苏科版数学九年级上册期末模拟试卷七（含答案）

苏科版数学九年级上册期末模拟试卷一、选择题：1．已知四条线段满足，将它改写成为比例式，下面正确的是（　　）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的，则∠A的正切值（　　）A．缩小为原来的B．扩大为原来的4倍C．缩小为原来的D．没有变化3．一组数据2、5、4、3、5、4、5的中位数和众数分别是（　　）A．3.5，5B．4，4C．4，5D．4.5，44．在抛物线y=x2﹣4x﹣4上的一个点是（　　）A．（4，4）B．（，）C．（3，﹣1）D．（﹣2，﹣8）5．一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是（　　）A．B．C．D．16．如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“1”和“4”（单位：cm），则该圆的半径为（　　）A．5cmB．cmC．cmD．cm7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1．有位学生写出了以下五个结论：（1）ac＞0；（2）方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3；（3）2a﹣b=0；（4）当x＞1时，y随x的增大而减小；则以上结论中正确的有（　　）第34页（共34页） A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB=3，则点M到直线l的距离为（　　）A．B．C．2D．二、填空题：9．一元二次方程x2﹣x=0的根是　　．10．已知△ABC与△DEF相似且周长比为2：5，则△ABC与△DEF的相似比为　　．11．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，甲、乙两块试验田的平均数都是13，方差结果为：S甲2=36，S乙2=158，则小麦长势比较整齐的试验田是　　．12．小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是　　．13．已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积为　　．14．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是　　．15．已知a是方程2x2+3x﹣6=0的一个根，则代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值为　　．第34页（共34页） 16．如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与⊙O相切于E点．若正方形ABCD的周长为44，且DE=6，则sin∠ODE=　　．17．若A（），B（），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是　　．18．△ABC中，AD是BC边上的高，BD=3，CD=1，AD=2，P、Q、R分别是BC、AB、AC边上的动点，则△PQR周长的最小值为　　．三、解答题：19．（1）计算：tan260°+4sin30°•cos45°（2）解方程：x2﹣4x+3=0．20．作图题：如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2，画出图形；（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标．第34页（共34页） 21．A，B，C三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用了两种方式进行了统计，如表和图1：竞选人A　B　C笔试　85　95　90口试　80　85（1）请将表和图1中的空缺部分补充完整．（2）竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图2（没有弃权票，每名学生只能推荐一个），则B在扇形统计图中所占的圆心角是　　度．（3）若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选．22．一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2），1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是　　（2）先从中任意摸出一个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表），求两次都摸到红球的概率．第34页（共34页） 23．如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED．（1）求证：ED∥AC；（2）连接AE，试证明：AB•CD=AE•AC．24．某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）第34页（共34页） 25．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）D是y轴正半轴上的点，OD=3，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，①试说明EF是圆的直径；②判断△AEF的形状，并说明理由．26．公司投资750万元，成功研制出一种市场需求量较大的产品，并再投入资金1750万元进行相关生产设备的改进．已知生产过程中，每件产品的成本为60元．在销售过程中发现，当销售单价定为120元时，年销售量为24万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元）（x＞120），年销售量为y（万件），第一年年获利（年获利=年销售额﹣生产成本）为z（万元）．（1）求出y与x之间，z与x之间的函数关系式；（2）该公司能否在第一年收回投资．第34页（共34页） 27．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB•AF=CB•CD；（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是线段DE上的动点．设DP=xcm，梯形BCDP的面积为ycm2．①求y关于x的函数关系式．②y是否存在最大值？若有求出这个最大值，若不存在请说明理由．28．如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）b=　　；点D的坐标：　　；（2）线段AO上是否存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为1；（3）在x轴负半轴上是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．　第34页（共34页） 参考答案一、选择题：1．已知四条线段满足，将它改写成为比例式，下面正确的是（　　）A．B．C．D．【考点】比例线段．【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．【解答】解：根据四条线段满足，可得ab=cd，A、如果=，那么ad=cb，故此选项错误；B、如果=，那么ad=bc，故此选项错误；C、如果=，那么ab=cd，故此选项正确；D、如果=，那么ac=bd，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了比例线段，掌握比例的基本性质，根据比例的基本性质实现比例式和等积式的互相转换是解题关键．　2．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的，则∠A的正切值（　　）A．缩小为原来的B．扩大为原来的4倍C．缩小为原来的D．没有变化【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据题意得到锐角A的对边与邻边的比值不变，然后根据正切的定义可判断锐角A的正切值不变．【解答】解：∵在Rt△ABC中，如果每个边都缩小为原来的，∴锐角A的对边与邻边的比值不变，∴锐角A的正切值不变．故选D．第34页（共34页） 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的正切等于锐角A对边与邻边的比值．　3．一组数据2、5、4、3、5、4、5的中位数和众数分别是（　　）A．3.5，5B．4，4C．4，5D．4.5，4【考点】众数；中位数．【分析】根据众数和中位数的概念求解．【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，4，4，5，5，5，众数为：5，中位数为：4．故选C【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．　4．在抛物线y=x2﹣4x﹣4上的一个点是（　　）A．（4，4）B．（，）C．（3，﹣1）D．（﹣2，﹣8）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】把x=4、﹣、3、﹣2分别代入y=x2﹣4x﹣4，计算出对应的函数值后进行判断．【解答】解：∵当x=4时，y=x2﹣4x﹣4=42﹣4×4﹣4=﹣4；当x=﹣时，y=x2﹣4x﹣4=（﹣）2﹣4×（﹣）﹣4=﹣；当x=3时，y=x2﹣4x﹣4=32﹣4×3﹣4=﹣7；当x=﹣2时，y=x2﹣4x﹣4=（﹣2）2﹣4×（﹣2）﹣4=8；∴点（﹣，﹣）在抛物线y=x2﹣4x﹣4上．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，其图象上点的坐标满足其解析式．第34页（共34页） 　5．一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是（　　）A．B．C．D．1【考点】列表法与树状图法．【分析】根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出概率即可．【解答】解：用A和a分别表示粉色有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示白色有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：Aa、Ab、Ba、Bb所以颜色搭配正确的概率是；故选B．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．　6．如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“1”和“4”（单位：cm），则该圆的半径为（　　）A．5cmB．cmC．cmD．cm【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】根据题意可知，圆内的弦长为3cm，作出弦的弦心距，根据垂径定理和勾股定理，可以求出圆的半径．【解答】解：如图示，连接OA，根据题意知，PC=2cm，OP⊥AB，第34页（共34页） ∴AP=BP，∵AB=3cm，∴AP=cm，在Rt△AOP中，设OA=x，则0P=x﹣2，根据勾股定理得，+（x﹣2）2=x2，解得，x=．故选C．【点评】解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．　7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1．有位学生写出了以下五个结论：（1）ac＞0；（2）方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3；（3）2a﹣b=0；（4）当x＞1时，y随x的增大而减小；则以上结论中正确的有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．第34页（共34页） 【分析】由函数图象可得抛物线开口向下，得到a小于0，又抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，得到c大于0，进而得到a与c异号，根据两数相乘积为负得到ac小于0，即可判断（1）；由抛物线与x轴的交点为（3，0）及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），进而得到方程ax2+bx+c=0的两根分别为﹣1和3，即可判断（2）；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，即可判断（3）；由抛物线的对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y随x的增大而减小，对称轴左边y随x的增大而增大，故x＞1时，y随x的增大而减小，即可判断（4）．【解答】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得：抛物线开口向下，即a＜0，抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，即c＞0，ac＜0，（1）错误；由图象可得抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3，（2）正确．∵对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即2a+b=0，（3）错误；由函数图象可得：当x＞1时，y随x的增大而减小，故（4）正确；综上所知正确的有（2）（4）两个，故选B．【点评】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．　8．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB=3，则点M到直线l的距离为（　　）A．B．C．2D．【考点】抛物线与x轴的交点．第34页（共34页） 【分析】设M到直线l的距离为m，则有x2+bx+c=m两根的差为3，又x2+bx+c=0时，△=0，列式求解即可．【解答】解：抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴△=b2﹣4ac=0，∴b2﹣4c=0，设M到直线l的距离为m，则有x2+bx+c=m两根的差为3，可得：b2﹣4（c﹣m）=9，解得：m=．故答案选B．【点评】此题主要考查抛物线与x轴和直线的交点问题，会用根的判别式和根与系数的关系进行列式求解是解题的关键．　二、填空题：9．一元二次方程x2﹣x=0的根是　x1=0，x2=1　．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程变形得：x（x﹣1）=0，可得x=0或x﹣1=0，解得：x1=0，x2=1．故答案为：x1=0，x2=1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．　10．已知△ABC与△DEF相似且周长比为2：5，则△ABC与△DEF的相似比为　2：5　．【考点】相似三角形的性质．【专题】存在型．【分析】直接根据相似三角形性质进行解答即可．【解答】解：∵△ABC与△DEF相似且周长比为2：5，第34页（共34页） ∴两三角形的形似比为2：5．故答案为：2：5．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比．　11．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，甲、乙两块试验田的平均数都是13，方差结果为：S甲2=36，S乙2=158，则小麦长势比较整齐的试验田是　甲　．【考点】方差．【分析】根据方差的意义判断即可．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．【解答】解：由方差的意义，观察数据可知甲块试验田的方差小，故甲试验田小麦长势比较整齐．故答案为：甲．【点评】本题考查方差的定义与意义，关键是根据它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．　12．小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是　　．【考点】几何概率．【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（4块）的面积占总面积（9块）的，则它最终停留在黑色方砖上的概率是；故答案为：．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．第34页（共34页） 　13．已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积为　8π　．【考点】圆锥的计算．【专题】计算题．【分析】求出圆锥的底面圆周长，利用公式S=LR即可求出圆锥的侧面积．【解答】解：圆锥的地面圆周长为2π2=4π，则圆锥的侧面积为×4π×4=8π．故答案为8π．【点评】本题考查了圆锥的计算，能将圆锥侧面展开是解题的关键，并熟悉相应的计算公式．　14．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是　　．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．【专题】网格型．【分析】连接AC，根据网格特点和正方形的性质得到∠BAC=90°，根据勾股定理求出AC、AB，根据正切的定义计算即可．【解答】解：连接AC，由网格特点和正方形的性质可知，∠BAC=90°，根据勾股定理得，AC=，AB=2，则tan∠ABC==，故答案为：．第34页（共34页） 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理及其逆定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．　15．已知a是方程2x2+3x﹣6=0的一个根，则代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值为　7　．【考点】一元二次方程的解．【分析】首先把代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）去括号合并同类项得到2a2+3a+1，然后把a代入方程2x2+3x﹣6=0得到2a2+3a=6，即可解决问题．【解答】解：3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）=6a2+3a﹣4a2+1=2a2+3a+1，∵a是方程2x2+3x﹣6=0的一个根，∴2a2+3a=6，∴2a2+3a+1=6+1=7，即代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值为7，故答案为7．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解以及代数式的化简求值的知识，利用整体代入求值是解答本题的关键，此题难度不大．　16．如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与⊙O相切于E点．若正方形ABCD的周长为44，且DE=6，则sin∠ODE=　　．【考点】切线的性质；正方形的性质．【分析】求出正方形ANOM，求出AM长，根据勾股定理切点OD的长，根据解直角三角形求出即可．【解答】解：设切线AD的切点为M，切线AB的切点为N，连接OM、ON、OE，∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的周长为44，∴AD=AB=11，∠A=90°，第34页（共34页） ∵圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，∴∠OMA=∠ONA=90°=∠A，∵OM=ON，∴四边形ANOM是正方形，∵AD和DE与圆O相切，∴OE⊥DE，DM=DE=6，∴AM=11﹣6=5，∴OM=ON=OE=5，在RT△ODM中，OD===∵OE=OM=5，∴sin∠ODE===．故答案为．【点评】本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，关键是求出AM长和得出DE=DM．　17．若A（），B（），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是　y2＜y1＜y3　．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】将二次函数y=x2+4x﹣5配方，求对称轴，再根据A、B、C三点与对称轴的位置关系，开口方向判断yl，y2，y3的大小．【解答】解：∵y=x2+4x﹣5=（x+2）2﹣9，∴抛物线开口向上，对称轴为x=﹣2，∵A、B、C三点中，B点离对称轴最近，C点离对称轴最远，∴y2＜y1＜y3．第34页（共34页） 故本题答案为：y2＜y1＜y3．【点评】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．　18．△ABC中，AD是BC边上的高，BD=3，CD=1，AD=2，P、Q、R分别是BC、AB、AC边上的动点，则△PQR周长的最小值为　　．【考点】轴对称-最短路线问题．【分析】如图1中，作P点关于AB的对称点P′，作P点关于AC的对称点P″，连接P′P″，与AB交于点Q′，与AC交于点R′，连接PP′交AB于M，连接PP″交AC于N，此时△PQ′R′的周长最小，这个最小值=P′P″，再证明P′P″=2MN，MN最小时，△PQR周长最小，利用图2证明当点P与点D重合时MN最小，在图3中利用相似三角形的性质求出MN的最小值即可解决问题．【解答】解：如图1中，作P点关于AB的对称点P′，作P点关于AC的对称点P″，连接P′P″，与AB交于点Q′，与AC交于点R′，连接PP′交AB于M，连接PP″交AC于N，此时△PQ′R′的周长最小，这个最小值=P′P″，∵PM=MP′，PN=NP″，∴P′P″=2MN，∴当MN最小时P′P″最小．如图2中，第34页（共34页） ∵∠AMP=∠ANP=90°，∴A、M、P、N四点共圆，线段AP就是圆的直径，MN是弦，∵∠MAN是定值，∴直径AP最小时，弦MN最小，∴当点P与点D重合时，PA最小，此时MN最小．如图3中，∵在RT△ABD中，∠ADB=90°，AD=2，DB=3，∴AB==，在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2，CD=1，∴AC==，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴•AC•DN=•DC•AD，∴DN=，AN==，∵∠MAD=∠DAB，∠AMD=∠ADB，∴△AMD∽△ADB，∴=，∴AD2=AM•AB，同理AD2=AN•AC，第34页（共34页） ∴AM•AB=AN•AC，∴=，∵∠MAN=∠CAB，∴△AMN∽△ACB，∴=，∴=，∴MN=，∴△PQR周长的最小值=P′P″=2MN=．故答案为．【点评】此题主要考查了轴对称﹣最短问题、圆、相似三角形的判定和性质等知识，根据两点之间线段最短的知识找到P点的位置是解答此题的关键，题目比较难，属于中考填空题中的压轴题．　三、解答题：（共96分）19．（2015秋•盐城校级期末）（1）计算：tan260°+4sin30°•cos45°（2）解方程：x2﹣4x+3=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；特殊角的三角函数值．【分析】（1）直接把tan60°=、sin30°=和cos45°=代入原式化简求值即可；（2）直接利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解得到（x﹣1）（x﹣3）=0，再解两个一元一次方程即可．【解答】解：（1）tan260°+4sin30°•cos45°=（）2+4××=3+（2）x2﹣4x+3=0因式分解得，（x﹣1）（x﹣3）=0，解得，x1=1，x2=3．第34页（共34页） 【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后，方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用，此题还考查了特殊角的三角函数值的知识．　20．作图题：如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2，画出图形；（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标．【考点】作图-位似变换．【分析】（1）延长BO到B′，使OB′=2OB，则B′就是B的对应点，同样可以作出C的对称点，则对应的三角形即可得到；（2）根据（1）的作图即可得到B′、C′的坐标．【解答】解：（1）△OB′C′是所求的三角形；（2）B′的坐标是（﹣6，2），C′的坐标是（﹣4，﹣2）．【点评】本题考查了画位似图形及画三角形的内心．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．　21．A，B，C三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用了两种方式进行了统计，如表和图1：竞选人A　B　C第34页（共34页） 笔试　85　95　90口试　80　85（1）请将表和图1中的空缺部分补充完整．（2）竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图2（没有弃权票，每名学生只能推荐一个），则B在扇形统计图中所占的圆心角是　144　度．（3）若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选．【考点】条形统计图；统计表；加权平均数．【分析】（1）根据C的笔试成绩是90分即可作图；（2）利用B所占的比例乘以360度即可求解；（3）首先求得A、B、C的投票得分，然后利用加权平均数公式即可求解．【解答】解：（1）补充图形如下：；（2）360°×40%=144°；（3）A的投票得分是：300×35%=105（分），则A的最后得分是：=92.5（分）；第34页（共34页） B的投票得到是：300×40%=120（分），则B的最后得分是：=98（分）；C的投票得分是：300×25%=75（分），则C的最终得分是：=84（分）．所以B当选．【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．　22．一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2），1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是　　（2）先从中任意摸出一个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表），求两次都摸到红球的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】计算题．【分析】（1）根据4个小球中红球的个数，即可确定出从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次都摸到红球的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：（1）4个小球中有2个红球，则任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是；故答案为：；（2）列表如下：红红白黑红﹣﹣﹣（红，红）（白，红）（黑，红）红（红，红）﹣﹣﹣（白，红）（黑，红）白（红，白）（红，白）﹣﹣﹣（黑，白）黑（红，黑）（红，黑）（白，黑）﹣﹣﹣所有等可能的情况有12种，其中两次都摸到红球有2种可能，第34页（共34页） 则P（两次摸到红球）==．【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　23．（2015秋•盐城校级期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED．（1）求证：ED∥AC；（2）连接AE，试证明：AB•CD=AE•AC．【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．【分析】（1）由圆周角定理，可得∠BAD=∠E，又由BE∥AD，易证得∠BAD=∠ADE，然后由AD是△ABC的角平分线，证得∠CAD=∠ADE，继而证得结论；（2）首先连接AE，易得∠CAD=∠ABE，∠ADC=∠AEB，则可证得△ADC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．【解答】证明：（1）∵BE∥AD，∴∠E=∠ADE，∵∠BAD=∠E，∴∠BAD=∠ADE，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAD=∠ADE，∴ED∥AC；（2）连接AE，∵∠CAD=∠ADE，∠ADE=∠ABE，∴∠CAD=∠ABE，第34页（共34页） ∵∠ADC+∠ADB=180°，∠ADB+∠AEB=180°，∴∠ADC=∠AEB，∴△ADC∽△BEA，∴AC：AB=CD：AE，∴AB•CD=AE•AC．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理．注意证得△ADC∽△BEA是解此题的关键．　24．（2015秋•盐城校级期末）某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）【考点】解直角三角形的应用．【分析】过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D，通过解Rt△ADC得到AD=2CD=2x，在Rt△BDC中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值．【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x米．Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，所以AD==2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan60°==，解得：x≈3．第34页（共34页） 所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．　25．（2015秋•盐城校级期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）D是y轴正半轴上的点，OD=3，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，①试说明EF是圆的直径；②判断△AEF的形状，并说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线方程，即可求得a、b、c的值；（2）①由B、C、D三点的坐标即可得出∠CBO=∠OBD=45°，从而得出∠EBF=90°，即可得出EF为圆的直径；②利用同圆内，同弧所对的圆周角相等，可以找到∠AEF=∠AFE=45°，从而得出△AEF是等腰直角三角形．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），∴有，解得，第34页（共34页） ∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）按照题意画出图形，如下图，①∵B点坐标（3，0）、C点坐标（0，﹣3），∴OB=OC=3，∴△BOC为等腰直角三角形，∴∠CBO=45°，又∵D是y轴正半轴上的点，OD=3，∴△BOD为等腰直接三角形，∴∠OBD=45°，∠CBD=∠CBO+∠OBD=45°+45°=90°，即∠FBE=90°，∴EF是圆的直径．②∵∠CBO=∠OBD=45°，∠AFE=∠OBD，∠AEF=∠CBO（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），∴∠AEF=∠AFE=45°，∴∠FAE=90°，AE=AF，∴△AEF是等腰直角三角形．【点评】本题考查了二次函数解析式的求取、圆周角定理、等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是注意数形结合思想的运用．　26．（2015秋•第34页（共34页） 盐城校级期末）公司投资750万元，成功研制出一种市场需求量较大的产品，并再投入资金1750万元进行相关生产设备的改进．已知生产过程中，每件产品的成本为60元．在销售过程中发现，当销售单价定为120元时，年销售量为24万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元）（x＞120），年销售量为y（万件），第一年年获利（年获利=年销售额﹣生产成本）为z（万元）．（1）求出y与x之间，z与x之间的函数关系式；（2）该公司能否在第一年收回投资．【考点】二次函数的应用．【专题】应用题；二次函数的应用．【分析】（1）根据：年销量=原销量﹣因价格上涨减少的销量，年获利=单件利润×年销售量，可列出函数关系式；（2）将（1）中年利润函数关系式配成顶点式，可知其最大值小于总投资，故第一年不能收回投资．【解答】解：由题意得，y=24﹣，即y=﹣x+36，z=（x﹣60）（﹣x+36）=﹣x2+42x﹣2160；（2）z=﹣x2+42x﹣2160=﹣（x﹣210）2+2250，当x=210时，第一年的年最大利润为2250万元，∵2250＜750+1750，∴公司不能在第一年收回投资．【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意找到相等关系并熟练配方是关键．　27．（2010•通化）如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB•AF=CB•CD；（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是线段DE上的动点．设DP=xcm，梯形BCDP的面积为ycm2．①求y关于x的函数关系式．②y是否存在最大值？若有求出这个最大值，若不存在请说明理由．第34页（共34页） 【考点】相似三角形的判定与性质；一次函数的性质；勾股定理．【专题】压轴题；探究型．【分析】（1）先根据AD=CD，DE⊥AC判断出DE垂直平分AC，再由线段垂直平分线的性质及直角三角形的性质可得出∠DCF=∠DAF=∠B，在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B可知△DCF∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案；（2）①先根据勾股定理求出AC的长，再由梯形的面积公式即可得出x、y之间的函数关系式；②由EF∥BC，得△AEF∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例可求出AB、EF的长，进而可得出△AEF∽△DEA及DF的长，根据DE=DF+FE可求出DE的长，由①中的函数关系式即可得出结论．【解答】证明：（1）∵AD=CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC，∴AF=CF，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF．∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，∴∠DCF=∠DAF=∠B．在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B，∴△DCF∽△ABC．∴=，即=，∴AB•AF=CB•CD；（2）解：连接PB，①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°，∴AC===12，∴CF=AF=6．∴y=（x+9）×6=3x+27；第34页（共34页） ②由EF∥BC，得△AEF∽△ABC．AE=BE=AB=，EF=．由∠EAD=∠AFE=90°，∠AEF=∠DEA，得△AEF∽△DEA．Rt△ADF中，AD=CD==10，AF=6，∴DF=8．∴DE=DF+FE=8+=．∵y=3x+27（0≤x≤），函数值y随着x的增大而增大，∴当x=时，y有最大值，此时y=．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到一次函数的性质及勾股定理，熟知以上知识是解答此题的关键．　28．（2015秋•盐城校级期末）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）b=　1　；点D的坐标：　（﹣3，4）　；（2）线段AO上是否存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为1；（3）在x轴负半轴上是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．第34页（共34页） 【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用点在二次函数图象上，代入即可求得b，将二次函数换成交点式，即能得出B点的坐标，由AD=AB可算出D点坐标；（2）假设存在，由DP⊥AE，找出∠EPO=∠PDA，利用等角的正切相等，可得出一个关于OP长度的一元二次方程，由方程无解可得知不存在这样的点；（3）利用角和边的关系，找到全等，再利用三角形相似，借助相似比即可求得AM，求出△ADM的面积即是所求．【解答】解：（1）∵点A（﹣3，0）在二次函数y=x2+bx﹣的图象上，∴0=﹣3b﹣，解得b=1，∴二次函数解析式为y=x2+x﹣=（x+3）（x﹣1），∴点B（1，0），AB=1﹣（﹣3）=4，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=4，∴点D（﹣3，4），故答案为：1；（﹣3，4）．（2）直线PE交y轴于点E，如图1，假设存在点P，使得OE的长为1，设OP=a，则AP=3﹣a，第34页（共34页） ∵DP⊥AE，∠APD+∠DPE+∠EPO=180°，∴∠EPO=90°﹣∠APD=∠ADP，tan∠ADP==，tan∠EPO==，∴=，即a2﹣3a+4=0，△=（﹣3）2﹣4×4=﹣7，无解故线段AO上不存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为1．（3）假设存在这样的点P，DE交x轴于点M，如图2，∵△PED是等腰三角形，∴DP=PE，∵DP⊥PE，四边形ABCD为正方形∴∠EPO+∠APD=90°，∠DAP=90°，∠PAD+∠APD=90°，∴∠EPO=∠PDA，∠PEO=∠DPA，在△PEO和△DAP中，，∴△PEO≌△DAP，∴PO=DA=4，OE=AP=PO﹣AO=4﹣3=1，∴点P坐标为（﹣4，0）．∵DA⊥x轴，∴DA∥EO，∴∠ADM=∠OEM（两直线平行，内错角相等），又∵∠AMD=∠OME（对顶角），∴△DAM∽EOM，第34页（共34页） ∴==，∵OM+MA=OA=3，∴MA=×3=，△PED与正方形ABCD重叠部分△ADM面积为×AD×AM=×4×=．答：存在这样的点P，点P的坐标为（﹣4，1），此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为．【点评】本题考查了二次函数的交点式、全等三角形的判定、相似三角形的相似比等知识，解题的关键是注重数形结合，找准等量关系．　第34页（共34页） 第34页（共34页）