苏科版数学九年级上册月考复习试卷04（含答案）

苏科版数学九年级上册月考复习试卷一、选择题：1．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（　　）A．40°B．50°C．80°D．100°2．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠C的度数为（　　）A．116°B．58°C．42°D．32°3．如图，ABCD为⊙O内接四边形，若∠D=85°，则∠B=（　　）A．85°B．95°C．105°D．115°4．已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（　　）A．15πcm2B．15cm2C．20πcm2D．20cm25．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为7，那么点P与⊙O的位置关系是（　　）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定6．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（　　）第33页（共33页） A．20°B．30°C．40°D．50°7．掷一枚硬币2次，正面都朝上的概率是（　　）A．B．C．D．8．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α的度数是（　　）A．52°B．60°C．72°D．76°二、填空题：9．已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为　　．10．如果圆的半径为6，那么60°的圆心角所对的弧长为　　．11．如图，CD⊥AB于E，若∠B=60°，则∠A=　　度．12．如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠AOD=50°，AD∥OC，则∠BOC=　　度．第33页（共33页） 13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，内切圆⊙O分别切边AC、BC于点D、E，则其内切圆的半径r等于　　．14．正六边形的半径为2，则它的周长为　　．15．从0，1，2这三个数中任取一个数作为点P的横坐标，再从剩下的两个数中任取一个数作为点P的纵坐标，则点P落在双曲线y=上的概率为　　．16．如图，已知点A、B、C的坐标分别为（0，3），（2，1），（2，﹣3），则△ABC的外心坐标是　　．17．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B两点，点C在⊙O上，如果∠ACB=70°，那么∠P的度数是　　．18．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN=20，AC=8，BD=6，则PA+PB的最小值是　　．第33页（共33页） 三、解答题：19．已知：如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，BC，AC分别交⊙O于D、E两点，若=，求证：AB=AC．20．小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，…，8中任意选择一个数字，然后两人各转动一次如图所示的转盘（转盘被分为面积相等的四个扇形），两人转出的数字之和等于谁事先选择的数，谁就获胜；若两人转出的数字之和不等于他们各自选择的数，就在做一次上述游戏，直至决出胜负．若小军事先选择的数是5，用列表或画树状图的方法求他获胜的概率．第33页（共33页） 21．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，延长AB、CD交于点P，连接AD、BC交于点E．∠P=30°，∠ABC=50°，求∠A的度数．22．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（1）请写出该圆弧所在圆的圆心O的坐标　　；（2）⊙O的半径为　　（结果保留根号）；（3）求的长（结果保留π）．23．已知，如图，点B、C、D在⊙O上，四边形OCBD是平行四边形，（1）求证：=；（2）若⊙O的半径为2，求的长．第33页（共33页） 24．一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．（1）求摸出1个球是白球的概率；（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）；（3）现再将n个白球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是白球的概率为．求n的值．25．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且CF是⊙O的切线．（1）求证：DE=DC；（2）若⊙O的半径为5，OE=1，求DE的长．第33页（共33页） 26．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．27．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过B作BF∥DE，交⊙O于点F，过F点作FH∥AC交BC的延长线于点H．（1）求证：DE=DC；（2）求∠BOF的度数；（3）求证：FH与⊙O相切．第33页（共33页） 28．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D．（1）AD与BD相等吗？为什么？（2）若AB=10，AC=6，求CD的长；（3）若P为⊙O上异于A、B、C、D的点，试探究PA、PD、PB之间的数量关系．　第33页（共33页） 参考答案一、选择题：（每题3分，共24分）1．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（　　）A．40°B．50°C．80°D．100°【考点】圆周角定理．【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，由此可得出答案．【解答】解：由题意得∠BOC=2∠A=100°．故选D．　2．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠C的度数为（　　）A．116°B．58°C．42°D．32°【考点】圆周角定理；直角三角形的性质．【分析】由AB是⊙O的直径，推出∠ADB=90°，再由∠ABD=58°，求出∠A=32°，根据圆周角定理推出∠C=32°．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=58°，∴∠A=32°，∴∠C=32°．故选D．第33页（共33页） 　3．如图，ABCD为⊙O内接四边形，若∠D=85°，则∠B=（　　）A．85°B．95°C．105°D．115°【考点】圆内接四边形的性质．【分析】直接根据圆内接四边形的性质进行解答即可．【解答】解：∵ABCD为⊙O内接四边形，∠D=85°，∴∠B=180°﹣∠D=180°﹣85°=95°．故选B．　4．已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（　　）A．15πcm2B．15cm2C．20πcm2D．20cm2【考点】圆锥的计算．【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积=2π×3×5÷2=15π．故选A．　5．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为7，那么点P与⊙O的位置关系是（　　）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：∵OP=7＞5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．故选：C．　第33页（共33页） 6．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（　　）A．20°B．30°C．40°D．50°【考点】切线的性质；圆周角定理．【分析】先连接BC，由于AB是直径，可知∠BCA=90°，而∠A=25°，易求∠CBA，又DC是切线，利用弦切角定理可知∠DCB=∠A=25°，再利用三角形外角性质可求∠D．【解答】解：如右图所示，连接BC，∵AB是直径，∴∠BCA=90°，又∵∠A=25°，∴∠CBA=90°﹣25°=65°，∵DC是切线，∴∠BCD=∠A=25°，∴∠D=∠CBA﹣∠BCD=65°﹣25°=40°．故选C．　7．掷一枚硬币2次，正面都朝上的概率是（　　）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】第33页（共33页） 首先可以利用列举法，求得随机掷一枚均匀的硬币两次所出现的所有等可能的结果，然后利用概率公式直接求解即可．【解答】解：∵随机掷一枚均匀的硬币两次，可能出现的情况为：正正，正反，反正，反反，∴两次都是正面朝上的概率是，故选B．　8．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α的度数是（　　）A．52°B．60°C．72°D．76°【考点】圆周角定理．【分析】根据圆心角是360度，即可求得∠AOB=76°，再根据等腰三角形的性质可求∠α=∠BAO==52°．【解答】解：连接OC，OD，∵∠BAO=∠CBO=∠DCO=∠EDO=α，∵OA=OB=OC，∴∠ABO=∠BCO=α，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=180°﹣2α，∴4∠AOB+∠AOE=360°，∴∠AOB=76°，∴在等腰三角形AOB中，∠α=∠BAO==52°．故选A．第33页（共33页） 　二、填空题：（每题3分，共30分）9．已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为　2　．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】首先求得该圆的半径，再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，进而利用直线与圆相交有两个交点，相切有一个交点，相离没有交点，即可得出答案．【解答】解：根据题意，得该圆的半径是6cm，即大于圆心到直线的距离5cm，则直线和圆相交，故直线l与⊙O的交点个数为2．故答案为：2　10．如果圆的半径为6，那么60°的圆心角所对的弧长为　2π　．【考点】弧长的计算．【分析】直接根据弧长公式进行计算．【解答】解：根据弧长的公式l===2π．　11．如图，CD⊥AB于E，若∠B=60°，则∠A=　30　度．【考点】圆周角定理．第33页（共33页） 【分析】先由直角三角形两锐角互余算出∠C=30°，再由同弧所对的圆周角相等，得∠A=∠C=30°．【解答】解：∵CD⊥AB，∠B=60°∴∠C=30°∴∠A=∠C=30°．　12．如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠AOD=50°，AD∥OC，则∠BOC=　65　度．【考点】圆的认识；平行线的性质．【分析】根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠D=∠A，利用三角形内角和定理可计算出∠A，然后根据平行线的性质即可得到∠BOC的度数．【解答】解：∵OD=OC，∴∠D=∠A，而∠AOD=50°，∴∠A==65°，又∵AD∥OC，∴∠BOC=∠A=65°．故答案为：65．　13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，内切圆⊙O分别切边AC、BC于点D、E，则其内切圆的半径r等于　2　．第33页（共33页） 【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】利用切线的性质，易证得四边形OECD是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CD=（AC+BC﹣AB），由此可求出r的长．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8；根据勾股定理AB==10；四边形OECD中，OE=OD，∠OEC=∠ODC=∠C=90°；∴四边形OECD是正方形；由切线长定理，得：AD=AF，BF=BE，CE=CD；∴CE=CD=（AC+BC﹣AB）；即：r=（6+8﹣10）=2．故答案为：2．　14．正六边形的半径为2，则它的周长为　12　．【考点】正多边形和圆．【分析】由正六边形的半径为2，则OA=OB=2；由∠AOB=60°，得出△AOB是等边三角形，则AB=OA=OB=2，即可得出结果．【解答】解：如图所示：∵正六边形的半径为2，∴OA=0B=2，第33页（共33页） ∴正六边形的中心角∠AOB==60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=OB，∴AB=2，∴正六边形的周长为6×2=12．　15．从0，1，2这三个数中任取一个数作为点P的横坐标，再从剩下的两个数中任取一个数作为点P的纵坐标，则点P落在双曲线y=上的概率为　　．【考点】列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出点P落在双曲线y=上的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表得：0120﹣﹣﹣（0，1）（0，2）1（1，0）﹣﹣﹣（1，2）2（2，0）（2，1）﹣﹣﹣所有等可能的情况有6种，其中落在双曲线y=上的情况有（1，2）和（2，1）共2种，则P==．故答案为．　16．如图，已知点A、B、C的坐标分别为（0，3），（2，1），（2，﹣3），则△ABC的外心坐标是　（﹣2，﹣1）　．第33页（共33页） 【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质．【分析】分别作AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，两线交于E，则E为△ABC的外接圆的圆心，根据图形和A、B、C的坐标即可求出E的坐标．【解答】解：分别作AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，两线交于E，则E为△ABC的外接圆的圆心，如图：∵A（0，3），B（2，1），C（2，﹣3），∴△ABC的外接圆的圆心E的坐标是（﹣2，﹣1），故答案为：（﹣2，﹣1）．　17．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B两点，点C在⊙O上，如果∠ACB=70°，那么∠P的度数是　40°　．【考点】切线的性质；多边形内角与外角；圆周角定理．【分析】连接OA，OB，由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠ACB的度数求出∠第33页（共33页） AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．【解答】解：连接OA，OB，如图所示：∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB都对，且∠ACB=70°，∴∠AOB=2∠ACB=140°，则∠P=360°﹣（90°+90°+140°）=40°．故答案为：40°　18．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN=20，AC=8，BD=6，则PA+PB的最小值是　14　．【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．【分析】先由MN=20求出⊙O的半径，再连接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的长，作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=6，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，在Rt△AB′E中利用勾股定理即可求出AB′的值．【解答】解：∵MN=20，∴⊙O的半径=10，连接OA、OB，第33页（共33页） 在Rt△OBD中，OB=10，BD=6，∴OD===8；同理，在Rt△AOC中，OA=10，AC=8，∴OC===6，∴CD=8+6=14，作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=6，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，在Rt△AB′E中，∵AE=AC+CE=8+6=14，B′E=CD=14，∴AB′===14．故答案为：14．　三、解答题：（19-22每题8分，23-26每题10分，27、28每题12分共96分）19．已知：如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，BC，AC分别交⊙O于D、E两点，若=，求证：AB=AC．【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系．【分析】连接AD，根据圆周角定理可知∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，再根据ASA定理得出△ABD≌△ACD，进而可得出结论．【解答】证明：连接AD，∵AB为圆O的直径，第33页（共33页） ∴∠ADB=∠ADC=90°，∵=，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（ASA）．∴AB=AC．　20．小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，…，8中任意选择一个数字，然后两人各转动一次如图所示的转盘（转盘被分为面积相等的四个扇形），两人转出的数字之和等于谁事先选择的数，谁就获胜；若两人转出的数字之和不等于他们各自选择的数，就在做一次上述游戏，直至决出胜负．若小军事先选择的数是5，用列表或画树状图的方法求他获胜的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两指针所指数字的和为5情况数，即可确定小军胜的概率．【解答】解：列表如下：1234123452345634567第33页（共33页） 45678所有等可能的情况有16种，其中两指针所指数字的和为5的情况有4种，所以小军获胜的概率==．　21．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，延长AB、CD交于点P，连接AD、BC交于点E．∠P=30°，∠ABC=50°，求∠A的度数．【考点】圆周角定理；三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】由∠ABC为△BCP的外角可知∠ABC=∠P+∠C，可求出∠C的度数，由圆周角定理可求知∠A=∠C．【解答】解：∵∠ABC为△BCP的外角∴∠ABC=∠P+∠C∵∠ABC=50°，∠P=30°∴∠C=20°由圆周角定理，得∠A=∠C，∴∠A=20°　22．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（1）请写出该圆弧所在圆的圆心O的坐标　（2，﹣1）　；（2）⊙O的半径为　2　（结果保留根号）；（3）求的长（结果保留π）．【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理；弧长的计算．【分析】第33页（共33页） （1）连接AB，BC，分别作出这两条弦的垂直平分线，两垂直平分线交于点D，即为所求圆心，由图形即可得到D的坐标；（2）由FD=CG，AF=DG，且夹角为直角相等，利用SAS可得出三角形ADF与三角形DCG全等，由全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由同角的余角相等得到∠ADC为直角，利用弧长公式即可求出的长．【解答】解：（1）连接AB，BC，分别作出AB与BC的垂直平分线，交于点D，即为圆心，由图形可得出D（2，﹣1）；（2）在Rt△AED中，AE=2，ED=4，根据勾股定理得：AD==2；（3）∵DF=CG=2，∠AFD=∠DGC=90°，AF=DG=4，∴△AFD≌△DGC（SAS），∴∠ADF=∠DCG，∵∠DCG+∠CDG=90°，∴∠ADF+∠CDG=90°，即∠ADC=90°，则的长l==π．故答案为：（1）（2，﹣1）；（2）2　23．已知，如图，点B、C、D在⊙O上，四边形OCBD是平行四边形，（1）求证：=；（2）若⊙O的半径为2，求的长．【考点】弧长的计算；平行四边形的性质．第33页（共33页） 【分析】（1）连接OB，如图，利用平行四边形的性质得OC=BD，OD=BC，然后利用OC=OD得到BD=BC，然后根据弦、弧和圆心角的关系得到=；（2）先判断△OBD和△OBC为等边三角形，则∠BOC=∠BOD=60°，所以∠COD=120°，然后利用弧长公式计算的长．【解答】（1）证明：连接OB，如图，∵四边形OCBD是平行四边形，∴OC=BD，OD=BC，而OC=OD，∴BD=BC，∴=；（2）解：∵OD=BD=OB=OC=BC=2，∴△OBD和△OBC为等边三角形，∴∠BOC=∠BOD=60°，∴∠COD=120°，∴的长==π．　24．一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．（1）求摸出1个球是白球的概率；（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）；（3）现再将n个白球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是白球的概率为．求n的值．【考点】列表法与树状图法；分式方程的应用．【分析】第33页（共33页） （1）由一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，根据概率公式直接求解即可求得答案；（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率；（3）根据概率公式列方程，解方程即可求得n的值．【解答】解：（1）∵一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，∴摸出1个球是白球的概率为；（2）画树状图、列表得：第二次第一次白红1红2白白，白白，红1白，红2红1红1，白红1，红1红1，红2红2红2，白红2，红1红2，红2∴一共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有4种，∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；（3）由题意得：，解得：n=4．经检验，n=4是所列方程的解，且符合题意，∴n=4．　第33页（共33页） 25．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且CF是⊙O的切线．（1）求证：DE=DC；（2）若⊙O的半径为5，OE=1，求DE的长．【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质以及直角三角形的两锐角互余，和等腰三角形的性质证得∠DEC=∠ACD，根据等角对等边即可证得；（2）作DF⊥EC于点F，根据△AOC∽△ACB，相似三角形的对应边的比相等求得AC的长，则EF即可求得，然后根据△AOE∽△DFE，利用相似三角形的对应边的比相等求得．【解答】（1）证明：连接OC．∵CF是切线，∴∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，∵OD⊥AB于点O，∴∠A+∠AEO=90°，又∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠AEO=∠ACD，∵∠DEC=∠AEC，∴∠DEC=∠ACD，∴DE=DC；（2）作DF⊥EC于点F．在直角△AOE中，AE===．∵AB是圆的直径，第33页（共33页） ∴∠ACB=90°，∴∠AOE=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△AOE∽△ACB，∴=，即=，∴BC=．∴在直角△ABC中，AC===．则EC=AC﹣AE=．∵DE=DC，DF⊥EC，∴EF=EC=．∵∠AEO=∠DEF，∠AOE=∠EFD=90°，∴△AOE∽△DFE，∴=，即=，∴DE=•=．　26．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；第33页（共33页） （2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．【考点】扇形面积的计算；等腰三角形的性质；切线的判定；特殊角的三角函数值．【分析】（1）连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．【解答】（1）证明：连接OC．∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°．∵OA=OC，∴∠2=∠A=30°．∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠A=30°，∴∠1=2∠A=60°．∴S扇形BOC=．在Rt△OCD中，∵，∴．∴．∴图中阴影部分的面积为：．　27．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，以AB为直径的⊙第33页（共33页） O交BC于点D，交AC于点E，过B作BF∥DE，交⊙O于点F，过F点作FH∥AC交BC的延长线于点H．（1）求证：DE=DC；（2）求∠BOF的度数；（3）求证：FH与⊙O相切．【考点】切线的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．【分析】（1）由AB=AC知∠ABC=∠ACB，而∠DEC=∠ABC，即可得答案；（2）由∠BAC=45°得∠ABC=∠ACB=67.5°，在△DEC中，由DE=DC知∠EDC=45°，再由BF∥DE得∠FBC=∠EDC=45°，从而得出∠OBF度数，最后根据OB=OF可得；（3）由（2）知∠FBH及∠OFB的度数，根据FH∥AC可得∠H的度数，再△BFH中可得∠BFH度数，继而知∠OFH=90°，即可得证．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠DEC=∠ABC，∴∠DEC=∠C，∴DE=DC；（2）∵∠BAC=45°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∵DE=DC，∴∠EDC=45°，∵BF∥DE，∴∠FBC=∠EDC=45°，∴∠OBF=∠ABC﹣∠FBC=22.5°，第33页（共33页） 又∵OB=OF，∴∠BOF=135°；（3）∵FH∥AC，∴∠H=∠ACB=67.5°，又∵∠FBC=45°，∴∠BFH=67.5°，∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB=22.5°，∴∠OFH=∠OFB+∠BFH=90°，即OF⊥FH，且OF为⊙O的半径，∴FH与⊙O相切．　28．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D．（1）AD与BD相等吗？为什么？（2）若AB=10，AC=6，求CD的长；（3）若P为⊙O上异于A、B、C、D的点，试探究PA、PD、PB之间的数量关系．【考点】圆的综合题．【分析】（1）结论：AD=BD．只要证明=即可．（2）如图2中，作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），推出AF=BG，由Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），推出CF=CG，由△CDF是等腰直角三角形，得CD=CF，求出CF即可解决问题．（3）分三种情形讨论①如图3中，当点P在上时，结论：PA+PB=PD．②第33页（共33页） 如图4中，当点P在上时，结论：PA﹣PB=PD．③如图5中，当点P在上时，结论：PB﹣PA=PD．【解答】解：（1）结论：AD=BD．理由：如图1中，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD∴DF=DG，=，∴DA=DB．（2）如图2中，作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．∵∠AFD=∠BGD=90°，在Rt△ADF和Rt△BDG，，∴Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），∴AF=BG．同理：Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），第33页（共33页） ∴CF=CG．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AC=6，AB=10，∴BC==8，∴6+AF=8﹣AF，∴AF=1，∴CF=7，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=45°，∵△CDF是等腰直角三角形，∴CD=CF=7．（3）①如图3中，当点P在上时，结论：PA+PB=PD．理由：将△PDB绕点D逆时针旋转90°得到△FAD，∵∠PAB+∠PBD=180°，∠FAD=∠PBD，∴∠FAD+∠PAD=180°，∴P、A、F共线，∵∠F=∠DPB=∠BAD=45°，∴△PDF是等腰直角三角形，∴PF=PD，∵PB=AF，∴PF=PA+AF=PA+PB=PD．，∴PA+PB=PD．第33页（共33页） ②如图4中，当点P在上时，结论：PA﹣PB=PD．理由：在AP上取一点F，使得AF=PB，在△FAD和△PBD中，，∴△FAD≌△PBD，∴DF=DP，∠ADF=∠BDP，∠FDP=∠ADB=90°，∴△FDP是等腰直角三角形，∴PF=PD，∴PA﹣PB=PA﹣AF=PF=PD，∴PA﹣PB=PD．③如图5中，当点P在上时，结论：PB﹣PA=PD．（证明方法类似②）．　第33页（共33页） 2017年2月25日第33页（共33页）