苏科版数学九年级上册月考模拟试卷八（含答案）

苏科版数学九年级上册月考模拟试卷一、选择题1．﹣3的相反数是（　　）A．3B．﹣3C．D．﹣2．方程=的解为（　　）A．x=0B．x=2C．x=4D．x=83．已知，则的值是（　　）A．﹣5B．5C．﹣4D．44．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的两个根，则x1+x2的值是（　　）A．1B．6C．﹣5D．55．已知方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）A．B．C．D．且k≠06．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（　　）A．B．C．D．7．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（　　）A．1B．2C．3D．48．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（　　）第33页（共33页） A．17B．18C．19D．209．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（　　）A．9B．12C．15D．1810．在矩形ABCD中，BC=10cm、DC=6cm，点E、F分别为边AB、BC上的两个动点，E从点A出发以每秒5cm的速度向B运动，F从点B出发以每秒3cm的速度向C运动，设运动时间为t秒．若∠AFD=∠AED，则t的值为（　　）A．B．0.5C．D．1二、填空题11．如果分式有意义，那么x的取值范围是　　．12．若分式的值为0，则x的值为　　．13．为庆祝祖国60周年华诞，在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式，已知天安门广场的面积为44万平方米，在比例尺为1：20000的地图上天安门的面积为　　cm2．14．某公司在2013年的盈利额为200万元，预计2015年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2014年的盈利额为　　万元．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则其外接圆的半径为　　．16．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则=　　．第33页（共33页） 17．如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是　　．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．若△CEF与△ABC相似，则AD的长为　　．三、解答题19．（1）化简：；（2）计算：﹣．20．（1）解方程：=；（2）4（x﹣1）2=36；（3）解方程：x2﹣3x+2=0．第33页（共33页） 21．先化简，再求值：，其中．22．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．23．如图：若AB⊥BD，CD⊥BD，动点P在BD上且CP⊥AP，若AB=3，CD=2，BD=7．（1）说明：△ABP∽△PDC；（2）求出DP的长．第33页（共33页） 24．如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出的值．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．（1）在△ABC内放入正方形纸片DEFG，使边EF在斜边AB上，点D、G分别在AC、BC上．则正方形的边长为　　；（2）类似第（1）小题，使正方形纸片一条边都在AB上，若在△ABC内并排（不重叠）放入两个小正方形，且只能放入两个，试确定小正方形边长的范围；（3）在△ABC内并排放入（不重叠）边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点分别在AC、BC上，依次这样摆放上去，则最多能摆放　　个小正方形纸片．第33页（共33页） 26．大润发超市销售某厂家生产的A型智能手机，从厂家按出厂价800元/部进货，然后标价1200元/部销售，平均每天可售出10部．国庆七天假期，厂家和超市联合促销．厂家对超市承诺：在七天促销期间销售的A型智能手机的出厂价每部优惠50元；对多销的部分，厂家每部再优惠50元．超市经过调查发现，若每部手机降价40元，平均每天可多售4部手机．（1）若超市国庆期间某天售出10部手机，则每部A型智能手机的进货价是　　．（2）最后经统计，在这七天中，通过降价销售及厂家让利，超市销售A型智能手机共获得的总利润为58380元，且能让顾客尽可能得到实惠．那国庆期间超市确定的A型智能手机的销售单价是多少？27．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=8，AB=6，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：①当α=0°时，=　　；②当α=180°时，=　　．（2）拓展探究：试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决：当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．第33页（共33页） 28．如图∠MON=90°，A、B分别是OM、ON上的点，OB=4．点C是线段AB的中点，将线段AC以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AD，过点B作ON的垂线l．（1）当点D恰好落在垂线l上时，求OA的长；（2）过点D作DE⊥OM于点E，将（1）问中的△AOB以每秒2个单位的速度沿射线OM方向平移，记平移中的△AOB为△A′O′B′，当点O′与点E重合时停止平移．设平移的时间为t秒，△A′O′B′与△DAE重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围；（3）在（2）问的平移过程中，若B′O′与线段BA交于点P，连接PD，PA′，A′D，是否存在这样的t，使△PA′D是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．　第33页（共33页） 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．﹣3的相反数是（　　）A．3B．﹣3C．D．﹣【考点】相反数．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：﹣3的相反数是3，故选：A．　2．方程=的解为（　　）A．x=0B．x=2C．x=4D．x=8【考点】解分式方程．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：4x﹣8=3x，解得：x=8，经检验x=8是分式方程的解，故选D　3．已知，则的值是（　　）A．﹣5B．5C．﹣4D．4【考点】分式的基本性质．【分析】由，可得a=2b，代入所求的式子化简即可．【解答】解：由，可得a=2b，那么==5．故选：B．　第33页（共33页） 4．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的两个根，则x1+x2的值是（　　）A．1B．6C．﹣5D．5【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系进行解答即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的两个根，∴x1+x2=﹣=﹣=5，故选D．　5．已知方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）A．B．C．D．且k≠0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】令原方程根的判别式△=b2﹣4ac＞0，求得k的取值，保证二次项的系数不为0即可．【解答】解：由题意得：1﹣4k＞0；k≠0，解得：k＜且k≠0，故选D．　6．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（　　）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．第33页（共33页） A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．　7．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（　　）A．1B．2C．3D．4【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC=2，故选：B．　8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（　　）A．17B．18C．19D．20【考点】梯形；线段垂直平分线的性质．【分析】第33页（共33页） 由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线的性质，即可得DE=CE，即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD，继而求得答案．【解答】解：∵CD的垂直平分线交BC于E，∴DE=CE，∵AD=3，AB=5，BC=9，∴四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17．故选A．　9．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（　　）A．9B．12C．15D．18【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE；可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC；∴CD=BC﹣BD=AB﹣3；∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°，∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE；∴，即；解得AB=9．第33页（共33页） 故选：A．　10．在矩形ABCD中，BC=10cm、DC=6cm，点E、F分别为边AB、BC上的两个动点，E从点A出发以每秒5cm的速度向B运动，F从点B出发以每秒3cm的速度向C运动，设运动时间为t秒．若∠AFD=∠AED，则t的值为（　　）A．B．0.5C．D．1【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】根据题意知AE=5t、BF=3t，由==且∠DAE=∠ABF=90°证△ADE∽△BAF得∠2=∠3，结合∠3=∠4、∠1=∠2得∠1=∠4，即可知DF=DA，从而得62+（10﹣3t）2=102，解之可得t的值，继而根据0≤5t≤6且0≤3t≤10取舍可得答案．【解答】解：如图，根据题意知，AE=5t，BF=3t，∵BC=10cm，DC=6cm，∴==，==，∴，又∵∠DAE=∠ABF=90°，∴△ADE∽△BAF，∴∠2=∠3，第33页（共33页） ∵AD∥BC，∴∠3=∠4，∴∠2=∠4，∵∠1=∠2，∴∠1=∠4，∴DF=DA，即DF2=AD2，∵BF=3t，BC=10，∴CF=10﹣3t，∴DF2=DC2+CF2，即DF2=62+（10﹣3t）2，∴62+（10﹣3t）2=102，解得：t=或t=6，∵0≤5t≤6且0≤3t≤10，∴0≤t≤，∴t=，故选：C．　二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．如果分式有意义，那么x的取值范围是　x≠﹣3　．【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0，列出算式，计算得到答案．【解答】解：由题意得，x+3≠0，即x≠﹣3，故答案为：x≠﹣3．　12．若分式的值为0，则x的值为　﹣2　．【考点】分式的值为零的条件．【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．第33页（共33页） 【解答】解：若分式的值为0，则x2﹣4=0且x﹣2≠0．开方得x1=2，x2=﹣2．当x=2时，分母为0，不合题意，舍去．故x的值为﹣2．故答案为﹣2．　13．为庆祝祖国60周年华诞，在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式，已知天安门广场的面积为44万平方米，在比例尺为1：20000的地图上天安门的面积为　11　cm2．【考点】比例线段；相似多边形的性质．【分析】地图与实际图形的是相似形，比例尺即为相似比，相似比是1：20000，根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，即可求解．【解答】解：设地图上的图形的面积是x×10﹣8万平方米．根据题意得到：（x×10﹣8）：44=（1：20000）2．解得x=11．即在比例尺为1：20000的地图上天安门的面积为11cm2．　14．某公司在2013年的盈利额为200万元，预计2015年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2014年的盈利额为　220　万元．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设出营业额增长的百分率x，根据等量关系“2015年的营业额等于2013年的营业额乘（1+增长的百分率）乘（1+增长的百分率）”列出一元二次方程求解增长的百分率，再通过一元一次方程解得：2014年的盈利额等于2013年的营业额乘（1+增长的百分率）．【解答】解：设盈利额增长的百分率为x；由题意得，200（1+x）2=242，解得x=0.1或﹣2.1（不合题意，舍去），故x=0.1∴该公司在2014年的盈利额为：200（1+x）=220万元．第33页（共33页） 故答案为：220．　15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则其外接圆的半径为　5　．【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理．【分析】首先根据勾股定理，得其斜边是10，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，得其半径是5．【解答】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴BA=10，∴其外接圆的半径为5．　16．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则=　2　．【考点】三角形的重心；相似三角形的判定与性质．【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍列式进行计算即可求解．【解答】证明：∵△ABC的中线BD、CE相交于点O，∴点O是△ABC的重心，∴=2．故答案为：2．　17．如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是　∠ABP=∠C（答案不唯一）　．第33页（共33页） 【考点】相似三角形的判定．【分析】由相似三角形的判定可知：对应角相等，对应边成比例或两对角相等，题中∠A为公共角，再有一对应角相等即可．【解答】解：在△ABP与△ACB中，∠A为两三角形的公共角，只需再有一对应角相等即可，即∠ABP=∠C，故答案为：∠ABP=∠C（答案不唯一）．　18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．若△CEF与△ABC相似，则AD的长为　或5　．【考点】相似三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．【分析】若△CEF与△ABC相似，分两种情况：①若CE：CF=3：4，如图1所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；②若CF：CE=3：4，如图2所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A=∠ECD与∠B=∠FCD，从而得到CD=AD=BD，即D点为AB的中点．【解答】解：若△CEF与△ABC相似，分两种情况：①若CE：CF=3：4，如图1所示．∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥AB．由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，∴cosA===，第33页（共33页） ∴AD=AC•cosA=6×=；②若CF：CE=3：4，如图2所示．∵△CEF∽△CBA，∴∠CEF=∠B．由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°，又∵∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，∴D点为AB的中点，∴AD=AB=×10=5．故答案为：或5．　三、解答题（本大题共10小题，共84分）19．（1）化简：；（2）计算：﹣．【考点】分式的加减法．【分析】第33页（共33页） （1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案；（2）根据同分母分式的加减，分母不变分子相加减，可得答案．【解答】解：（1）原式==x+y；（2）原式===a+b．　20．（1）解方程：=；（2）4（x﹣1）2=36；（3）解方程：x2﹣3x+2=0．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解分式方程．【分析】（1）先去分母，把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可．（2）先将4（x﹣1）2=36，化为（x﹣1）2=9的形式，再求9的平方根即可．（3）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）方程两边都乘以x（x+2）得：3（x+2）=2x，解得：x=﹣6，检验：把x=﹣6代入x（x+2）≠0，所以x=﹣6是原方程的解，即原方程的解为x=﹣6．（2）原方程化为，（x﹣1）2=9，开方得，x﹣1=±3，∴x=±3+1，即x1=4，x2=﹣2．（3）因式分解得，（x﹣2）（x﹣1）=0，∴x﹣2=0，x﹣1=0，∴x1=2，x2=1．　21．先化简，再求值：，其中．第33页（共33页） 【考点】二次根式的化简求值；分式的化简求值．【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．本题注意x﹣2看作一个整体．【解答】解：原式====﹣（x+4），当时，原式===．　22．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【分析】首先根据AB=AC=AD，可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D．【解答】证明：∵AB=AC=AD，∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∴∠ABC=∠CBD+∠D，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D．　第33页（共33页） 23．如图：若AB⊥BD，CD⊥BD，动点P在BD上且CP⊥AP，若AB=3，CD=2，BD=7．（1）说明：△ABP∽△PDC；（2）求出DP的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）欲证明△ABP∽△PDC，只要证明∠APB=∠C，∠B=∠D=90°即可．（2）设DP=x，利用相似三角形的性质，列出方程即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，CP⊥AP，∴∠D=∠B=∠CPA=90°，∴∠C+∠CPD=90°，∠CPD+∠APB=90°，∴∠C=∠APB，∴△ABP∽△PDC．（2）设DP=x，∵△ABP∽△PDC，∴=，∴=，解得x=1或6，经检验x=1或6都是用方程的解．∴DP=1或6．　第33页（共33页） 24．如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出的值．【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣轴对称变换．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）连接A1O并延长至A2，使A2O=2A1O，连接B1O并延长至B2，使B2O=2B1O，连接C1O并延长至C2，使C2O=2C1O，然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示，∵△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A2B2C2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为，∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=（）2=．第33页（共33页） 　25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．（1）在△ABC内放入正方形纸片DEFG，使边EF在斜边AB上，点D、G分别在AC、BC上．则正方形的边长为　　；（2）类似第（1）小题，使正方形纸片一条边都在AB上，若在△ABC内并排（不重叠）放入两个小正方形，且只能放入两个，试确定小正方形边长的范围；（3）在△ABC内并排放入（不重叠）边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点分别在AC、BC上，依次这样摆放上去，则最多能摆放　16　个小正方形纸片．【考点】四边形综合题．【分析】（1）作CH⊥AB于H，交DG于P，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CH，根据相似三角形的性质计算即可；（2）根据相似三角形的性质求出两个正方形的顶点分别在AC、BC上时，x的值即可；（3）根据题意、结合图形，根据相似三角形的性质分别计算即可．【解答】解：（1）作CH⊥AB于H，交DG于P，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，第33页（共33页） ∴CH==4.8，∵四边形DEFG是正方形，∴DG∥AB，∴=，即=，解得，DG=，故答案为：；（2）如图2，当两个正方形的顶点分别在AC、BC上时，设正方形的边长为x，由（1）得，=，解得，x=，则小正方形边长x的范围是x≤；（3）如图3，当DE=1时，由（1）得，=，解得，DG=，则一条边都在AB上正方形的个数是7，当PQ=2时，=，解得，PR=，则第二层正方形的个数是5，同理，第三层正方形的个数是3，第④层正方形的个数是1，则最多能摆放7+5+3+1=16个小正方形纸片．故答案为：16．第33页（共33页） 　26．大润发超市销售某厂家生产的A型智能手机，从厂家按出厂价800元/部进货，然后标价1200元/部销售，平均每天可售出10部．国庆七天假期，厂家和超市联合促销．厂家对超市承诺：在七天促销期间销售的A型智能手机的出厂价每部优惠50元；对多销的部分，厂家每部再优惠50元．超市经过调查发现，若每部手机降价40元，平均每天可多售4部手机．（1）若超市国庆期间某天售出10部手机，则每部A型智能手机的进货价是　750元/部　．（2）最后经统计，在这七天中，通过降价销售及厂家让利，超市销售A型智能手机共获得的总利润为58380元，且能让顾客尽可能得到实惠．那国庆期间超市确定的A型智能手机的销售单价是多少？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）根据在七天促销期间销售的A型智能手机的出厂价每部优惠50元解题；（2）等量关系为：每台利润×（10+增加的台数）+50×增加的台数=32200÷7，把相关数值代入求得合适的解即可．第33页（共33页） 【解答】解：（1）依题意得：800﹣50=750（元）．故答案是：750元/部；（2）设国庆期间超市确定的A型智能手机的销售单价为元/部，由题意得：，解得x=4或6，为了能让顾客尽可能得到实惠，所以x=6，1200﹣40×6=960答：国庆期间超市确定的A型智能手机的销售单价960元/部．　27．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=8，AB=6，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：①当α=0°时，=　　；②当α=180°时，=　　．（2）拓展探究：试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决：当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．第33页（共33页） ②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据=，求出的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据==，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．（3）分两种情况分析，A、D、E三点所在直线与BC不相交和与BC相交，然后利用勾股定理分别求解即可求得答案．【解答】解：（1）①当α=0°时，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC===10，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE=AC=5，BD=BC=4∴=．②如图1，当α=180°时，可得AB∥DE，∵=，∴==．故答案为：①，②．（2）如图2，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵==，∴△ECA∽△DCB，∴==．第33页（共33页） （3）①如图3，∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，∴AD==2，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE=AB=3，∴AE=AD+DE=2+3，由（2），可得：=，∴BD=AE=；②如图4，∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，∴AD==2，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE=AB=3，∴AE=AD﹣DE=2﹣3，由（2），可得：=，∴BD=AE=．综上所述，BD的长为．第33页（共33页） 　28．如图∠MON=90°，A、B分别是OM、ON上的点，OB=4．点C是线段AB的中点，将线段AC以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AD，过点B作ON的垂线l．（1）当点D恰好落在垂线l上时，求OA的长；（2）过点D作DE⊥OM于点E，将（1）问中的△AOB以每秒2个单位的速度沿射线OM方向平移，记平移中的△AOB为△A′O′B′，当点O′与点E重合时停止平移．设平移的时间为t秒，△A′O′B′与△DAE重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围；（3）在（2）问的平移过程中，若B′O′与线段BA交于点P，连接PD，PA′，A′D，是否存在这样的t，使△PA′D是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）根据l⊥ON，可得∠DBA+∠ABO=90°．由∠MON=90°，得∠ABO+∠BAO=90°，∠BAO=∠DBA．由题意知：∠BAD=90°，可得△ABO∽△BDA，从而求出OA（2）分情况0≤t＜1；1≤t＜4时；4≤t≤5时，求出函数关系式．第33页（共33页） （3）存在满足条件的t（0≤t≤4），分两种情况讨论①当PA′=PD时，PA′2=PD2，②当PA′=A′D时，PA′2=A′D2，讨论即可得出结论．【解答】解：（1）∵l⊥ON，∴∠DBA+∠ABO=90°．∵∠MON=90°，∴∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠DBA．由题意知：∠BAD=90°，∴∠BAD=∠AOB=90°，∴△ABO∽△BDA．∴．由题意知：AB=2AD，OB=4，∴，∴OA=8．（2）当0≤t＜1时，如图1，AA1=2t，OB=4，OA=8，AB=4，∵△AFA1∽△AOB，∴，∴AF=，A1'F=，S=S△AFA1=AF×A1F=．第33页（共33页） 当1≤t＜4时，如图2，在Rt△EHA2中，A2E=2t﹣2．A2A=2t．AE=2，∵△EHA2∽△AOB，∴，∴∴HE=t﹣1∵△AGA2∽△AOB，，∴，∴AG=，A2G=，∴S=AG×A2N﹣A2E×EH=﹣．当4≤t≤5时，如图3，第33页（共33页） AA3=2t，OA=8，AE=2，OE=BD=10，AO3=2t﹣8，A3E=2t﹣2，HE=t﹣1，HA3=（t﹣1），HD=5﹣t，∵△DHG∽△HEA3，∴∴HG=，DG=，∵△A3EH∽△AFO3，∴∴FO3=4（4﹣t），∴S=AE×DE﹣HE×A3E﹣AO3×FO3=﹣．（3）存在满足条件的t（0≤t≤4），理由如下：如图4，由题意知：BB'=AA'=2t，O′A′=OA=8，DE=B′O′=BO=4．∵△BB'P∽△AOB，∴，即，∴B'P=t．∵△DAE∽△ABO，∴，即，∴AE=2，∴BD=OE=OA+AE=10．第33页（共33页） ∴PO′=4﹣t，B′D=10﹣2t，A′E=10﹣8﹣2t或2t+8﹣10．在Rt△PO'A'中，PA'2=PO'2+O'A'2=t2﹣8t+80．在Rt△PB'D中，PD2=PB'2+B'D2=5t2﹣40t+100．在Rt△A'DE中，A'D2=DE2+A'E2=4t2﹣8t+20．①当PA′=PD时，PA′2=PD2，即t2﹣8t+80=5t2﹣40t+100，解得．∵0≤t≤4，∴t=4﹣．②当PA′=A′D时，PA′2=A′D2，即t2﹣8t+80=4t2﹣8t+20，解得t=±2．∵0≤t≤4，∴此种情况不成立．③当PD=A'D时，PD2=A'D2，即：5t2﹣40t+100=4t2﹣8t+20，∴t=16±4，∵0≤t≤4，∴t=16﹣4．　第33页（共33页） 2017年2月28日第33页（共33页）