苏科版数学九年级上册期末复习试卷05（含答案）

苏科版数学九年级上册期末复习试卷一、选择题1．抛物线y=2（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（　　）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）2．四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是中心对称图形的概率为（　　）A．B．C．D．13．函数中，自变量x的取值范围是（　　）A．x＞4B．x≥﹣2且x≠4C．x＞﹣2且x≠4D．x≠44．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（　　）A．DE=BCB．=C．△ADE∽△ABCD．S△ADE：S△ABC=1：25．已知x=2是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2=0的一个根，则m的值为（　　）A．2B．0或2C．0或4D．06．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（　　） A．B．C．D．7．已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是（　　）A．32B．34C．27D．288．给出一种运算：对于函数y=xn，规定y′=nxn﹣1．例如：若函数y=x4，则有y′=4x3．已知函数y=x3，则方程y′=12的解是（　　）A．x1=4，x2=﹣4B．x1=2，x2=﹣2C．x1=x2=0D．x1=2，x2=﹣29．无论k为何实数，二次函数y=x2﹣（3﹣k）x+k的图象总是过定点（　　）A．（﹣1，4）B．（1，0）C．（1，4）D．（﹣1，0）10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（　　）A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小二、填空题11．若方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为　　．12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表：x…﹣3﹣20135…y…70﹣8﹣9﹣57…则二次函数y=ax2+bx+c在x=2时，y=　　．13．圆锥的底面半径为14cm，母线长为21cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为　　度．14．一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球　　个． 15．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2米，CD=5米，点P到CD的距离是3米，则P到AB的距离是　　米．16．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是　　．17．如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为（3，2），（﹣1，﹣1），则两个正方形的位似中心的坐标是　　，　　．18．如图，⊙P的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以AB为边作正方形ABCD（点D、P在直线AB两侧）．若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为　　． 三、解答题19．关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+1）=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根．20．如图，点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，0）．作如下操作：①以点A为旋转中心，将△ABO顺时针方向旋转90°，得到△AB1O1；②以点O为位似中心，将△ABO放大，得到△A2B2O，使位似比为1：2，且点A2在第三象限．（1）在图中画出△AB1O1和△A2B2O；（2）请直接写出点A2的坐标：　　．（3）如果△ABO内部一点M的坐标为（m，n），写出点M在△A2B2O内的对应点N的坐标：　　． 21．小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学．（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；（2）求两人再次成为同班同学的概率．22．若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2为y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的取值范围． 23．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．24．如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 25．图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．（2）如图2，当α=　　时，BA′与半圆O相切．当α=　　时，点O′落在上．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM=BN，求t的值；（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值． 27．已知：抛物线y=ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2（a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；（2）设抛物线与x轴有两个交点的横坐标分别为x1，x2，（其中x1＞x2）．若y是关于a的函数，且y=ax2+x1，求这个函数的表达式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使y≤﹣3a2+1，则自变量a的取值范围为　　．28．如图，直线y=2x﹣2分别与x轴、y轴相交于M，N两点，并且与双曲线y=（k＞0）相交于A，B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，AC与BD的延长线交于点E（m，n）．（1）求证：=；（2）若=，求＞2x﹣2的x的取值范围；（3）在（2）的条件下，P为双曲线上一点，以OB，OP为邻边作平行四边形，且平行四边形的周长最小，求第四个顶点Q的坐标． 　参考答案1．抛物线y=2（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（　　）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线解析式可求得答案．【解答】解：∵y=2（x﹣2）2﹣3，∴顶点坐标为（2，﹣3），故选D．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．　2．四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是中心对称图形的概率为（　　）A．B．C．D．1【考点】概率公式；中心对称图形． 【分析】从四个图形中找到中心对称图形的个数，然后利用概率公式求解即可．【解答】解：∵四个图形中，是中心对称图形的有平行四边形、矩形及圆三个，∴P（中心对称图形）=，故选C．【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．　3．函数中，自变量x的取值范围是（　　）A．x＞4B．x≥﹣2且x≠4C．x＞﹣2且x≠4D．x≠4【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+2≥0且x﹣4≠0，解得x≥﹣2且x≠4．故选B．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．　4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（　　）A．DE=BCB．=C．△ADE∽△ABCD．S△ADE：S△ABC=1：2【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理． 【分析】根据中位线的性质定理得到DE∥BC，DE=BC，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定．【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴=，△ADE∽△ABC，∴，∴A，B，C正确，D错误；故选：D．【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定；解题的关键是正确找出对应线段，准确列出比例式求解、计算、判断或证明．　5．已知x=2是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2=0的一个根，则m的值为（　　）A．2B．0或2C．0或4D．0【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=2代入一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2=0中即可得到关于m的方程，解此方程即可求出m的值．【解答】解：∵x=2是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2=0的一个根，∴4（m﹣2）+8﹣m2=0，即m2﹣4m=0，解得：m=0或m=4．故选：C．【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义．掌握能使方程成立的未知数的值，就是方程的解是解题的关键．　6．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（　　） A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】先作出作BF⊥l3，AE⊥l3，再判断△ACE≌△CBF，求出CE=BF=3，CF=AE=4，然后由l2∥l3，求出DG，即可．【解答】解：如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°，∵∠BCF+∠CFB=90°，∴∠ACE=∠CBF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴CE=BF=3，CF=AE=4，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7∴AB==5，∵l2∥l3，∴=∴DG=CE=，∴BD=BG﹣DG=7﹣=， ∴=．故选A．【点评】此题是平行线分线段成比例试题，主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解本题的关键是构造全等三角形．　7．已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是（　　）A．32B．34C．27D．28【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心．【分析】如图，点O是△ABC的外心，点D是△ABC的内心，E、F、M是△ABCD内切圆与△ABC的切点．设AB=a，BC=b，则有2=，推出a+b=16，所以a2+2ab+b2=256，因为a2+b2=122=144，推出2ab=112，推出ab=28，由此即可解决问题．【解答】解：如图，点O是△ABC的外心，点D是△ABC的内心，E、F、M是△ABCD内切圆与△ABC的切点．设AB=a，BC=b，则有2=，∴a+b=16，∴a2+2ab+b2=256，∵a2+b2=122=144，∴2ab=112，∴ab=28．∴△ABC的面积为28．故选D． 【点评】本题考查三角形内切圆与内心、外接圆与外心等知识，解题的关键是记住直角三角形的内切圆半径r=，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．　8．给出一种运算：对于函数y=xn，规定y′=nxn﹣1．例如：若函数y=x4，则有y′=4x3．已知函数y=x3，则方程y′=12的解是（　　）A．x1=4，x2=﹣4B．x1=2，x2=﹣2C．x1=x2=0D．x1=2，x2=﹣2【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】首先根据新定义求出函数y=x3中的n，再与方程y′=12组成方程组得出：3x2=12，用直接开平方法解方程即可．【解答】解：由函数y=x3得n=3，则y′=3x2，∴3x2=12，x2=4，x=±2，x1=2，x2=﹣2，故选B．【点评】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，同时还以新定义的形式考查了学生的阅读理解能力；注意：①二次项系数要化为1，②根据平方根的意义开平方时，是两个解，且是互为相反数，不要丢解．　9．无论k为何实数，二次函数y=x2﹣（3﹣k）x+k的图象总是过定点（　　）A．（﹣1，4）B．（1，0）C．（1，4）D．（﹣1，0）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】无论k为何实数，二次函数y=x2﹣（3﹣k）x+k的图象总是过定点，即该定点坐标与k的值无关．【解答】解：原式可化为y=x2﹣3x+k（1+x），二次函数的图象总过该定点，即该定点坐标与m的值无关，于是1+x=0，解得x=﹣1，此时y的值为y=1+3=4，图象总过的定点是（﹣1，4）． 故选A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是明确二次函数的图象总过该定点，即该定点坐标与k的值无关．　10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（　　）A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小【考点】动点问题的函数图象．【分析】设PD=x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=2，∴AB===2，设PD=x，AB边上的高为h，h==，∵PD∥BC，∴=，∴AD=2x，AP=x，∴S1+S2=•2x•x+（2﹣1﹣x）•=x2﹣2x+4﹣=（x﹣1）2+3﹣，∴当0＜x＜1时，S1+S2的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，S1+S2的值随x的增大而增大．故选C． 【点评】本题考查动点问题的函数图象、三角形面积，平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．　二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11．若方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为　3　．【考点】根与系数的关系．【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，所以x1+x2﹣x1x2=2﹣（﹣1）=3．故答案为3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．　12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表：x…﹣3﹣20135…y…70﹣8﹣9﹣57…则二次函数y=ax2+bx+c在x=2时，y=　﹣8　．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】观察表中的对应值得到x=﹣3和x=5时，函数值都是7，则根据抛物线的对称性得到对称轴为直线x=1，所以x=0和x=2时的函数值相等，【解答】解：∵x=﹣3时，y=7；x=5时，y=7，∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，∴x=0和x=2时的函数值相等，∴x=2时，y=﹣8． 故答案为﹣8．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．　13．圆锥的底面半径为14cm，母线长为21cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为　240　度．【考点】圆锥的计算．【分析】根据弧长=圆锥底面周长=28，圆心角=弧长×180÷母线长÷π计算．【解答】解：由题意知：弧长=圆锥底面周长=2×14π=28πcm，扇形的圆心角=弧长×180÷母线长÷π=28π×180÷21π=240°．故答案为：240．【点评】本题考查的知识点为：弧长=圆锥底面周长及弧长与圆心角的关系．　14．一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球　20　个．【考点】利用频率估计概率．【分析】由于摸到黄球的频率稳定在30%，由此可以确定摸到黄球的概率，而袋中有6个黄球，由此即可求出．【解答】解：∵摸到黄球的频率稳定在30%，∴在大量重复上述实验下，可估计摸到黄球的概率为30%=0.3，而袋中黄球只有6个，∴推算出袋中小球大约有6÷0.3=20（个），故答案为：20． 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．　15．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2米，CD=5米，点P到CD的距离是3米，则P到AB的距离是　　米．【考点】相似三角形的应用．【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程即可解答．【解答】解：∵AB∥CD∴△PAB∽△PCD∴AB：CD=P到AB的距离：点P到CD的距离．∴2：5=P到AB的距离：3∴P到AB的距离为m，故答案为．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出P到AB的距离．　16．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是　6π　．【考点】扇形面积的计算；旋转的性质． 【分析】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积，即可求解．【解答】解：阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积，则阴影部分的面积是：=6π，故答案为：6π．【点评】本题主要考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积是解题的关键．　17．如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为（3，2），（﹣1，﹣1），则两个正方形的位似中心的坐标是　（1，0）　，　（﹣5，﹣2）　．【考点】位似变换．【分析】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是当E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形OEFG中A和点F的坐标分别为（3，2），（﹣1，﹣1），∴E（﹣1，0）、G（0，﹣1）、D（5，2）、B（3，0）、C（5，0），（1）当E和C是对应顶点，G和A是对应顶点时，位似中心就是EC与AG的交点，设AG所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∴，解得．∴此函数的解析式为y=x﹣1，与EC的交点坐标是（1，0）；（2）当A和E是对应顶点，C和G是对应顶点时，位似中心就是AE与CG的交点，设AE所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），，解得，故此一次函数的解析式为y=x+…①，同理，设CG所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），，解得，故此直线的解析式为y=x﹣1…②联立①②得解得，故AE与CG的交点坐标是（﹣5，﹣2）．故答案为：（1，0）、（﹣5，﹣2）．【点评】位似变化中对应点的连线一定经过位似中心．注意：本题应分两种情况讨论．　18．如图，⊙P的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以AB为边作正方形ABCD（点D、P在直线AB两侧）．若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为　9π　．【考点】扇形面积的计算；点、线、面、体；垂径定理． 【分析】连接PA、PD，过点P作PE垂直AB于点E，延长PE交CD于点F，根据垂径定理可得出AE=BE=AB，利用勾股定理即可求出PE的长度，再根据平行线的性质结合正方形的性质即可得出EF=BC=AB，DF=AE，再通过勾股定理即可求出线段PD的长度，根据边与边的关系可找出PF的长度，分析AB旋转的过程可知CD边扫过的区域为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环，根据圆环的面积公式即可得出结论．【解答】解：连接PA、PD，过点P作PE垂直AB于点E，延长PE交CD于点F，如图所示．∵AB是⊙P上一弦，且PE⊥AB，∴AE=BE=AB=3．在Rt△AEP中，AE=3，PA=5，∠AEP=90°，∴PE==4．∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，AB=BC=6，又∵PE⊥AB，∴PF⊥CD，∴EF=BC=6，DF=AE=3，PF=PE+EF=4+6=10．在Rt△PFD中，PF=10，DF=3，∠PFD=90°，∴PD==．∵若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的图形为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环．∴S=π•PD2﹣πPF2=109π﹣100π=9π．故答案为：9π． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质以及圆环的面积公式，解题的关键是分析出CD边扫过的区域的形状．本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，结合AB边的旋转，找出CD边旋转过程中扫过区域的形状是关键．　三、解答题（本大题共10小题，共96分．）19．关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+1）=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根．【考点】根的判别式．【分析】（1）根据△的意义得到△＞0，即（﹣1）2+4（m+1）＞0，然后解不等式即可得到m的取值范围；（2）在（1）中m的范围内可得到m的最小整数为﹣1，则方程变为x2﹣x=0，然后利用因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+1）=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣1）2+4（m+1）=5+4m＞0，∴m＞﹣；（2）∵m为符合条件的最小整数，∴m=﹣1．∴原方程变为x2﹣x=0，∴x（x﹣1）=0，∴x1=0，x2=1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程两个不相等的实数根；当△=0，方程两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．　20．如图，点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，0）．作如下操作： ①以点A为旋转中心，将△ABO顺时针方向旋转90°，得到△AB1O1；②以点O为位似中心，将△ABO放大，得到△A2B2O，使位似比为1：2，且点A2在第三象限．（1）在图中画出△AB1O1和△A2B2O；（2）请直接写出点A2的坐标：　（﹣6，﹣4）　．（3）如果△ABO内部一点M的坐标为（m，n），写出点M在△A2B2O内的对应点N的坐标：　（﹣2m，﹣2n）　．【考点】作图-位似变换；作图-旋转变换．【分析】（1）根据旋转变换的条件以及位似变换的条件作出图形即可．（2）根据图象即可写出点A2坐标．（3）根据位似变换，点A的变化规律，得出位似变换的点的变化规律，即可解决问题．【解答】解：（1）△AB1O1和△A2B2O，如图所示， （2）由图象可知，A2（﹣6，﹣4）．故答案为（﹣6，﹣4）．（3）△ABO内部一点M的坐标为（m，n），点M在△A2B2O内的对应点N的坐标为（﹣2m，﹣2n）．故答案为（﹣2m，﹣2n）．【点评】本题考查作图﹣位似变换、作图﹣旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握作旋转变换图形，作位似变换的图形，属于中考常考题型．　21．小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学．（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；（2）求两人再次成为同班同学的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）画树状图法或列举法，即可得到所有可能的结果；（2）由（1）可知两人再次成为同班同学的概率．【解答】解：（1）画树状图如下：由树形图可知所以可能的结果为AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC；（2）由（1）可知两人再次成为同班同学的概率==．【点评】本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　22．若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“ 同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2为y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的取值范围．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，再利用二次函数的性质就可以解决问题．【解答】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1． ∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，∴y1+y2=2x2﹣4x+3+x2+bx+c=3x2+（b﹣4）x+（c+3），∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=3（x﹣1）2+1=3x2﹣6x+4，∴函数y2的表达式为：y2=x2﹣2x+1．∴y2=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵1＞0，∴函数y2的图象开口向上．当0≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2的取值范围为0≤y2≤4．【点评】本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解是解决第二小题的关键．　23．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．【考点】切线的性质．【分析】（1）欲证明AC∥DE，只要证明AC⊥OD，ED⊥OD即可．（2）作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD，首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE•DM，只要求出DM即可．【解答】（1）证明：∵ED与⊙O相切于D，∴OD⊥DE，∵F为弦AC中点， ∴OD⊥AC，∴AC∥DE．（2）解：作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD．首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE•DM，只要求出DM即可．（方法二：证明△ADE的面积等于四边形ACDE的面积）∵AC∥DE，AE=AO，∴OF=DF，∵AF⊥DO，∴AD=AO，∴AD=AO=OD，∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形，∴∠CDO=∠DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DD=a，∴AO∥CD，又AE=CD，∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM=a，∴平行四边形ACDE面积=a2．【点评】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．　24．（10分）（2011•泰安）如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）根据一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）可得到关于b、k1的方程组，进而可得到一次函数的解析式，设M（m，n）作MD⊥x轴于点D，由△OBM的面积为2可求出n的值，将M（m，4）代入y=2x﹣2求出m的值，由M（3，4）在双曲线上即可求出k2的值，进而求出其反比例函数的解析式；（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，由MD⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由锐角三角函数的定义可得出OP的值，进而可得出结论．【解答】解：（1）∵直线y=k1x+b过A（0，﹣2），B（1，0）两点∴，∴∴一次函数的表达式为y=2x﹣2．∴设M（m，n），作MD⊥x轴于点D∵S△OBM=2，∴，∴∴n=4（5分）∴将M（m，4）代入y=2x﹣2得4=2m﹣2，∴m=3∵M（3，4）在双曲线上，∴， ∴k2=12∴反比例函数的表达式为（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，∵MD⊥BP，∴∠PMD=∠MBD=∠ABO∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO==2（8分）∴在Rt△PDM中，，∴PD=2MD=8，∴OP=OD+PD=11∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）（10分）【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到的知识点为用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式、锐角三角函数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．　25．（10分）（2016秋•南通期末）图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α． （1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．（2）如图2，当α=　45°　时，BA′与半圆O相切．当α=　30°　时，点O′落在上．【考点】切线的判定；平行线的性质．【分析】（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=A′B=AB=OA，可判定A′C与半圆相切；（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在上时，连接AO′，则可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°．【解答】解：（1）相切，理由如下：如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，∵α=15°，A′C∥AB，∴∠ABA′=∠CA′B=30°，∴DE=A′E，OE=BE，∴DO=DE+OE=（A′E+BE）=AB=OA，∴A′C与半圆O相切；（2）当BA′与半圆O相切时，则OB⊥BA′，∴∠OBA′=2α=90°，∴α=45°，当O′在上时，如图2， 连接AO′，则可知BO′=AB，∴∠O′AB=30°，∴∠ABO′=60°，∴α=30°，故答案为：45°；30°．【点评】本题主要考查切线的判定和性质及含特殊角的直角三角形的性质，掌握切线的判定和性质是解题的关键，注意切线的判定方法有两种，即①有切点时连接圆心和切点证明垂直，②无切点时作垂直证明圆心到直线的距离等于半径．　26．（10分）（2016•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM=BN，求t的值；（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．【考点】相似形综合题． 【分析】（1）由已知条件得出AB=10，．由题意知：BM=2t，，，由BM=BN得出方程，解方程即可；（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；（3）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t．四边形ACNM的面积y=△ABC的面积﹣△BMN的面积，得出y是t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，∴∠B=30°，∴AB=2AC=10，．由题意知：BM=2t，，∴，∵BM=BN，∴，解得：．（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，则，即，解得：．②当△NBM∽△ABC时，则，即，解得：．综上所述：当或时，△MBN与△ABC相似．（3）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴， 即，解得：MD=t．设四边形ACNM的面积为y，∴y===．∴根据二次函数的性质可知，当时，y的值最小．此时，．【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积的计算；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．　27．（12分）（2016秋•南通期末）已知：抛物线y=ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2（a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；（2）设抛物线与x轴有两个交点的横坐标分别为x1，x2，（其中x1＞x2）．若y是关于a的函数，且y=ax2+x1，求这个函数的表达式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使y≤﹣3a2+1，则自变量a的取值范围为　0＜a≤　． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．【分析】（1）先计算判别式的值，然后利用判别式的意义判断抛物线与x轴有两个交点；（2）利用求根公式解方程得x1=1，x2=1﹣，于是得到y=a﹣1（a＞0）；（3）利用图象法解决问题：先画出直线y=a﹣1和抛物线y=﹣3a2+1的图象，如图，通过解方程得到a﹣1=﹣3a2+1可得到直线y=a﹣1和抛物线y=﹣3a2+1的图象的交点坐标为（﹣1，﹣2）、（，﹣），然后观察函数图形得到当﹣1≤a≤时，a﹣1≤﹣3a2+1，由于a＞0，于是得到a的取值范围为0＜a≤．【解答】（1）证明：∵△=4（a﹣1）2﹣4a（a﹣2）=4＞0，∴抛物线与x轴有两个交点；（2）解：解方程得x=，∴x=1或x=1﹣，∵a＞0，x1＞x2，∴x1=1，x2=1﹣，∴y=a（1﹣）+1=a﹣1（a＞0）；（3）解：画出直线y=a﹣1和抛物线y=﹣3a2+1的图象，如图，解方程得到a﹣1=﹣3a2+1得a=﹣1或a=，即直线y=a﹣1和抛物线y=﹣3a2+1的图象的交点坐标为（﹣1，﹣2）、（，﹣）， 当﹣1≤a≤时，a﹣1≤﹣3a2+1，而a＞0，∴a的取值范围为0＜a≤．故答案为0＜a≤．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．解决（3）小题的关键是求出直线与抛物线的交点坐标．　28．（14分）（2016•如皋市校级二模）如图，直线y=2x﹣2分别与x轴、y轴相交于M，N两点，并且与双曲线y=（k＞0）相交于A，B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，AC与BD的延长线交于点E（m，n）．（1）求证：=；（2）若=，求＞2x﹣2的x的取值范围；（3）在（2）的条件下，P为双曲线上一点，以OB，OP为邻边作平行四边形，且平行四边形的周长最小，求第四个顶点Q的坐标． 【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）设A（x1，），B（x2，），则有AE=x1﹣x2，BE=﹣，EC=﹣x2，ED=，首先证明=，由此即可解决问题．（2））由DM∥AE，得==，设A（m，n）则B（﹣，﹣2n），把A、B代入y=2x﹣2得到，解得，求出A、B两点坐标即可解决问题．（3）因为点B是定点，OB是定长，所以要求平行四边形OBPQ的周长的最小值只需要求出OP的最小值即可，由P在y=上，设P（a，），因为OP2=n2+=（n﹣）2+8，所以当n﹣=0时，OP2的值最小，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：设A（x1，），B（x2，），则有AE=x1﹣x2，BE=﹣，EC=﹣x2，ED=，∵==﹣，==﹣，∴=，∴=．（2）∵DM∥AE，∴==， ∴A（m，n）则B（﹣，﹣2n），把A、B代入y=2x﹣2得到，解得，∴A（2，2），B（﹣1，﹣4），由图象可知，＞2x﹣2时，x＜﹣1或0＜x＜2．（3）由（2）可知反比例函数解析式为y=，A（2，2），B（1，﹣4），∵四边形OBPQ是平行四边形，∴OB=PQ，PO=BQ，∵点B是定点，∴OB是定长，∴要求平行四边形OBPQ的周长的最小值只需要求出OP的最小值即可