苏科版数学九年级上册期末复习试卷12（含答案）

苏科版数学九年级上册期末复习试卷一、选择题1．方程（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5的解是（　　）A．x=5B．x=5或x=6C．x=7D．x=5或x=72．二次函数y=x2﹣3x﹣4的图象必定经过点（　　）A．（﹣1，1）B．（﹣2，6）C．（2，4）D．（4，﹣1）3．在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=1.6，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的描述正确的是（　　）A．甲比乙稳定B．乙比甲稳定C．甲和乙一样稳定D．甲、乙稳定性没法对比4．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（　　）A．B．C．D．5．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（　　）A．30°B．45°C．60°D．75°6．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　）A．560（1+x）2=315B．560（1﹣x）2=315C．560（1﹣2x）2=315D．560（1﹣x2）=3157．已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm，另一条直角边BC=5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是（　　）A．65πcm2B．90πcm2C．155πcm2D．209πcm2第28页（共28页） 8．不论m为何实数，抛物线y=x2﹣mx+m﹣2（　　）A．在x轴上方B．与x轴只有一个交点C．与x轴有两个交点D．在x轴下方9．若A（﹣5，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）为二次函数y=ax2+2ax+2016（a＜0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y210．如图，正方形OABC的边长为2，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（　　）A．B．C．﹣2D．二、填空题11．二次函数y=（x+1）2﹣2图象的对称轴是　　．12．已知一组数据：3，3，4，5，5，6，6，6．这组数据的众数是　　．13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．则cosA=　　．14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　　．15．将二次函数y=2x2的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象对应的函数表达式为　　．16．在同一时刻太阳光线与水平线的夹角是一定的．如图，有一垂直于地面的物体AB．在某一时刻太阳光线与水平线的夹角为30°时，物体AB的影长BC为4米；在另一个时刻太阳光线与水平线的夹角为45°时，则物体AB的影长BD为　　米．（结果保留根号）第28页（共28页） 17．如图，⊙O的直径AB为12点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，且∠DAC=30°，则图中阴影部分面积为　　．18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的最小值是　　．三、解答题19．解方程：（2x+1）2﹣x2=0．20．计算：2sin60°+cos245°﹣4tan30°．21．关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值．第28页（共28页） 22．为了传承优秀传统文化，某校举行“经典诵读”比赛，诵读材料有：A《唐诗》、B《宋词》、C《论语》．将A、B、C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小红和小亮参加诵读比赛，比赛时小红先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行比赛．（1）小红诵读《论语》的概率是　　；（2）请用列表法或画树状图的方法，求小红和小亮诵读两个相同材料的概率．23．如图，△ABC中，∠B=45°，AB=3，D是BC中点，tanC=．求：（1）BC的长；（2）sin∠ADB．第28页（共28页） 24．已知二次函数y=x2﹣（m﹣1）x﹣m的图象过点（﹣2，5），与x轴交于点A、B（A在B的左侧）点C在图象上，且S△ABC=8．求：（1）求m；（2）求点A、点B的坐标；（3）求点C的坐标．25．某水果店销售某种水果，原来每箱售价60元，每星期可卖200箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖20箱．已知该水果每箱的进价是40元，设该水果每箱售价x元，每星期的销售量为y箱．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该水果店销售这种水果每星期想要获得不低于4320元的利润，每星期至少要销售该水果多少箱？第28页（共28页） 26．如图，直线l与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，AC=8，P是直径AC右侧半圆上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA、PC．设PA=x，PB=y．求：（1）△APC与△APB相似吗？为什么？（2）求y与x的函数关系式；（3）当x为何值时，x﹣y取得最大值，最大值为多少？27．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC：AP=1：2，PF=3，求AF的长．第28页（共28页） 28．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点A（﹣1，0），且与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点D是顶点．（1）填空：a=　　；顶点D的坐标为　　；直线BC的函数表达式为：　　．（2）直线x=t与x轴相交于一点．①当t=3时得到直线BN（如图1），点M是直线BC上方抛物线上的一点．若∠COM=∠DBN，求出此时点M的坐标．②当1＜t＜3时（如图2），直线x=t与抛物线、BD、BC及x轴分别相交于点P、E、F、G，3试证明线段PE、EF、FG总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为，求此时t的值．　第28页（共28页） 参考答案1．方程（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5的解是（　　）A．x=5B．x=5或x=6C．x=7D．x=5或x=7【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】方程左右两边都含有（x﹣5），将其看做一个整体，然后移项，再分解因式求解．【解答】解：（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5（x﹣5）（x﹣6）﹣（x﹣5）=0（x﹣5）（x﹣7）=0解得：x1=5，x2=7；故选D．　2．二次函数y=x2﹣3x﹣4的图象必定经过点（　　）A．（﹣1，1）B．（﹣2，6）C．（2，4）D．（4，﹣1）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】将各点横坐标x的值代入y=x2﹣3x﹣4，计算出对应的y值，如果与点的纵坐标相等，则图象经过该点．【解答】解：A、∵x=﹣1时，y=（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣4=0≠1，故本选项错误；B、∵x=﹣2时，y=（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4=6，故本选项正确；C、∵x=2时，y=22﹣3×2﹣4=﹣6≠4，故本选项错误；D、∵x=4时，y=42﹣3×4﹣4=0≠﹣1，故本选项错误；故选B．　3．在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=1.6，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的描述正确的是（　　）A．甲比乙稳定B．乙比甲稳定C．甲和乙一样稳定D．甲、乙稳定性没法对比【考点】方差．第28页（共28页） 【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S甲2=1.2，S乙2=1.6，∴S甲2＜S乙2，∴甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的是甲，∴甲比乙稳定；故选A．　4．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（　　）A．B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值；三角形内角和定理．【分析】根据比例设三个内角分别为k、2k、3k，然后根据三角形内角和等于180°列出方程求出最小角，继而可得出答案．【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为1：2：3，∴设三个内角分别为k、2k、3k，∴k+2k+3k=180°，解得k=30°，最小角的正切值=tan30°=．故选：C．　5．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（　　）A．30°B．45°C．60°D．75°第28页（共28页） 【考点】圆周角定理．【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得∠BCD=90°，可求∠D=60°，即可求∠A=∠D=60°．【解答】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∵∠CBD=30°，∴∠D=60°，∴∠A=∠D=60°．故选C．　6．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　）A．560（1+x）2=315B．560（1﹣x）2=315C．560（1﹣2x）2=315D．560（1﹣x2）=315【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：560（1﹣x）2=315，故选：B．　7．已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm，另一条直角边BC=5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是（　　）A．65πcm2B．90πcm2C．155πcm2D．209πcm2【考点】圆锥的计算；点、线、面、体；勾股定理．【分析】根据圆锥的表面积=侧面积+底面积计算．【解答】解：圆锥的表面积=×10π×13+π×52=90πcm2．第28页（共28页） 故选B．　8．不论m为何实数，抛物线y=x2﹣mx+m﹣2（　　）A．在x轴上方B．与x轴只有一个交点C．与x轴有两个交点D．在x轴下方【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】图象与x轴是否有交点，即是判断当y=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0的根的情况．【解答】解：当y=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0的判别式为：△=（﹣m）2﹣4×1×（m﹣2）=（m﹣2）2+4＞0，∴方程有两个不相等的根，即抛物线与x轴有两个交点，故选C．　9．若A（﹣5，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）为二次函数y=ax2+2ax+2016（a＜0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先由a＜0，得出函数有最大值，再根据点A、B、C到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答．【解答】解：二次函数y=ax2+2ax+2016的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∵a＜0，∴抛物线开口向下，∵点A、B、C到对称轴的距离分别为4、1、2，∴y1＜y3＜y2．故选A．　10．如图，正方形OABC的边长为2，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（　　）第28页（共28页） A．B．C．﹣2D．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．【分析】连接OB，过B作BD⊥x轴于D，若OA与x轴负半轴的夹角为15°，那么∠BOD=30°；在正方形OABC中，已知了边长，易求得对角线OB的长，进而可在Rt△OBD中求得BD、OD的值，也就得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值．【解答】解：如图，连接OB，过B作BD⊥x轴于D；则∠BOA=45°，∠BOD=30°；已知正方形的边长为2，则OB=2；Rt△OBD中，OB=2，∠BOD=30°，则：BD=OB=，OD=OB=；故B（﹣，﹣），代入抛物线的解析式中，得：（﹣）2a=﹣，解得a=﹣；故选B．　二、填空题本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题纸相对应的位置上.11．二次函数y=（x+1）2﹣2图象的对称轴是　直线x=﹣1　．第28页（共28页） 【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线解析式可求得答案．【解答】解：∵y=（x+1）2﹣2，∴对称轴为直线x=﹣1，故答案为：直线x=﹣1．　12．已知一组数据：3，3，4，5，5，6，6，6．这组数据的众数是　6　．【考点】众数．【分析】根据众数的定义就可以解决．【解答】解：6出现的次数最多，所以众数是6．故填6．　13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．则cosA=　　．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】先根据勾股定理求得AB的长，然后根据正弦的定义即可求解．【解答】解：根据勾股定理可得：AB==5，∴cosA==．故答案是：．　14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　m＞﹣4　．【考点】根的判别式．【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：由已知得：△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）=16+4m＞0，解得：m＞﹣4．第28页（共28页） 故答案为：m＞﹣4．　15．将二次函数y=2x2的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象对应的函数表达式为　y=2（x+1）2+3　．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先得到抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），由于点（0，0）先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的点的坐标为（﹣1，3），则利用顶点式可得到平移后的抛物线的解析式为y=2（x+1）2+3．【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的点的坐标为（﹣1，3），所以平移后的抛物线的解析式为y=2（x+1）2+3．故答案为y=2（x+1）2+3．　16．在同一时刻太阳光线与水平线的夹角是一定的．如图，有一垂直于地面的物体AB．在某一时刻太阳光线与水平线的夹角为30°时，物体AB的影长BC为4米；在另一个时刻太阳光线与水平线的夹角为45°时，则物体AB的影长BD为　　米．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用；平行投影．【分析】根据锐角三角函数可以求得AB的长，从而可以求得BD的长，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，∠B=90°，BC=4，∠C=30°，∴tan30°=，第28页（共28页） ∴AB=，∵∠B=90°，∠ADB=45°，∴AB=BD，∴BD=，故答案为：．　17．如图，⊙O的直径AB为12点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，且∠DAC=30°，则图中阴影部分面积为　18﹣6π　．【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【分析】连接OC，由圆周角定理得出∠BOC=2∠DAC=60°，可求得∠D=30°，得出OD=2OC=12，由勾股定理求出CD，利用△OCD的面积﹣扇形BOC的面积求得阴影部分的面积．【解答】解：连接OC，如图所示：∵DC切⊙O于点C，∴DC⊥OC，∵∠BOC=2∠DAC=60°，∴∠D=30°，在Rt△OCD中，OC=AB=6，∴OD=2OC=12，由勾股定理得：CD=OC=6，∴S△OCD=OC•CD=×6×6=18，∵∠COD=60°，∴S扇形COB==6π，∴S阴影=S△OCD﹣S扇形COB=18﹣6π；第28页（共28页） 故答案为：18﹣6π．　18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的最小值是　﹣1　．【考点】直角三角形斜边上的中线；坐标与图形性质．【分析】先求出AB，AC进而得出AC=AB，结合直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，即AP=t，即可得出t最小时，点P在AD上，用两点间的距离公式即可得出结论．【解答】解：如图，连接AP，∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），∴AB=（1+t）﹣1=t，AC=1﹣（1﹣t）=t，∴AB=BC，∵∠BPC=90°，∴AP=BC=AB=t，要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小，∴点P在AD上，∵A（0，1），D（3，3），∴AD==，第28页（共28页） ∴t的最小值是AP=AD﹣PD=﹣1，故答案为﹣1．　三、解答题本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题纸相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.19．解方程：（2x+1）2﹣x2=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】利用平方差公式分解因式，然后可得（x+1）（3x+1）=0，进而可得x+1=0，3x+1=0，再解即可．【解答】解：（2x+1﹣x）（2x+1+x）=0，（x+1）（3x+1）=0，x+1=0，3x+1=0，解得x1=﹣1，x2=﹣．　20．计算：2sin60°+cos245°﹣4tan30°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】首先把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的运算即可．【解答】解：原式=2×+×（）2﹣4×=．　第28页（共28页） 21．关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值．【考点】根与系数的关系．【分析】由于x=是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后由根与系数的关系来求方程的另一根．【解答】解：设方程的另一根为t．依题意得：3×（）2+m﹣8=0，解得m=10．又t=﹣，所以t=﹣4．综上所述，另一个根是﹣4，m的值为10．　22．为了传承优秀传统文化，某校举行“经典诵读”比赛，诵读材料有：A《唐诗》、B《宋词》、C《论语》．将A、B、C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小红和小亮参加诵读比赛，比赛时小红先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行比赛．（1）小红诵读《论语》的概率是　　；（2）请用列表法或画树状图的方法，求小红和小亮诵读两个相同材料的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出小红和小亮诵读两个相同材料的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）小红诵读《论语》的概率=；故答案为．（2）画树状图为：第28页（共28页） 共有9种等可能的结果数，其中小红和小亮诵读两个相同材料的结果数为3，所以小红和小亮诵读两个相同材料的概率==．　23．如图，△ABC中，∠B=45°，AB=3，D是BC中点，tanC=．求：（1）BC的长；（2）sin∠ADB．【考点】解直角三角形．【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角函数的定义得到AE=AB•sinB=3×=3，CE=15，于是得到结论；（2）由D是BC中点，得到BD=BC=9，根据勾股定理得到AD==3，由三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，∴∠AEB=90°，∵∠B=45°，∵sinB=，∴AE=AB•sinB=3×=3，∴BE=AE=3，∵∠AEC=90°，tanC=，∴CE=15，∴BC=BE+CE=18；（2）∵D是BC中点，∴BD=BC=9，∴DE=BD﹣BE=6，第28页（共28页） ∴AD==3，∴sin∠ADB===．　24．已知二次函数y=x2﹣（m﹣1）x﹣m的图象过点（﹣2，5），与x轴交于点A、B（A在B的左侧）点C在图象上，且S△ABC=8．求：（1）求m；（2）求点A、点B的坐标；（3）求点C的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）把（﹣2，5）代入解析式，求出m；（2）解一元二次方程求出点A、点B的坐标；（3）设点C的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），根据三角形的面积公式求出n的值，求出点C的坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y=x2﹣（m﹣1）x﹣m的图象过点（﹣2，5），∴（﹣2）2﹣（m﹣1）×（﹣2）﹣m=5，解得，m=3；（2）当m=3时，函数解析式为：y=x2﹣2x﹣3，y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得，x1=﹣1，x2=3，∴点A的坐标为（﹣1，0）、点B的坐标为（3，0）；（3）设点C的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），∵点A的坐标为（﹣1，0）、点B的坐标为（3，0），∴AB=4，由题意得，×4×|n2﹣2n﹣3|=8，∴|n2﹣2n﹣3|=4，当n2﹣2n﹣3=4时，n=1±2，第28页（共28页） 当n2﹣2n﹣3=﹣4时，n=1，∴点C的坐标为（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，4）．　25．某水果店销售某种水果，原来每箱售价60元，每星期可卖200箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖20箱．已知该水果每箱的进价是40元，设该水果每箱售价x元，每星期的销售量为y箱．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该水果店销售这种水果每星期想要获得不低于4320元的利润，每星期至少要销售该水果多少箱？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论．（2））设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．（3）列出不等式先求出售价的范围，再确定销售数量即可解决问题．【解答】解：（1）由题意可得：y=200+20（60﹣x）=﹣20x+1400（0＜x＜60）；（2）设每星期利润为W元，W=（x﹣40）（﹣20x+1400）=﹣20（x﹣55）2+4500，∵﹣20＜0，抛物线开口向下，∴x=55时，W最大值=4500，且x=55＜60，符合题意．∴每箱售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润4500元；（3）由题意W=4320时，（x﹣40）（﹣20x+1400）=4320，解得：x1=58，x2=52，故W≥4320时，52≤x≤58，当x=52时，销售200+20×8=360，当x=58时，销售200+20×2=240，第28页（共28页） 故该网店每星期想要获得不低于4320元的利润，每星期至少要销售该水果240箱．　26．如图，直线l与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，AC=8，P是直径AC右侧半圆上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA、PC．设PA=x，PB=y．求：（1）△APC与△APB相似吗？为什么？（2）求y与x的函数关系式；（3）当x为何值时，x﹣y取得最大值，最大值为多少？【考点】圆的综合题．【分析】（1）利用切线的性质以及平行线的性质进而得出∠CAP=∠APB以及∠PBA=∠APC=90°，即可得出答案；（2）根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）由x2代替y，化为关于x的二次三项式，配方即可求得答案．【解答】解：（1）△APC∽△APB，证明：∵⊙O与直线l相切于点A，且AB为⊙O的直径，∴CA⊥l，∠CPA=90°，又∵PB⊥l，∴CA∥PB，∴∠CAP=∠APB，又∵PB⊥l，∴∠APB=90°，∴∠CAP=∠ABP，∴△APC∽△APB；第28页（共28页） （2）∵△APC∽△APB，∴，∴．∴y=x2（0＜x＜8）；（3）x﹣y=x﹣=﹣（（x﹣4）2+2，∴当x为4时，x﹣y取得最大值，最大值为2．　27．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC：AP=1：2，PF=3，求AF的长．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）结论：AB是⊙O切线，连接DE，CF，由∠FCD+∠CDF=90°，只要证明∠ADF=∠DCF即可解决问题．（2）只要证明△PCF∽△PAC，得=，设PC=a．则PA=2a，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）AB是⊙O切线．理由：连接DE、CF．∵CD是直径，∴∠DEC=∠DFC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DEC+∠ACE=180°，∴DE∥AC，第28页（共28页） ∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，∵∠DFC=90°，∴∠FCD+∠CDF=90°，∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，∴∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AD，∴AB是⊙O切线．（2）∵∠CPF=∠CPA，∠PCF=∠PAC，∴△PCF∽△PAC，∴=，∴PC2=PF•PA，设PC=a．则PA=2a，∴a2=3×2a，∴a=6，∴PA=2a=12，则AF=12﹣3=9．　28．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点A（﹣1，0），且与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点D是顶点．第28页（共28页） （1）填空：a=　﹣1　；顶点D的坐标为　（1，4）　；直线BC的函数表达式为：　y=﹣x+3　．（2）直线x=t与x轴相交于一点．①当t=3时得到直线BN（如图1），点M是直线BC上方抛物线上的一点．若∠COM=∠DBN，求出此时点M的坐标．②当1＜t＜3时（如图2），直线x=t与抛物线、BD、BC及x轴分别相交于点P、E、F、G，3试证明线段PE、EF、FG总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为，求此时t的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线y=ax2﹣2ax+a+4中，即可求出a的值；利用顶点坐标公式求出点D的坐标；求出点B、点C的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；（2）①设点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），利用tan∠COM=tan∠DBN，列出方程，求出m的值即可求出点M的坐标；②利用待定系数法求出直线BD的解析式，利用用含t的式子表示出EF、FG、PE的长度，利用三边关系即可证明；底角的余弦值为，列出关于t的方程，解得即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点A（﹣1，0），∴a+2a+a+4=0，解得：a=﹣1；∴抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+3，∴=1，==4，第28页（共28页） ∴顶点D的坐标为：（1，4）；令x=0，得：y=3，即点C的坐标为（0，3）；∵点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴1×2﹣（﹣1）=3，∴点B的坐标为（3，0），设直线BC的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3；故答案为：﹣1，（1，4），y=﹣x+3；（2）①设点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∵∠COM=∠DBN，∴tan∠COM=tan∠DBN，∴，解得：m=±，∵m＞0，∴m=，∴点M（，2）；②设直线BD的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线BD的解析式为：y=﹣2x+6；∴点P（t，﹣t2+2t+3），点E（t，﹣2t+6），点F（t，﹣t+3），∴PE=（﹣t2+2t+3）﹣（﹣2t+6）=﹣t2+4t﹣3，EF=（﹣2t+6）﹣（﹣t+3）=﹣t+3，FG=﹣t+3，∴EF=FG．∵EF+FG﹣PE=2（﹣t+3）﹣（﹣t2+4t﹣3）=（t﹣3）2＞0，∴EF+FG＞PE，∴当1＜t＜3时，线段PE，EF，FG总能组成等腰三角形，由题意的：，即，第28页（共28页） ∴5t2﹣26t+33=0，解得：t=3或，∴1＜t＜3，∴t=．　第28页（共28页） 2017年2月25日第28页（共28页）