苏科版数学九年级上册期末模拟试卷三（含答案）

苏科版数学九年级上册期末模拟试卷一、选择题1．方程x2=2x的根是（　　）A．x=2B．x=﹣2C．x1=0，x2=2D．x1=0，x2=﹣22．如图，向正三角形区域投掷飞镖，假设飞镖击中图中每一个小三角形区域是等可能的，投掷飞镖1次，击中图中阴影部分的概率是（　　）A．B．C．D．3．教练从甲、乙两名射击运动员中选一名成绩较稳定的运动员参加比赛，两人在相同条件下各打了5发子弹，命中环数如下：甲：9，8，7，7，9；乙：10，9，8，7，6．应选（　　）参加．A．甲B．乙C．甲、乙都可以D．无法确定4．将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（　　）A．y=（x﹣1）2+2B．y=（x+1）2+2C．y=（x﹣1）2﹣2D．y=（x+1）2﹣25．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的对称轴是（　　）A．直线x=﹣3B．直线x=﹣2C．直线x=﹣1D．直线x=06．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（　　）A．150°B．140°C．130°D．120°第31页（共31页） 7．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（　　）A．120°B．135°C．150°D．165°8．如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（　　）A．B．C．D．二、填空题9．一枚质地匀均的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率是　　．10．已知⊙O的半径为5cm，当线段OA=5cm时，点A和⊙O的位置关系是　　．11．某学校规定学生的学期体育成绩有三部分组成：早锻炼及体育课外活动占10%，体育理论测试占30%，体育技能占60%．王明的三项成绩依次为90分，85分，90分，则王明学期的体育成绩是　　分．12．二次函数y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是　　．13．用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为　　．14．如图△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°，BC=5，则⊙O的直径为　　．第31页（共31页） 15．如图，△ABC是等边三角形，AB=2，分别以A，B，C为圆心，以2为半径作弧，则图中阴影部分的面积是　　．16．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是　　．三、解答题17．解方程：（1）（x+1）2=1（2）x2﹣6x+4=0．18．已知关于x的方程x2+ax﹣2=0．（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．第31页（共31页） 19．某人了解到某公司员工的月工资情况如下：员工经理副经理职员A职员B职员C职员D职员E职员F职员G月工资/元1200080003200260024002200220022001200在调查过程中有3位员工对月工资给出了下列3种说法：甲：我的工资是2400元，在公司中属中等收入．乙：我们有好几个人的工资都是2200元．丙：我们公司员工的收入比较高，月工资有4000元．（1）上述3种说法分别用了平均数、中位数、众数中哪一个描述数据的集中趋势？（2）在上述3种说法中你认为那种说法可以较好地反映该公司员工月收入的一般水平？说说你的理由．20．甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是　　；（2）随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．第31页（共31页） 21．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=80°，求∠CAD的度数；（2）若AB=8，AC=6，求DE的长．22．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC相交于点D，且CD=2，BC=4，（1）求⊙O的半径；（2）连接AD并延长，交BC于点E，取BE的中点F，连接DF，试判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由．第31页（共31页） 23．已知二次函数y=x2﹣2xx…﹣10123…y…　　0﹣1　　　　…（1）请在表内的空格中填入适当的数；（2）请在所给的平面直角坐标系中画出y=x2﹣2x的图象；（3）当x再什么范围内时，y随x的增大而减小；（4）观察y=x2﹣2x的图象，当x在什么范围内时，y＞0．24．某涵洞的截面边缘成抛物线形，现测得当水面宽AB=2米时涵洞的顶点与水面的距离为4米，这时离开水面2米处涵洞宽DE是多少？第31页（共31页） 25．某商店购进一种商品，每件商品进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件销售价x（元）的关系数据如下：x30323436y40363228（1）已知y与x满足一次函数关系，根据上表，求出y与x之间的关系式（不写出自变量x的取值范围）；（2）如果商店销售这种商品，每天要获得150元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？（3）设该商店每天销售这种商品所获利润为w（元），求出w与x之间的关系式，并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大？26．如图1，已知抛物线y=ax2+bx+2的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点Q（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），经过点P分别作PD∥BQ交AQ于点D，PE∥AQ交BQ于点E．①判断四边形PDQE的形状；并说明理由；②连接DE，求出线段DE的长度范围；③如图2，在抛物线上是否存在一点F，使得以P、F、A、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点F和点P坐标；若不存在，说明理由．第31页（共31页） 27．对于一个圆和一个正方形给出如下定义：若圆上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称这个圆是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．（1）当r=2时，在P1（0，2），P2（﹣2，4），P3（4，2），P4（0，2﹣2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是　　；（2）若点P坐标为（﹣3，6），则当⊙P的半径r=　　时，⊙P是正方形ABCD的“等距圆”．试判断此时⊙P与直线AC的位置关系？并说明理由．（3）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P的圆心P的坐标．　第31页（共31页） 参考答案1．方程x2=2x的根是（　　）A．x=2B．x=﹣2C．x1=0，x2=2D．x1=0，x2=﹣2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0或x﹣2=0，所以x1=0，x2=2．故选C．　2．如图，向正三角形区域投掷飞镖，假设飞镖击中图中每一个小三角形区域是等可能的，投掷飞镖1次，击中图中阴影部分的概率是（　　）A．B．C．D．【考点】几何概率．【分析】求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答．【解答】解：因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是=，所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于．故选C．　3．教练从甲、乙两名射击运动员中选一名成绩较稳定的运动员参加比赛，两人在相同条件下各打了5发子弹，命中环数如下：甲：9，8，7，7，9；乙：10，9，8，7，6．应选（　　）参加．A．甲B．乙C．甲、乙都可以D．无法确定【考点】方差．第31页（共31页） 【分析】根据题意分别求出甲、乙的平均数和方差，根据方差越小越稳定，即可得出答案．【解答】解：甲的平均数为：（9+8+7+7+9）÷5=8，方差为：=[（9﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2]=0.8，乙的平均数为：（10+9+8+7+6）÷5=8，方差为：[（10﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（6﹣8）2]=2，∵0.8＜2，∴选择甲射击运动员，故选：A．　4．将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（　　）A．y=（x﹣1）2+2B．y=（x+1）2+2C．y=（x﹣1）2﹣2D．y=（x+1）2﹣2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向上平移+2个单位长度所得的抛物线解析式为y=（x﹣1）2+2．故选A．　5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的对称轴是（　　）A．直线x=﹣3B．直线x=﹣2C．直线x=﹣1D．直线x=0【考点】二次函数的图象．【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．故选：B．第31页（共31页） 　6．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（　　）A．150°B．140°C．130°D．120°【考点】圆周角定理．【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，∴∠AOC=2∠B=150°．故选A．　7．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（　　）A．120°B．135°C．150°D．165°【考点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）．【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO=BO，AB∥DC，可得∠EBO=30°，故∠BOD=30°，则∠BOC=150°，故的度数是150°．故选：C．第31页（共31页） 　8．如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（　　）A．B．C．D．【考点】二次函数的应用；二次函数的图象；扇形面积的计算．【分析】先求得正六边形的内角和，从而可知阴影部分的面积等于两个半径为x的圆面积，从而得到y与x的函数关系式．【解答】解：∵正六边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，∴y=2πx2．当x=5时，y=2π×25=50π．故选：D．　二、填空题（每小题3分，共24分）9．一枚质地匀均的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率是　　．【考点】概率公式．【分析】直接利用概率公式计算．【解答】解：投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率==．第31页（共31页） 故答案为．　10．已知⊙O的半径为5cm，当线段OA=5cm时，点A和⊙O的位置关系是　点A在⊙O上　．【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．【解答】解：∵点A到圆心O的距离d=5cm=r，∴点A在⊙O上．故答案为：点A在⊙O上．　11．某学校规定学生的学期体育成绩有三部分组成：早锻炼及体育课外活动占10%，体育理论测试占30%，体育技能占60%．王明的三项成绩依次为90分，85分，90分，则王明学期的体育成绩是　88.5　分．【考点】加权平均数．【分析】根据早锻炼及体育课外活动占10%，体育理论测试占30%，体育技能占60%，再根据加权平均数的计算公式进行计算，即可求出答案．【解答】解：王明学期的体育成绩是90×10%+85×30%+90×60%=88.5（分）．故答案为：88.5．　12．二次函数y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是　（2，1）　．【考点】二次函数的性质．【分析】根据顶点式的意义直接解答即可．【解答】解：二次函数y=（x﹣2）2+1的图象的顶点坐标是（2，1）．故答案为（2，1）．　13．用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为　x（20﹣x）=64　．第31页（共31页） 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】本题可根据长方形的周长可以用x表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程．【解答】解：设矩形的一边长为xcm，∵长方形的周长为40cm，∴宽为=（20﹣x）（cm），得x（20﹣x）=64．故答案为：x（20﹣x）=64．　14．如图△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°，BC=5，则⊙O的直径为　5　．【考点】三角形的外接圆与外心；等腰直角三角形；圆周角定理．【分析】首先作⊙O的直径CD，连接BD，可得∠CBD=90°，由已知条件得出△BCD是等腰直角三角形，得出CD=BC=5即可．【解答】解：如图，作⊙O的直径CD，连接BD，则∠CBD=90°，∵∠D=∠BAC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CD=BC=5，即⊙O的直径为5．故答案为：5．　15．如图，△第31页（共31页） ABC是等边三角形，AB=2，分别以A，B，C为圆心，以2为半径作弧，则图中阴影部分的面积是　2π﹣3　．【考点】扇形面积的计算；等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形的面积公式求出正△ABC的面积，根据扇形的面积公式S=求出扇形的面积，求差得到答案．【解答】解：∵正△ABC的边长为2，∴△ABC的面积为×2×=，扇形ABC的面积为=π，则图中阴影部分的面积=3×（π﹣）=2π﹣3，故答案为：2π﹣3．　16．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是　4.5　．【考点】切线的性质．【分析】设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=2.5+1.5=4，由此不难解决问题．【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，∵AB=5，AC=4，BC=3，第31页（共31页） ∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°，∵∠OP1B=90°，∴OP1∥AC∵AO=OB，∴P1C=P1B，∴OP1=AC=2，∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=0.5，如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，P2Q2最大值=2.5+1.5=4，∴PQ长的最大值与最小值的和是4.5．故答案为：4.5．　三、解答题（本大题共11题，共102分）17．解方程：（1）（x+1）2=1（2）x2﹣6x+4=0．【考点】解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】（1）直接开平方法求解可得；（2）将常数项已知等式的右边，再在等式的两边都配上一次项系数一半的平方，利用配方法求解可得．【解答】解：（1）∵（x+1）2=1，第31页（共31页） ∴x+1=1或x+1=﹣1，解得：x=0或x=﹣2；（2）∵x2﹣6x=﹣4，∴x2﹣6x+9=﹣4+9，即（x﹣3）2=5，∴x﹣3=±，则x=3．　18．已知关于x的方程x2+ax﹣2=0．（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=a2+8≥8，由此即可证出不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）将x=2代入原方程求出a值，设方程的另一个根为m，根据根与系数的关系即可得出2m=﹣2，解之即可得出结论．【解答】解：（1）在方程x2+ax﹣2=0中，△=a2﹣4×1×（﹣2）=a2+8，∵a2+8≥8，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．（2）将x=2代入原方程，4+2a﹣2=0，解得：a=﹣1．设方程的另一个根为m，由根与系数的关系得：2m=﹣2，解得：m=﹣1．∴a的值为﹣1，方程的另一根为﹣1．　19．某人了解到某公司员工的月工资情况如下：员工经理副经理职员A职员B职员C职员D职员E职员F职员G第31页（共31页） 月工资/元1200080003200260024002200220022001200在调查过程中有3位员工对月工资给出了下列3种说法：甲：我的工资是2400元，在公司中属中等收入．乙：我们有好几个人的工资都是2200元．丙：我们公司员工的收入比较高，月工资有4000元．（1）上述3种说法分别用了平均数、中位数、众数中哪一个描述数据的集中趋势？（2）在上述3种说法中你认为那种说法可以较好地反映该公司员工月收入的一般水平？说说你的理由．【考点】众数；算术平均数；中位数．【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的定义得出答案；（2）根据中位数及众数的意义即可得出结论．【解答】解：（1）甲所说的数据2400元，我们称之为该组数据的中位数；乙所说的数据2200元，我们称之为该组数据的众数；平均数为：÷9=4000；（2）根据中位数和众数的意义即可得出：甲、乙两人的说法能较好地反映公司员工收入的一般水平．　20．甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是　　；（2）随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取2名同学中有乙同学的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】第31页（共31页） 解：（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率=；故答案为；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中选取2名同学中有乙同学的结果数为6，所以有乙同学的概率==．　21．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=80°，求∠CAD的度数；（2）若AB=8，AC=6，求DE的长．【考点】圆周角定理．【分析】（1）根据平行线的性质求出∠AOD，根据等腰三角形的性质求出∠OAD，根据圆周角定理求出∠CAB，计算即可；（2）根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理求出OE，结合图形计算．【解答】解：（1）∵OD∥BC，∴∠AOD=∠B=80°，∴∠OAD=∠ODA=50°，∵AB是半圆O的直径，∴∠C=90°，∴∠CAB=10°，∴∠CAD=50°﹣10°=40°；（2）∵∠C=90°，AB=8，AC=6，第31页（共31页） ∴BC==2，∵OD∥BC，OA=OB，∴OE=BC=，∴DE=4﹣．　22．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC相交于点D，且CD=2，BC=4，（1）求⊙O的半径；（2）连接AD并延长，交BC于点E，取BE的中点F，连接DF，试判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由．【考点】切线的性质．【分析】（1）设⊙O的半径为R，由切线的性质得出∠OBC=90°，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）连接BD，由等腰三角形的性质得出∠OBD=∠ODB，由圆周角定理得出∠ADB=90°，求出∠BDE=90°，由直角三角形的性质得出DF=BE=BF，得出∠DBF=∠BDF，证出∠BDF+∠ODB=90°，即可得出结论．【解答】解：（1）设⊙O的半径为R，∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴OB2+BC2=OC2，即R2+42=（R+2）2，解得：R=3，即⊙O的半径为3；（2）DF与⊙O相切；理由如下：第31页（共31页） 如图所示：连接BD，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BDE=90°，∵F是BE的中点，∴DF=BE=BF，∴∠DBF=∠BDF，∵∠DBF+∠OBD=90°，∴∠BDF+∠ODB=90°，∴DF⊥OD，∴DF与⊙O相切．　23．已知二次函数y=x2﹣2xx…﹣10123…y…　3　0﹣1　0　　3　…（1）请在表内的空格中填入适当的数；（2）请在所给的平面直角坐标系中画出y=x2﹣2x的图象；（3）当x再什么范围内时，y随x的增大而减小；（4）观察y=x2﹣2x的图象，当x在什么范围内时，y＞0．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的图象．【分析】（1）将对应的x的值代入计算即可；（2）依据表格描点、连线即可画出图形；第31页（共31页） （3）先找出抛物线的对称轴，然后依据函数图象回答即可；（4）y＞0时，函数图象位于x轴上方时，求得此时自编量x的范围即可．【解答】解：（1）将x=﹣1时，y=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=3；当x=2时，y=22﹣2×2=0；当x=3时，y=32﹣2×3=3．故答案为：3；0；3．（2）如图所示：（3）由函数图象可知抛物线的对称轴为x=1，当x＜1时，y随x的增大而减小．（4）由函数图象可知：当x＜0或x＞2时，y＞0．　24．某涵洞的截面边缘成抛物线形，现测得当水面宽AB=2米时涵洞的顶点与水面的距离为4米，这时离开水面2米处涵洞宽DE是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】根据点B的坐标利用待定系数法求得函数解析式，再求出离开水面2米处即y=﹣2时x的值，从而得出答案．【解答】解：根据题意知点B坐标为（1，﹣4），第31页（共31页） 设抛物线解析式为y=ax2，将点B（1，﹣4）代入，得：a=﹣4，∴抛物线解析式为y=﹣4x2，当y=﹣2时，由﹣4x2=﹣2得x=±，∴DE=﹣（﹣）=，答：这时离开水面2米处涵洞宽DE是米．　25．某商店购进一种商品，每件商品进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件销售价x（元）的关系数据如下：x30323436y40363228（1）已知y与x满足一次函数关系，根据上表，求出y与x之间的关系式（不写出自变量x的取值范围）；（2）如果商店销售这种商品，每天要获得150元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？（3）设该商店每天销售这种商品所获利润为w（元），求出w与x之间的关系式，并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据待定系数法解出解析式即可；（2）根据题意列出方程解答即可；（3）根据题意列出函数解析式，利用函数解析式的最值解答即可．【解答】解：（1）设该函数的表达式为y=kx+b，根据题意，得，解得：．故该函数的表达式为y=﹣2x+100；（2）根据题意得，（﹣2x+100）（x﹣30）=150，解这个方程得，x1=35，x2=45，第31页（共31页） 故每件商品的销售价定为35元或45元时日利润为150元；（3）根据题意，得w=（﹣2x+100）（x﹣30）=﹣2x2+160x﹣3000=﹣2（x﹣40）2+200，∵a=﹣2＜0则抛物线开口向下，函数有最大值，即当x=40时，w的值最大，∴当销售单价为40元时获得利润最大．　26．如图1，已知抛物线y=ax2+bx+2的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点Q（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），经过点P分别作PD∥BQ交AQ于点D，PE∥AQ交BQ于点E．①判断四边形PDQE的形状；并说明理由；②连接DE，求出线段DE的长度范围；③如图2，在抛物线上是否存在一点F，使得以P、F、A、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点F和点P坐标；若不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）①作辅助线QH，利用勾股定理的逆定理求出∠AQB=90°，再根据两组对边分别平行可知：四边形PDQE是矩形；②第31页（共31页） 根据矩形的对角线相等得：PQ=DE，即PQ的范围就是DE的范围，当P与H重合时最小，当P与A重合时最大，由此得出线段DE的长度范围；③有两种情况：一种：以AP为边的平行四边形APFC，如图3，得出P和F的坐标；另一种：以AP为对角线的平行四边形AFPC，利用点C的坐标和抛物线的解析式求出点F的坐标，并相应求出点P的坐标．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx+2中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）①四边形PDQE是矩形，理由是：如图1，过Q作QH⊥AB于H，把Q（m，m﹣1）代入y=﹣x+2中得：m﹣1=﹣+m=2，m2﹣m﹣6=0，（m﹣3）（m+2）=0，m1=3，m2=﹣2，∵Q是第一象限上的点，∴m＞0，∴m=﹣2不符合题意，舍去，∴Q（3，2），∵A（﹣1，0），B（4，0），∴AH=4，QH=2，BH=1，∴AQ==2，BQ==，AB=5，∴AB2=AQ2+BQ2，∴∠AQB=90°，第31页（共31页） ∵PD∥BQ，PE∥AQ，∴四边形PDQE是矩形；②如图2，连接PQ，∵四边形PDQE是矩形，∴PQ=DE，当PQ⊥AB时，PQ最小，即DE最小，此时PQ=2，即DE=2，当点P在A时PQ最大，即PQ=AQ=2，∴线段DE的长度范围是：2≤DE＜2；③当以AP为边时，如图3，则它的对边为CF，∵四边形APFC是平行四边形，∴AP∥CF，∴点C和点F的纵坐标相等为2，∴F（3，2），∴AP=CF=3，∴P（2，0），当以AP为对角线时，如图4，可得F的纵坐标与点C的纵坐标互为相反数，即是﹣2，当y=﹣2时，代入抛物线的解析式为：﹣2=﹣++2，x=，∵点F在第三象限，∴F（，﹣2），过F作FM⊥AB于M，则△PCO≌△AFM，∴OP=AM，∴OP=﹣1=，则此时点P的坐标为（，0），综上所述，F（3，2），P（2，0）或点F（，﹣2），点P（第31页（共31页） ，0）．　27．对于一个圆和一个正方形给出如下定义：若圆上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称这个圆是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．第31页（共31页） （1）当r=2时，在P1（0，2），P2（﹣2，4），P3（4，2），P4（0，2﹣2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是　P2（﹣2，4）或P4（0，2﹣2）　；（2）若点P坐标为（﹣3，6），则当⊙P的半径r=　5　时，⊙P是正方形ABCD的“等距圆”．试判断此时⊙P与直线AC的位置关系？并说明理由．（3）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P的圆心P的坐标．【考点】圆的综合题．【分析】（1）根据“等距圆”的定义，可知只要圆经过正方形的中心，即是正方形的“等距圆”，也就是说圆心与正方形中心的距离等于圆的半径即可，从而可以判断哪个点可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心，本题得以解决；（2）根据题意可知，只要求出点P与正方形ABCD的中心的距离即可求得半径r的长度，连接PE，可以得到直线PE的解析式，看点B是否在此直线上，由BE与直线AC的关心可以判断PE与直线AC的关系，本题得以解决；（3）根据题意，可以得到点P满足的条件，列出形应的二元一次方程组，从而可以求得点P的坐标．【解答】解：（1）连接AC、BD相交于点M，如右图1所示，∵四边形ABCD是正方形，∴点M是正方形ABCD的中心，到四边的距离相等，∴⊙P一定过点M，∵第31页（共31页） 正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．∴点M（0，2），设⊙P的圆心坐标是（x，y），∴（x﹣0）2+（y﹣2）2=（2）2，将P1（0，2），P2（﹣2，4），P3（4，2），P4（0，2﹣2）分别代入上面的方程，只有P2（﹣2，4）和P4（0，2﹣2）成立，故答案为：P2（﹣2，4）或P4（0，2﹣2）；（2）由题意可得，点M的坐标为（0，2），点P（﹣3，6），∴r==5，即当P点坐标为（﹣3，6），则当⊙P的半径r是5时，⊙P是正方形ABCD的“等距圆”；故答案为5．此时⊙P与直线AC的位置关系是相交，理由：∵正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧，∴点C（﹣2，0），设过点A（2，4），点C（﹣2，0）的直线的解析式为y=kx+b，则，解得，，即直线AC的解析式为：y=x+2，∴点P（﹣3，6）到直线AC的距离为：=，∵＜5，∴此时⊙P与直线AC的位置关系是相交；第31页（共31页） （3）设点P的坐标为（x，y），连接HF、EG交于点N，则点N为正方形EFGH的中心，如图2所示，∵点E（0，2），N（3，5），点C（﹣2，0），点B（﹣2，4），⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，∴，解得或，即⊙P的圆心P的坐标是（5+2，﹣2）或（5﹣2，2）．　第31页（共31页） 2017年2月20日第31页（共31页）