⊥CD，∴OA⊥AE，∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线；（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F，∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，∴四边形AOFE是矩形，∴OF=AE=4cm，又∵OF⊥CD，∴DF=CD=3cm，在Rt△ODF中，OD==5cm，即⊙O的半径为5cm．【点评】本题考查了切线的判定和性质，在判定一条直线为圆的切线时，分两种情况判定：①当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径即可，②当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，此题属于第二种情况：连接OA，是半径，证明垂直即可．　 25．（10分）（2016秋•江阴市期中）某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价x（元/箱）与销售量y（箱）有如表关系：每箱售价x（元）68676665…40每天销量y（箱）40455055…180已知y与x之间的函数关系是一次函数．（1）求y与x的函数解析式；（2）水蜜桃的进价是40元/箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？（3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了m%，同时水蜜桃的进货成本下降了10%，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了2m%（m＜100），7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求m的值．【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；（2）直接根据题意表示每箱的利润进而得出总利润等式求出答案；（3）根据题意分别表示出降价前后的利润进而得出等式求出答案．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系是：y=kx+b，根据题意可得：，解得：，故y与x之间的函数关系是：y=﹣5x+380；（2）由题意可得：（x﹣40）（﹣5x+380）=1600，解得：x1=56，x2=60，顾客要得到实惠，售价低，所以x=60舍去，所以x=56，答：要使顾客获得实惠，每箱售价是56元；（3）在（2）的条件下，x=56时，y=100，由题意得到方程：1600×16=[56×（1﹣m%）﹣40×（1﹣10%）]×100×（1+2m%）×15+7120， 解得：m1=20，m2=﹣（舍去），答：m的值为20．【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据已知7月份各量之间的变化得出等量关系进而求出是解题关键．　26．（10分）（2016秋•江阴市期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10．点Q与点B在AC的同侧，且AQ⊥AC．（1）如图1，点Q不与点A重合，连结CQ交AB于点P．设AQ=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）是否存在点Q，使△PAQ与△ABC相似，若存在，求AQ的长；若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BD⊥AQ，垂足为D．将以点Q为圆心，QD为半径的圆记为⊙Q．若点C到⊙Q上点的距离的最小值为8，求⊙Q的半径．【考点】圆的综合题．【分析】（1）先由平行线分线段成比例得出，代值即可得出结论；（2）先判断出要使△PAQ与△ABC相似，只有∠QPA=90°，进而由相似得出比例式即可得出结论；（3）分点C在⊙O内部和外部两种情况，用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵AQ⊥AC，∠ACB=90°，∴AQ∥BC，∴，∵BC=6，AC=8，∴AB=10，∵AQ=x，AP=y， ∴，∴；（2）∵∠ACB=90°，而∠PAQ与∠PQA都是锐角，∴要使△PAQ与△ABC相似，只有∠QPA=90°，即CQ⊥AB，此时△ABC∽△QAC，则，∴AQ=．故存在点Q，使△ABC∽△QAP，此时AQ=；（3）∵点C必在⊙Q外部，∴此时点C到⊙Q上点的距离的最小值为CQ﹣DQ．设AQ=x．①当点Q在线段AD上时，QD=6﹣x，QC=6﹣x+8=14﹣x，∴x2+82=（14﹣x）2，解得：x=，即⊙Q的半径为．②当点Q在线段AD延长线上时，QD=x﹣6，QC=x﹣6+8=x+2，∴x2+82=（x+2）2，解得：x=15，即⊙Q的半径为9．∴⊙Q的半径为9或．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，相似三角形的判定和性质，极值问题，勾股定理，解本题的关键是判断出CQ⊥AB，分点C在圆内和圆外两种情况．　27．（10分）（2016秋•江阴市期中）如果一个三角形的三边a，b，c能满足a2+b2=nc2（n为正整数），那么这个三角形叫做“n阶三角形”．如三边分别为1、2、的三角形满足12+22=1×（）2，所以它是1阶三角形，但同时也满足（）2+22=9×12 ，所以它也是9阶三角形．显然，等边三角形是2阶三角形，但2阶三角形不一定是等边三角形．（1）在我们熟知的三角形中，何种三角形一定是3阶三角形？（2）若三边分别是a，b，c（a＜b＜c）的直角三角形是一个2阶三角形，求a：b：c．（3）如图1，直角△ABC是2阶三角形，AC＜BC＜AB，三条中线BD、AE、CF所构成的三角形是何种三角形？四位同学作了猜想：A同学：是2阶三角形但不是直角三角形；B同学：是直角三角形但不是2阶三角形；C同学：既是2阶三角形又是直角三角形；D同学：既不是2阶三角形也不是直角三角形．请你判断哪位同学猜想正确，并证明你的判断．（4）如图2，矩形OACB中，O为坐标原点，A在y轴上，B在x轴上，C点坐标是（2，1），反比例函数y=（k＞0）的图象与直线AC、直线BC交于点E、D，若△ODE是5阶三角形，直接写出所有可能的k的值．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）等腰直角三角形为3阶三角形，根据题中的新定义验证即可；（2）根据题中的新定义列出关系式，再利用勾股定理列出关系式，即可确定出a，b，c的比值；（3）C同学猜想正确，由直角△ABC是2阶三角形，根据（2）中的结论得出AC，BC，AB之比，设出三边，表示出AE，BD，CF，利用题中的新定义判断即可；（4）根据图形设出E与D坐标，利用勾股定理表示出OE2，OD2以及ED2，由△ODE是5阶三角形，分类讨论列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值【解答】解：（1）等腰直角三角形一定是3阶三角形，理由为：设等腰直角三角形两直角边为a，a，根据勾股定理得：斜边为a，则有a2+（a）2=3a2，即等腰直角三角形一定是3阶三角形； （2）∵△ABC为一个2阶直角三角形，∴c2=a2+b2，且c2+a2=2b2，两式联立得：2a2+b2=2b2，整理得：b=a，c=a，则a：b：c=1：：；（3）C同学猜想正确，证明如下：如图，∵△ABC为2阶直角三角形，∴AC：BC：AB=1：：，设BC=2，AC=2，AB=2，∵AE，BD，CF是Rt△ABC的三条中线，∴AE2=6，BD2=9，CF2=3，∴BD2+CF2=2AE2，AE2+CF2=BD2，∴BD，AE，CF所构成的三角形既是直角三角形，又是2阶三角形；（4）根据题意设E（k，1），D（2，），则AE=k，EC=2﹣k，BD=，CD=1﹣，OA=1，OB=2，根据勾股定理得：OE2=1+k2，OD2=4+，ED2=（2﹣k）2+（1﹣）2，由△ODE是5阶三角形，分三种情况考虑：当OE2+OD2=5ED2时，即1+k2+4+=5[（2﹣k）2+（1﹣）2]，整理得：k2﹣5k+4=0，即（k﹣1）（k﹣4）=0，解得：k=1或k=4；当OE2+ED2=5OD2时，（2﹣k）2+（1﹣）2+1+k2=5（4+），整理得：k2﹣5k﹣14=0，即（k﹣7）（k+2）=0，解得：k=7或k=﹣2（舍去）； 当OD2+ED2=5OE2时，4++（2﹣k）2+（1﹣）2=5（1+k2），整理得：7k2+10k﹣8=0，即（7k﹣4）（k+2）=0，解得：k=或k=﹣2（舍去），综上，满足题意k的值为1，4，7，．【点评】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，弄清题中的新定义是解本题的关键．28．（10分）（2014•重庆校级模拟）已知：如图1，菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，点E是AB的中点，连接AC、EC．点Q从点A出发，沿折线A﹣D﹣C运动，同时点P从点A出发，沿射线AB运动，P、Q的速度均为每秒1个单位长度；以PQ为边在PQ的左侧作等边△PQF，△PQF与△AEC重叠部分的面积为S，当点Q运动到点C时P、Q同时停止运动，设运动的时间为t．（1）当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时，求运动时间t的值；当等边△PQF的边QF恰好经过点E时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，请求出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，当点Q到达C点时，将等边△PQF绕点P旋转α°（0＜α＜360），直线PF分别与直线AC、直线CD交于点M、N．是否存在这样的α，使△CMN为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段CM的长度；若不存在，请说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据题意求出运动的距离，再除以速度即可求出时间；（2）分当0＜t≤3时，当3＜t≤6时，当6＜t≤9时，当9＜t≤12时，四种情况，分别求出重叠部分面积即可；（3）分交点都在BC左侧，顶角为120°，交点都在BC右侧时，顶角可能为30°和120°；交点在BC两侧时，顶角为150°进行讨论求解即可．【解答】解：（1）当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时， 如图1AQ=AD=6，∴t=6÷1=6（秒）；当等边△PQF的边QF恰好经过点E时，如图2由菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，P、Q的速度均为每秒1个单位长度，知：∠APQ=60°，∠QEB=60°，∴QE∥AD，∵点E是AB的中点，∴此时点Q是CD的中点，可求：AD+DQ=6+3=9，所以t=9÷1=9（秒）；（2）如图3当0＜t≤3时，由菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°， 可求：∠PAG=30°，∵∠APQ=60°，∴∠AGP=90°，由AP=t，可求：PG=t，AG=t，∴S=PG×AG=；当3＜t≤6时，如图4AE=3，AP=t，∴PE=t﹣3，过点C作AB的垂线，垂足为H，由菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，可求：CH=3，BH=3，EH=6，tan∠KEB=，过点K作KM⊥AB，可求KM=，∴S△PEK=，可求∠QAG=30°，又∠AQG=60°，AQ=t，可求∠AGQ=90°，DG=t，GQ=t，∴S△AGQ=，等边三角形APD的面积为： ∴S=﹣﹣=，当6＜t≤9时如图5与前同理可求：S△FQP=，S△GQN=，S△KEP=，∴S=﹣﹣=，当9＜t≤12时，如图6求出：S△PQF=，S△QGH=S△NEP=S△KEF=，∴S=S△PQF﹣S△QGH﹣S△NEP+S△KEF=﹣﹣+=；（3） 逆时针旋转：①α=150°，如图7此时，易求∠CNM=∠NCM=∠APM=∠MAP=∠DAP=30°，可证△ACD∽△APM，∴，易求AP=12，AC=6，AD=6，解得：AM=，所以，CM=；②α=105°，如图8此时，易求CM=CN，∠CMN=∠CNM=∠APM=75°，∴AM=AP=12，在菱形ABCD中，AD=CD=6，∠D=120°，可求AC=6，所以，CM=12=6；③α=60°，如图9 此时，易求∠CMN=∠MCN=∠ACB=30°，∴BC∥PM，由AB=BP=6可得，CM=AC=所以：CM=；④α=15°，如图10此时，易求∠APM=∠M=15°，∴AM=AP=12，所以：CM=AM+AC，CM=12+．【点评】此题主要考察四边形动点综合问题，会分析运动情况，用定点研究动点问题，会用变量表示图形面积，会针对等腰三角形进行分类讨论是解题的关键．