苏科版数学九年级上册期末复习试卷08（含答案）

苏科版数学九年级上册期末复习试卷一、选择题1．方程x2+2x=0的解是（　　）A．x1=0，x2=2B．x1=0，x2=﹣2C．x=2D．x=﹣22．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为2：3，则△ABC与△A′B′C′的周长的比为（　　）A．2：3B．4：9C．3：2D．：3．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（　　）A．（2，1）B．（2，0）C．（3，3）D．（3，1）4．某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（　　）A．21，21B．21，21.5C．21，22D．22，225．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（　　）A．AD=BDB．OD=CDC．∠CAD=∠CBDD．∠OCA=∠OCB6．如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（　　）A．y=x2+1B．y=x2﹣1C．y=（x+1）2D．y=（x﹣1）2 7．若等边三角形ABC内接于⊙O，点P在上（P不与B、C重合），则∠BPC等于（　　）A．30°B．45°C．60°D．120°8．有一组数据如下：3，a，4，6，7，若它们的平均数是5，则这组数据的方差是（　　）A．10B．C．D．2二、填空题9．一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为　　　　　　．10．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为　　　　　　米．11．若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是　　　　　　．12．某企业10月份净化污水3000吨，12月份净化污水3630吨，设该企业净化污水量的月均增长率为x，可列方程　　　　　　．13．若圆锥的底面直径为4cm，母线长为5cm，则其侧面积为　　　　　　cm2（结果保留π）．14．甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图，那么三人中成绩最稳定的是　　　　　　．15．如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC=1，BD=2，tanB=cos∠DAC，则AB的值为　　　　　　．16．如图，将边长为2cm的正方形绕其中心旋转45°，则两个正方形公共部分的面积为　　　　　　cm2． 三、解答题17．（1）计算：20160﹣+4cos45°；（2）解方程：3x2﹣2x﹣1=0．　18．某人的钱包内有10元钱，20元钱和50元钱的纸币各1张，从中随机取出2张纸币，用列表或画树状图的方法，求下列事件的概率：（1）取出纸币的总额是30元；（2）取出纸币的总额可购买一件51元的商品．　19．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．（1）改圆弧所在的圆心坐标为　　　　　　；（2）连结AC，求线段AC和弧AC所围成图形的面积（结果保留π）．20．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，D是AC上的一点，且AD=2，试在AB上确定一点E，使得△ADE与原三角形相似，并求出AE的长． 　21．根据学习函数的经验，小明对函数y=x2+的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完成：（1）函数y=x2+的自变量x的取值范围是　　　　　　．（2）下表是y与x的几组对应值，其中m=　　　　　　；　x…﹣3﹣2﹣1﹣﹣123…　y…0﹣﹣2　m…（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，2），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）　　　　　　．　22．某农户经销一种农产品，已知该产品的进价为每千克20元，调查发现，该产品每天的销量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80，设该产品每天的销售利润为w元．（1）售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（2）物价部门规定该产品的售价不得高于28元/千克，该农户若每天获利150元，售价应定为多少？　 23．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且=，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．　24．如图，线段MN表示一段高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°．若汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，方圆39m以内会受到噪音的影响，当其到达点P时，噪音开始影响这一排的居民楼；当其到达点Q时，它与这一排居民楼的距离为39m，求PQ的长度（精确到1m）（参考数据：≈1.7） 　25．一次函数y=x的图象如图所示，它与二次函数y=ax2﹣4ax+c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．（1）求点C的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为D．①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；②若CD=AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．　　 参考答案一、选择题1．方程x2+2x=0的解是（　　）A．x1=0，x2=2B．x1=0，x2=﹣2C．x=2D．x=﹣2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】利用因式分解法把方程转化为x=0或x+2=0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：x（x+2）=0，x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=﹣2．故选B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）　2．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为2：3，则△ABC与△A′B′C′的周长的比为（　　）A．2：3B．4：9C．3：2D．：【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为2：3，∴△ABC与△A′B′C′的周长的比为2：3．故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．　3．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（　　） A．（2，1）B．（2，0）C．（3，3）D．（3，1）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．【解答】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，∴=，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选：A．【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．　4．某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（　　）A．21，21B．21，21.5C．21，22D．22，22【考点】众数；条形统计图；中位数．【专题】数形结合．【分析】根据条形统计图得到各数据的权，然后根据众数和中位数的定义求解．【解答】解：这组数据中，21出现了10次，出现次数最多，所以众数为21，第15个数和第16个数都是22，所以中位数是22． 故选C．【点评】本题考查了众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了条形统计图和中位数．　5．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（　　）A．AD=BDB．OD=CDC．∠CAD=∠CBDD．∠OCA=∠OCB【考点】菱形的判定；垂径定理．【专题】压轴题．【分析】利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．【解答】解：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD=DB，当DO=CD，则AD=BD，DO=CD，AB⊥CO，故四边形OACB为菱形．故选：B．【点评】此题主要考查了菱形的判定以及垂径定理，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．　6．如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（　　）A．y=x2+1B．y=x2﹣1C．y=（x+1）2D．y=（x﹣1）2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先得到抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再得到点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0）， 所以所得的抛物线的表达式为y=（x﹣1）2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．　7．若等边三角形ABC内接于⊙O，点P在上（P不与B、C重合），则∠BPC等于（　　）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】圆周角定理；等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形的性质求出∠A的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠BPC的度数．【解答】解：如图所示：∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，∴∠BPC=∠A=60°．故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质、圆周角定理；熟练掌握等边三角形的性质，熟记同弧所对的圆周角相等是解决问题的关键．　8．有一组数据如下：3，a，4，6，7，若它们的平均数是5，则这组数据的方差是（　　）A．10B．C．D．2【考点】方差；算术平均数．【专题】计算题．【分析】先利用平均数的定义得到3+a+4+6+7=5×5，解得a=5，然后根据方差公式计算这组三角形的方差．【解答】解：根据题意得3+a+4+6+7=5×5，解得a=5， 所以这组数据为3，5，4，6，7，所以这组数据的方差=[（3﹣5）2+（5﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]=2．故选D．【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，计算公式是：s2=[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2]．也考查了算术平均数．　二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）9．一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为　　．【考点】概率公式．【分析】由一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，∴从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为：=．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　10．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为　26　米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】应用题．【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，∵i==，∴BE=24米，∴在Rt△ABE中，AB==26（米）． 故答案为：26．【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．　11．若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是　m≥﹣4　．【考点】根的判别式．【专题】推理填空题．【分析】根据关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0有实数根，可得△≥0，从而可求得m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0有实数根，∴△=42﹣4×1×（﹣m）≥0，解得，m≥4，故答案为：m≥4．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是明确一元二次方程有实数根时△≥0．　12．某企业10月份净化污水3000吨，12月份净化污水3630吨，设该企业净化污水量的月均增长率为x，可列方程　3000（1+x）2=3630　．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】利用等量关系：12月份净化污水吨数=10月份净化污水吨数×（1+平均每月增长的百分率）2，把相关数值代入即可求解．【解答】解：设该企业净化污水量的月均增长率为x，由题意得3000（1+x）2=3630．故答案为：3000（1+x）2=3630．【点评】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．　 13．若圆锥的底面直径为4cm，母线长为5cm，则其侧面积为　10π　cm2（结果保留π）．【考点】圆锥的计算．【分析】运用公式S侧=πrl计算．【解答】解：由题意，有圆锥的底面周长是4πcm，则圆锥的侧面积为S侧=×4π×5=10π（cm2）．故答案是：10π．【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．　14．甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图，那么三人中成绩最稳定的是　乙　．【考点】方差；折线统计图．【专题】图表型．【分析】根据方差的意义数据波动越小，数据越稳定即可得出答案．【解答】解：根据图形可得：乙的成绩波动最小，数据最稳定，则三人中成绩最稳定的是乙；故答案为：乙．【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．　15．如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC=1，BD=2，tanB=cos∠DAC，则AB的值为　　． 【考点】解直角三角形．【专题】推理填空题．【分析】根据在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC=1，BD=2，tanB=cos∠DAC，可以得到∠ADB=∠ADC=90°，AD的长，从而可以得到AB的长，本题得以解决．【解答】解：∵在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC=1，BD=2，tanB=cos∠DAC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴，AC=，∴，解得，AD=，∴AB=，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是求出各边的长，找出所求问题需要的条件．　16．如图，将边长为2cm的正方形绕其中心旋转45°，则两个正方形公共部分的面积为　（8﹣8）　cm2．【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】如图，设正方形的中心点为O，利用正方形的性质得∠OMC=∠OCM，∠OMB=∠OCB=45°，则∠BMC=∠BCM，所以BM=BC，再根据旋转的性质得∠ABM=∠CBD=45°，于是可判断△ABM和△BCD为全等的等腰直角三角形，所以AB=BD，同理可得AF=AB，AE=AM=BC，设BC=x，则AE=x，BD=x，AB=AF= x，利用正方形的边长为2得x+x+x=2，解得x=2﹣，然后利用正方形的面积减去4个三角形的面积即可得到两个正方形公共部分的面积．【解答】解：如图，设正方形的中心点为O，∵点M和点C到正方形的中心的距离相等，即OM=OC，∴∠OMC=∠OCM，而∠OMB=∠OCB=45°，∴∠BMC=∠BCM，∴BM=BC，∵正方形绕其中心旋转45°，∴∠ABM=∠CBD=45°，∴△ABM和△BCD为全等的等腰直角三角形，∴AB=BD，同理可得AF=AB，AE=AM=BC，设BC=x，则AE=x，BD=x，∴AB=AF=x，∵AE+AB+BC=2，∴x+x+x=2，解得x=2﹣，∴S△BCD=•（2﹣）2=3﹣2，∴两个正方形公共部分的面积=22﹣4×（3﹣2）=（8﹣8）cm2．故答案为（8﹣8）．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．　三、解答题（本题有9小题，共72分）17．（1）计算：20160﹣+4cos45°； （2）解方程：3x2﹣2x﹣1=0．【考点】实数的运算；零指数幂；解一元二次方程-因式分解法；特殊角的三角函数值．【分析】（1）分别根据0指数幂的运算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）先把方程左边分解为两个因式积的形式，进而可得出结论．【解答】解：（1）原式=1﹣2+4×=1﹣2+2=1；（2）原方程可化为（3x+1）（x﹣1）=0，故3x+1=0或x﹣1=0，解得x1=﹣，x2=1．【点评】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂的运算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．　18．某人的钱包内有10元钱，20元钱和50元钱的纸币各1张，从中随机取出2张纸币，用列表或画树状图的方法，求下列事件的概率：（1）取出纸币的总额是30元；（2）取出纸币的总额可购买一件51元的商品．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）先列表展示所有3种等可能的结果数，再找出总额是30元所占结果数，然后根据概率公式计算；（2）找出总额超过51元的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）列表： 共有6种等可能的结果数，其中总额是30元占2种，所以取出纸币的总额是30元的概率=；（2）共有6种等可能的结果数，其中总额超过51元的有4种，所以取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．　19．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．（1）改圆弧所在的圆心坐标为　（2，1）　；（2）连结AC，求线段AC和弧AC所围成图形的面积（结果保留π）．【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理；扇形面积的计算．【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．（2）连接DA、DC、AC，由勾股定理求出AD=DCDA=DC=，AC=2，得出DA2+DC2=AC2，由勾股定理的逆定理得出∠ADC=90°，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果．【解答】解：（1）作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心， 如图1所示，圆心D的坐标为（2，1）；故答案为：（2，1）；（2）连接DA、DC，如图2所示：则DA=DC==，AC==2，∴DA2+DC2=AC2，∴△ADC是等腰直角三角形，∠ADC=90°，∴线段AC和弧AC所围成图形的面积=扇形ADC的面积﹣△DAC的面积=﹣××=﹣5．【点评】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理、扇形面积的计算；熟练掌握垂径定理，通过作图求出圆心坐标是解决问题的关键．　20．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，D是AC上的一点，且AD=2，试在AB上确定一点E，使得△ADE与原三角形相似，并求出AE的长． 【考点】相似三角形的判定．【分析】画出符合条件的两种情况的图形，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．【解答】解：在AB上存在一点E，使得△ADE与△ABC相似，理由是：分为两种情况：①当∠ADE=∠C时，如图1：∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB，∴∴，∴AE=；②当∠ADE=∠C时，如：2：∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AE=．∴在AB上存在一点E，使得△ADE与△ABC相似，符合条件的AE的长是或． 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，注意：相似三角形的对应边成比例，注意一定要进行分类讨论啊．　21．根据学习函数的经验，小明对函数y=x2+的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完成：（1）函数y=x2+的自变量x的取值范围是　x≠O　．（2）下表是y与x的几组对应值，其中m=　　；　x…﹣3﹣2﹣1﹣﹣123…　y…0﹣﹣2　m…（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，2），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）　该函数没有最大值或该函数没有最小值或该函数不经过第四象限或该函数在x=0处断开．　．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）根据分母不能为零即可写出x的取值范围．（2）x=3代入解析式计算即可求出m．（3）描点法画图即可．（4）根据图象写一条符合该函数图象的性质即可．【解答】解；（1）函数y=x2+的自变量x的取值范围是x≠0．故答案为x≠0； （2）x=3时，m=32+=．故答案为；（3）该函数图象如图所示，（4）该函数没有最大值或该函数没有最小值或该函数不经过第四象限或该函数在x=0处断开．故答案为：该函数没有最大值或该函数没有最小值或该函数不经过第四象限或该函数在x=0处断开．【点评】本题考查函数的图象的性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想写出函数的性质，是一条开放性题目，难度不大．　22．某农户经销一种农产品，已知该产品的进价为每千克20元，调查发现，该产品每天的销量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80，设该产品每天的销售利润为w元．（1）售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（2）物价部门规定该产品的售价不得高于28元/千克，该农户若每天获利150元，售价应定为多少？【考点】二次函数的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）利用每千克利润×销量=总利润，进而利用配方法求出二次函数最值；（2）利用w=150，进而解方程得出答案．【解答】解：（1）由题意可得：w=（x﹣20（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，∵﹣2＜0， ∴x=30时，w有最大值200，答：售价为30元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；（2）当w=150时，可得﹣2（x﹣30）2+200=150，解得：x1=25，x2=35，∵35＞28，∴x2=35不合题意，应舍去，答：该农户若要每天获利150元，售价应定为每千克25元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出w与x之间的函数关系是解题关键．　23．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且=，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．【考点】切线的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】（1）由AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，得到AB⊥BE，由于CD∥BE，得到CD⊥AB，根据垂径定理得到，于是得到，问题即可得证；（2）连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性质得到BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为：r则ON=r，AN=DN=r，由于得到EN=2+，BE=AE=，在Rt△DEF与Rt△BEO中，由勾股定理列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴AB⊥BE，∵CD∥BE， ∴CD⊥AB，∴，∵=，∴，∴AD=AC=CD，∴△ACD是等边三角形；（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°∵AD=AC，CD⊥AB，∴∠DAB=30°，∴BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为：r，∴ON=r，AN=DN=r，∴EN=2+，BE=AE=，在Rt△NEO与Rt△BEO中，OE2=ON2+NE2=OB2+BE2，即（）2+（2+）2=r2+，∴r=2，∴OE2=+25=28，∴OE=2．【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，过O作ON⊥AD于N，构造直角三角形是解题的关键． 　24．如图，线段MN表示一段高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°．若汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，方圆39m以内会受到噪音的影响，当其到达点P时，噪音开始影响这一排的居民楼；当其到达点Q时，它与这一排居民楼的距离为39m，求PQ的长度（精确到1m）（参考数据：≈1.7）【考点】解直角三角形的应用．【分析】连接PA．在直角△PAH中利用勾股定理来求PH的长度；通过解Rt△ADH、Rt△CDQ分别求得DH、DQ的长度，然后结合图形得到：PQ=PH+DQ﹣DH，把相关线段的长度代入求值即可．【解答】解：如图，连接PA，作AH⊥MN于H，作QC⊥AB于C．由题意知，AP=39m．在直角△APH中，PH===36（m）；在Rt△ADH中，DH=AH•cot30°=15（m）．在Rt△CDQ中，DQ===78（m）．则PQ=PH+HQ=PH+DQ﹣DH=36+78﹣15≈114﹣15×1.7=88.5≈89（m）．答：PQ的长度约为89m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理的应用．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．　25．一次函数y=x的图象如图所示，它与二次函数y=ax2﹣4ax+c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C． （1）求点C的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为D．①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；②若CD=AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）先求出对称轴为x=2，然后求出与一次函数y=x的交点，即点C的坐标；（2）①先求出点D的坐标，设A坐标为（m，m），然后根据面积为3，求出m的值，得出点A的坐标，最后根据待定系数法求出a、c的值，即可求出解析式；②过点A作AE⊥CD于E，设A坐标为（m，m），由S△ACD=10，求出m的值，然后求出点A坐标以及CD的长度，然后分两种情况：当a＞0，当a＜0时，分别求出点D的坐标，代入求出二次函数的解析式．【解答】解：（1）∵y=ax2﹣4ax+c=a（x﹣2）2﹣4a+c，∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=x=，故点C（2，）；（2）①∵点D与点C关于x轴对称，∴D（2，﹣，），∴CD=3，设A（m，m）（m＜2）， 由S△ACD=3得：×3×（2﹣m）=3，解得m=0，∴A（0，0）．由A（0，0）、D（2，﹣）得：，解得：a=，c=0．∴y=x2﹣x；②设A（m，m）（m＜2），过点A作AE⊥CD于E，则AE=2﹣m，CE=﹣m，AC===（2﹣m），∵CD=AC，∴CD=（2﹣m），由S△ACD=10得×（2﹣m）2=10，解得：m=﹣2或m=6（舍去），∴m=﹣2，∴A（﹣2，﹣），CD=5，当a＞0时，则点D在点C下方，∴D（2，﹣），由A（﹣2，﹣）、D（2，﹣）得：，解得：，∴y=x2﹣x﹣3； 当a＜0时，则点D在点C上方，∴D（2，），由A（﹣2，﹣）、D（2，）得：，解得，∴y=﹣x2+2x+．【点评】本题考查了二次根式的综合题，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，三角形的面积公式，以及待定系数法求函数解析式等知识点，综合性较强，难度较大．