苏科版数学九年级上册期末模拟试卷一（含答案）

苏科版数学九年级上册期末模拟试卷一、选择题1．一元二次方程4x2﹣1=0的解是（　　）A．x1=1，x2=﹣1B．x1=2，x2=﹣2C．D．2．抛物线y=2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）3．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（　　）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：164．给出下列四个结论，其中正确的结论为（　　）A．三点确定一个圆B．同圆中直径是最长的弦C．圆周角是圆心角的一半D．长度相等的弧是等弧5．某专卖店专营某品牌的运动鞋，店主对上一周中不同尺码的运动鞋销售情况统计如下：尺码3738394041平均每天销售数量（双）1012201212该店主决定本周进货时，增加一些39码的运动鞋，影响该店主决策的统计量是（　　）A．平均数B．方差C．众数D．中位数6．某小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（　　）A．x（x+10）=900B．（x﹣10）=900C．10（x+10）=900D．2[x+（x+10）]=9007．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（　　）A．100°B．72°C．64°D．36°8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥ CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（　　）A．CE=DEB．CE=DEC．CE=3DED．CE=2DE9．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A，B分别是x轴和y轴上的点，且∠BAO=30°，以点A为圆心，BO长为半径画弧交AO于点C，分别以A，C为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，CD，则∠DAC的余弦值是（　　）A．B．C．D．10．在平面直角坐标系中，点A是直线y=x上动点，以点B（0，4）为圆心，半径为1的圆上有一点C，若直线AC与⊙B相切，切点为C，则线段AC的最小值为（　　）A．B．C．3D．二、填空题11．若，则锐角α=　　．12．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1=0没有实数根，则k的取值范围是　　．13．数据3，3，6，5，3的方差是　　．14．如图，是由大小完全相同的扇形组成的图形，小军准备用红色、黄色、蓝色随机给每个扇形分别涂上其中的一种颜色，则最上方的扇形涂红色的概率是　　． 15．已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个圆心角是150°的扇形，则该圆锥的母线长为　　．16．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆低端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度为　　米．17．如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为2acm2，则正八边形的面积　　cm2（用a的代数式表示）．18．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确有　　（填序号）．三、解答题19．计算：2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．20．解方程： （1）x2﹣6x﹣1=0；（2）x（x﹣3）=10．21．为传播优秀数学文化，展现数学的内涵和魅力，提高学生的数学兴趣和素养，江苏教育出版社《时代学习报》与江苏省教育学会中学数学教学专业委员会共同举办初中数学文化节、初三数学应用与创新邀请赛，分别设有一、二、三等奖和纪念奖．某校参加此项比赛，获奖情况已汇制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所示信息解答下列问题：（1）该校一共有　　名学生获奖；（2）这次数学竞赛获二等奖人数是多少？（3）请将条形统计图补充完整．22．已知，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．23．甲、乙两盒中各有3张卡片，卡片上分别标有数字﹣7、﹣1、3和﹣ 2、1、6，这些卡片除数字外都相同．把卡片洗匀后，从甲、乙两盒中各任意抽取1张，并把抽得卡片上的数字分别作为平面直角坐标系中一个点的横坐标、纵坐标．（1）列出这样的点所有可能的坐标；（2）求这些点落在第二象限的概率．24．己知：矩形ABCD的两边AB，BC的长是关于x的方程x2﹣mx+=0的两个实数根．（1）当m为何值时，矩形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；（2）若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？ 25．某商店经销一种小家电，每个小家电的成本为20元，市场调查发现，该种小家电每天的销售量y（个）与销售单价x（元）的函数图象如图．设这种小家电每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）如果物价部门规定这种小家电的销售单价不高于32元，该商店销售这种小家电每天要获得400元的销售利润，销售单价应定为多少元？26．如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC于E．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若ED，AB的延长线相交于F，且AE=5，EF=12，求BF的长． 27．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，动点N从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，并在达到点B后，立即以同样的速度返回向点C运动；同时动点M从点B出发，沿折线B﹣A﹣C以1cm/s的速度向点C运动，当点N回到点C时，两个动点同时停止运动．⊙M是以M为圆心，1cm为半径的圆，设运动时间为t（s）（t＞0）（1）tanB=　　；（2）当点M在线段AB上运动，且⊙M与BC相切时，求t的值；（3）当t为何值时，⊙M与折线B﹣A﹣C的两个交点在等腰三角形ABC对称轴的同侧，且经过交点和点N的直线与⊙M相切？28．己知，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，与y轴的交点是C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点D是y轴上的一点，是否存在D，使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作CE∥x轴，与二次函数y=﹣x2+bx+c的图象相交于点E，点H是该二次函数图象上的动点，过点H作HF∥y轴，交线段BC于点F，试探究当点H运动到何处时，△CHF与△HFE的面积之和最大，求点H的坐标及最大面积．　 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，把正确选项前的字母填涂在答题卷相应位置上.1．一元二次方程4x2﹣1=0的解是（　　）A．x1=1，x2=﹣1B．x1=2，x2=﹣2C．D．【解答】解：x2=，x=±，所以x1=，x2=﹣．故选：D．　2．抛物线y=2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）【解答】解：由y=2（x﹣1）2+3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，3），故选：A．　3．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（　　）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：16【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．　4．给出下列四个结论，其中正确的结论为（　　）A．三点确定一个圆B．同圆中直径是最长的弦C．圆周角是圆心角的一半D．长度相等的弧是等弧【解答】解：A、错误，不在同一直线上的三点确定一个圆；B、正确； C、错误，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；D、错误，能够重合的弧是等弧．故选：B．　5．某专卖店专营某品牌的运动鞋，店主对上一周中不同尺码的运动鞋销售情况统计如下：尺码3738394041平均每天销售数量（双）1012201212该店主决定本周进货时，增加一些39码的运动鞋，影响该店主决策的统计量是（　　）A．平均数B．方差C．众数D．中位数【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．故选：C．　6．某小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（　　）A．x（x+10）=900B．（x﹣10）=900C．10（x+10）=900D．2[x+（x+10）]=900【解答】解：设绿地的宽为x米，则长为（x+10）米，根据矩形的面积为900平方米可得：x（x+10）=900，故选：A．　7．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（　　）A．100°B．72°C．64°D．36°【解答】解：连接OA， ∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=28°，∴∠OAB=64°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=64°，故选：C．　8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（　　）A．CE=DEB．CE=DEC．CE=3DED．CE=2DE【解答】解：过点D作DH⊥BC，∵AD=1，BC=2，∴CH=1，DH=AB===2，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°，∵DE⊥CE，∴∠AED+∠BEC=90°，∵∠AED+∠ADE=90°， ∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴，设BE=x，则AE=2，即，解得x=，∴，∴CE=，故选：B．　9．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A，B分别是x轴和y轴上的点，且∠BAO=30°，以点A为圆心，BO长为半径画弧交AO于点C，分别以A，C为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，CD，则∠DAC的余弦值是（　　）A．B．C．D．【解答】解：作DH⊥AC于H．设OB=m． 在Rt△AOB中，∵∠OAB=30°，∴AO=OB=m，∵DC=DA，DH⊥AC，AC=OB=m，∴AH=CH=m，∵DC=DA=OA=m，∴cos∠DAC===．故选：B．　10．在平面直角坐标系中，点A是直线y=x上动点，以点B（0，4）为圆心，半径为1的圆上有一点C，若直线AC与⊙B相切，切点为C，则线段AC的最小值为（　　）[来源:学,科,网]A．B．C．3D．【解答】解：连结AB、BC，如图，∵点A在直线y=x上，∵∠AOB=45°，作BH⊥OA于H，∴△BOH为等腰直角三角形，∴BH==2，∵直线AC与⊙B相切，切点为C，∴BC⊥AC，∴∠ACB=90°，∴AC==，当AB最小时，AC的值最小， 而点A在H点时，AB最小，此时AB=BH=2，∴AC的最小值为=．故选：A．　二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，请将正确答案填在答题卷相应的横线上）11．若，则锐角α=　60°　．【解答】解：∵sinα=，[来源:学*科*网]∴α=60°，故答案为：60°．　12．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1=0没有实数根，则k的取值范围是　k＞2　．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1=0没有实数根，∴△＜0，即（﹣2）2﹣4（k﹣1）＜0，解得k＞2，故答案为：k＞2．　13．数据3，3，6，5，3的方差是　1.6　．【解答】解：∵， ∴这列数的方差是：=1.6，故答案为：1.6．　14．如图，是由大小完全相同的扇形组成的图形，小军准备用红色、黄色、蓝色随机给每个扇形分别涂上其中的一种颜色，则最上方的扇形涂红色的概率是　　．【解答】解：最上方的扇形涂红色的概率是；故答案为：．　15．已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个圆心角是150°的扇形，则该圆锥的母线长为　12　．【解答】解：10π=，∴R=12．故答案为：12　16．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆低端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度为　6+29　米．【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示： 则GH=DE=15米，EG=DH，∵梯坎坡度i=1：，∴BH：CH=1：，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得：x2+（x）2=122，解得：x=6，∴BH=6米，CH=6米，∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），∵∠α=45°，∴∠EAG=90°﹣45°=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG=EG=6+20（米），∴AB=AG+BG=6+20+9=（6+29）m．故答案为：6+29．　17．如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为2acm2，则正八边形的面积　4a　cm2（用a的代数式表示）．【解答】解：连接HE，AD，在正八边形ABCDEFGH中，可得：HE⊥BG于点M，AD⊥BG于点N，∵正八边形每个内角为：=135°， ∴∠HGM=45°，∴MH=MG，设MH=MG=x，则HG=AH=AB=GF=x，∴BG×GF=2（+1）x2=2a，四边形ABGH面积=（AH+BG）×HM=（+1）x2=a，∴正八边形的面积为：a×2+2a=4a（cm2）．故答案为：4a．　18．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确有　②③④　（填序号）．【解答】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以①错误；②∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴a、b同号，∴ab＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以②正确；③∵x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0， ∵对称轴为直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，∴b=2a，∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，所以③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，所以④正确．所以本题正确的有：②③④，故答案为：②③④．　三、解答题（本大题共10小题，共76分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（4分）计算：2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．【解答】解：2sin30°+3cos60°﹣4tan45°=2×+3×﹣4×1=﹣1.5．　20．（6分）解方程：（1）x2﹣6x﹣1=0；（2）x（x﹣3）=10．【解答】解：（1）x2﹣6x+9=10，（x﹣3）2=10，x﹣3=±，所以x1=3+，x2=3﹣；（2）x2﹣3x﹣10=0，（x﹣5）（x+2）=0，x﹣5=0或x+2=0， 所以x1=5，x2=﹣2．　21．（6分）为传播优秀数学文化，展现数学的内涵和魅力，提高学生的数学兴趣和素养，江苏教育出版社《时代学习报》与江苏省教育学会中学数学教学专业委员会共同举办初中数学文化节、初三数学应用与创新邀请赛，分别设有一、二、三等奖和纪念奖．某校参加此项比赛，获奖情况已汇制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所示信息解答下列问题：（1）该校一共有　200　名学生获奖；（2）这次数学竞赛获二等奖人数是多少？（3）请将条形统计图补充完整．【解答】解：（1）获奖学生总人数为20÷10%=200（人），故答案为：200；（2）获三等奖人数为200×24%=48人，纪念奖的人数为200×46%=92人，这次数学竞赛获二等奖人数是200﹣（20+48+92）=40人；（3）补全条形图如下： 　22．（7分）已知，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．【解答】（1）证明：∵AB=2，BC=4，BD=1，∴==，=，∴=，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴△ABD∽△CDE，∴DE=1.5． 　23．（7分）甲、乙两盒中各有3张卡片，卡片上分别标有数字﹣7、﹣1、3和﹣2、1、6，这些卡片除数字外都相同．把卡片洗匀后，从甲、乙两盒中各任意抽取1张，并把抽得卡片上的数字分别作为平面直角坐标系中一个点的横坐标、纵坐标．（1）列出这样的点所有可能的坐标；（2）求这些点落在第二象限的概率．【解答】解：（1）画树状图：共有9种等可能的结果：（﹣7，﹣2），（﹣7，1），（﹣7，6），（﹣1，﹣2），（﹣1，1），（﹣1，6），（3，﹣2），（3，1），（3，6）；（2）这些点落在第二象限的结果数为4，所以这些点落在第二象限的概率=．　24．（7分）己知：矩形ABCD的两边AB，BC的长是关于x的方程x2﹣mx+=0的两个实数根．[来源:Z。xx。k.Com]（1）当m为何值时，矩形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；（2）若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？【解答】解：（1）当矩形ABCD为正方形时，可知AB=BC，∴关于x的方程x2﹣mx+=0有两个相等实数根，∴△=0，即（﹣m）2﹣4（）=0，解得m1=m2=1， 此时方程为x2﹣x+=0，解得x1=x2=，即正方形的边长为；（2）当AB=2时，即x=2是方程的根，∴22﹣2m+=0，解得m=，此时方程为x2﹣x+1=0，解得x=2或x=，∴BC=，∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2×（2+）=5．　25．（8分）某商店经销一种小家电，每个小家电的成本为20元，市场调查发现，该种小家电每天的销售量y（个）与销售单价x（元）的函数图象如图．设这种小家电每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）如果物价部门规定这种小家电的销售单价不高于32元，该商店销售这种小家电每天要获得400元的销售利润，销售单价应定为多少元？【解答】解：（1）设y=kx+b，则，解得：，则y=﹣2x+100（20≤x≤50），所以w=（x﹣20）（﹣2x+100）=﹣2x2+140x﹣2000； （2）根据题意，得：﹣2x2+140x﹣2000=400，解得：x=30或x=40，因为x≤32，所以x=30，答：该商店销售这种小家电每天要获得400元的销售利润，销售单价应定为30元．　26．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC于E．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若ED，AB的延长线相交于F，且AE=5，EF=12，求BF的长．【解答】解：（1）如图，∵DE⊥AC，∴∠AEF=90°连接OD，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=∠DAB，∴∠DAE=∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODF=∠AEF=90°，∴OD⊥EF，∵点D在⊙O上，∴ED是⊙O的切线； （2）在Rt△AEF中，根据勾股定理得，AF==13，设⊙O的半径为r，∴OD=r，OF=13﹣r，BF=AF﹣AB=13﹣2r，由（1）知，OD∥AE，∴△OFD∽△AFE，∴，∴，∴r=，∴BF=13﹣r=　27．（11分）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，动点N从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，并在达到点B后，立即以同样的速度返回向点C运动；同时动点M从点B出发，沿折线B﹣A﹣C以1cm/s的速度向点C运动，当点N回到点C时，两个动点同时停止运动．⊙M是以M为圆心，1cm为半径的圆，设运动时间为t（s）（t＞0）（1）tanB=　　；（2）当点M在线段AB上运动，且⊙M与BC相切时，求t的值；（3）当t为何值时，⊙M与折线B﹣A﹣ C的两个交点在等腰三角形ABC对称轴的同侧，且经过交点和点N的直线与⊙M相切？【解答】解：（1）如图1中，作AH⊥BC用H．∵AB=AC=5，AH⊥BC，∴BH=CH=BC=4，AH==3，∴tanB==．故答案为．（2）如图2中，作MK⊥BC于K．∵⊙M与BC相切，∴MK=1，∵sinB===，∴BM=，∴t=s时，⊙M与BC相切．（3）如图设⊙M交AB于P、G，连接GN，①当0＜t≤4时，如果NG是⊙M的切线，则GN⊥AB，则有cosB==， ∴=，解得：t=，②当PN是切线时，同法可得，=，解得t=．③当4＜t≤8时，同法可得，=或=解得t=3（不合题意舍弃）或t=，综上所述，满足条件的t的值为s或s或s．　28．（11分）己知，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，与y轴的交点是C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点D是y轴上的一点，是否存在D，使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作CE∥x轴，与二次函数y=﹣x2+bx+c的图象相交于点E，点H是该二次函数图象上的动点，过点H作HF∥y轴，交线段BC于点F，试探究当点H运动到何处时，△CHF与△HFE的面积之和最大，求点H的坐标及最大面积．【解答】解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，∴A（1，0），B（2，0），∴， ∴，∴二次函数的表达式y=﹣x2+3x﹣2；（2）∵二次函数的表达式y=﹣x2+3x﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，∵A（1，0），B（2，0）∴OB=2，∴OB=OC∴∠OBC=∠OCB=45°，∴∠BAC＜135°，即：点D只能在点C上方的y轴上，∴∠DCB=∠ABC=45°∴设D（0，d），d＞﹣2，∵A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2），[来源:Z.Com]∴AB=1，BC=2，CD=d+2，∵以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，∴①△DCB∽△ABC，∴，∴CD=AB=1，∴d+2=1，∴d=﹣1，∴D（0，﹣1）②△BCD∽△ABC，∴，∴，∴d=6，∴D（0，6）； （3）如图，∵CE∥轴，∴令y=﹣2，∴﹣2=﹣x2+3x﹣2，∴x=0（舍）或x=3，∴E（3，﹣2），∵B（2，0），C（0，﹣2），∴直线BC的解析式为y=x﹣2，设H（m，﹣m2+3m﹣2），F（m，m﹣2），∵点F是线段BC上的点，∴0＜m＜2，HF=﹣m2+3m﹣2﹣（m﹣2）=﹣m2+2m，∴S△CHF+S△EHF=HF×3=（﹣m2+2m）=﹣（m2﹣2m+1）+=﹣（m﹣1）2+∴m=1时，△CHF与△HFE的面积之和最大，最大面积为，此时，H（1，0）．