苏科版数学九年级上册月考模拟试卷11（含答案）

苏科版数学九年级上册月考模拟试卷一、填空题1．若关于x的一元二次方程x2﹣ax+a+1=0有一个根为0，则a=　　．2．把方程3x2=5x+2化为一元二次方程的一般形式是　　．3．已知一元二次方程x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根，则实数c=　　．4．设一元二次方程x2﹣5x+2=0的两个实数根分别为x1和x2，则x12x2+x1x22=　　．5．已知四条线段满足a=，将它改写成为比例式为　　（写出你认为正确的一个）．6．如图，在6×6的正方形网格中，连结两格点A，B，线段AB与网格线的交点为M、N，则AM：MN：NB为　　．7．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为　　．8．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是　　．第30页（共30页） 9．从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中抽取一个数，作为函数y=（5﹣m2）x和关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+1=0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是　　．10．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为　　．11．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是　　．（写出所有正确说法的序号）．①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程；②若方程x2﹣px+2=0是倍根方程，则p=3；③若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则（4m+n）（m+n）=0；④若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程．12．设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则Sn可表示为　　．（用含n的代数式表示，其中n为正整数）第30页（共30页） 二、选择题13．已知0和﹣1都是某个方程的解，此方程是（　　）A．x2﹣1=0B．x（x+1）=0C．x2﹣x=0D．x2=x+114．已知一元二次方程x2+4x﹣3=0，下列配方正确的是（　　）A．（x+2）2=3B．（x﹣2）2=3C．（x+2）2=7D．（x﹣2）2=715．下列关于x的方程中一定有实数根的是（　　）A．x2﹣x+2=0B．x2+x﹣2=0C．x2+x+2=0D．x2+1=016．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=50cm，EF=25cm，测得边DF离地面的高度AC=1.6m，CD=10m，则树高AB=（　　）m．A．4mB．5mC．6.6mD．7.7m17．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有实数根，则k的取值范围是（　　）A．k＞B．k≥C．k＞且k≠1D．k≥且k≠118．如图，一个斜边长为10cm的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（　　）A．60cm2B．50cm2C．40cm2D．30cm2三、解答题19．解方程：（1）（x﹣2）2﹣4=0（2）x2﹣4x﹣3=0第30页（共30页） （3）2x2﹣4x﹣1=0（配方法）（4）（x+1）2=6x+6．20．已知：关于x的方程x2﹣6x+m﹣5=0的一个根是﹣1，求m值及另一根．21．已知关于x的方程a2x2+（2a﹣1）x+1=0有两个实数根x1，x2．（1）当a为何值时，x1≠x2；（2）是否存在实数a，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．22．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）若点C和坐标为（2，4），则点A′的坐标为（　　，　　第30页（共30页） ），点C′的坐标为（　　，　　），S△A′B′C′：S△ABC=　　．23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB中点．（1）求证：AC2=AB•AD；（2）若AD=4，AB=6，求的值．第30页（共30页） 24．某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．25．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0（1）试判断上述方程根的情况．（2）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于上述方程的两个实数根，BC的长为5．①当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？②当k为何值时，△ABC是等腰三角形？请求出此时△ABC的周长．第30页（共30页） 27．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．（1）连接EF，若运动时间t=秒时，求证：△EQF是等腰直角三角形；（2）连接EP，设△EPC的面积为Scm2，求S与t的关系式，并求当S的值为3cm2时t的值；（3）若△EPQ与△ADC相似，求t的值．　第30页（共30页） 参考答案一、填空题（本题共有12小题，每小题2分，共24分．）1．若关于x的一元二次方程x2﹣ax+a+1=0有一个根为0，则a=　﹣1　．【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=0代入方程x2﹣ax+a+1=0，列出关于a的新方程，通过解该方程可以求得a的值．【解答】解：把x=0代入方程得到：a+1=0，解得：a=﹣1．故答案为﹣1．　2．把方程3x2=5x+2化为一元二次方程的一般形式是　3x2﹣5x﹣2=0　．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），据此即可求解．【解答】解：一元二次方程3x2=5x+2的一般形式是3x2﹣5x﹣2=0．故答案为：3x2﹣5x﹣2=0．　3．已知一元二次方程x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根，则实数c=　4　．【考点】根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣4）2﹣4×1×c=0，然后解方程即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣4）2﹣4×1×c=0，解得c=4．故答案为4．　4．设一元二次方程x2﹣5x+2=0的两个实数根分别为x1和x2，则x12x2+x1x22=　10　．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=5，x1•x2=2，再把x12x2+x1x22变形为x1•x2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算．第30页（共30页） 【解答】解：根据题意得x1+x2=5，x1•x2=2，所以原式=x1•x2（x1+x2）=2×5=10．故答案为：10．　5．已知四条线段满足a=，将它改写成为比例式为　=　（写出你认为正确的一个）．【考点】比例线段．【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．【解答】解：∵四条线段满足a=，∴ab=cd，∴=．故答案为：=．　6．如图，在6×6的正方形网格中，连结两格点A，B，线段AB与网格线的交点为M、N，则AM：MN：NB为　1：3：2　．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出即可．【解答】解：∵=，=，∴AM：MN：NB=1：3：2，故答案为：1：3：2；　第30页（共30页） 7．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为　2　．【考点】位似变换．【分析】直接利用位似图形的性质得出A1B1=AB，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，C1为OC的中点，AB=4，∴A1B1=AB=2．故答案为：2．　8．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是　或2　．【考点】相似三角形的性质．【分析】由于折叠前后的图形不变，要考虑△B′FC与△ABC相似时的对应情况，分两种情况讨论．【解答】解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应关系，有两种情况：①△B′FC∽△ABC时，=，又∵AB=AC=3，BC=4，B′F=BF，第30页（共30页） ∴=，解得BF=；②△B′CF∽△BCA时，=，AB=AC=3，BC=4，B′F=CF，BF=B′F，而BF+FC=4，即2BF=4，解得BF=2．故BF的长度是或2．故答案为：或2．　9．从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中抽取一个数，作为函数y=（5﹣m2）x和关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+1=0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是　﹣2　．【考点】一次函数图象与系数的关系；根的判别式．【分析】确定使函数的图象经过第一、三象限的m的值，然后确定使方程有实数根的m值，找到同时满足两个条件的m的值即可．【解答】解：∵函数y=（5﹣m2）x的图象经过第一、三象限，∴5﹣m2＞0，解得：﹣＜m＜，∵关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+1=0有实数根，∴m2﹣4（m+1）≥0，∴m≥2+2或m≤2﹣2，∴使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根的m的值有为﹣1，﹣2，∵是关于x的一元二次方程，∴m+1不等于0，即m不等于﹣1，∴m的值为﹣2，故答案为：﹣2．　10．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2第30页（共30页） 之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为　　．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；勾股定理．【分析】过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，在Rt△ABC中运用三角函数可得=，易证△AEB∽△BFC，运用相似三角形的性质可求出FC，然后在Rt△BFC中运用勾股定理可求出BC，再在Rt△ABC中运用三角函数就可求出AC的值．【解答】解：如图，过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，如图．∵∠BAC=60°，∠ABC=90°，∴tan∠BAC==．∵直线l1∥l2∥l3，∴EF⊥l1，EF⊥l3，∴∠AEB=∠BFC=90°．∵∠ABC=90°，∴∠EAB=90°﹣∠ABE=∠FBC，∴△BFC∽△AEB，∴==．∵EB=1，∴FC=．在Rt△BFC中，BC===．在Rt△ABC中，sin∠BAC==，AC===．故答案为．第30页（共30页） 　11．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是　③④　．（写出所有正确说法的序号）．①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程；②若方程x2﹣px+2=0是倍根方程，则p=3；③若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则（4m+n）（m+n）=0；④若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；根的判别式．【分析】①解得方程后即可利用倍根方程的定义进行判断；②直接利用定义得出（2x）2﹣2px+2=0，进而求出x的值，即可得出答案；③根据（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣得到=﹣1，或=﹣4，从而得到m+n=0，4m+n=0，进而得到（4m+n）（m+n）=0正确；④根据点（p，q）在反比例函数y=的图象上得到pq=2，然后解方程px2+3x+q=0即可得到正确的结论．【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2=0得：x1=2，x2=﹣1，∴方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错误；②∵方程x2﹣px+2=0是倍根方程，∴（2x）2﹣2px+2=0，整理得：2x2﹣px+1=0，则x2﹣px+2﹣（2x2﹣px+1）=0，整理得：﹣x2+1=0，第30页（共30页） 解得：x=±1，当x=1，则p=3，当x=﹣1，p=﹣3，故此选项错误；③∵（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣，∴=﹣1，或=﹣4，∴m+n=0，4m+n=0，∵4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0，故②正确；④∵点（p，q）在反比例函数y=的图象上，∴pq=2，解方程px2+3x+q=0得：x1=﹣，x2=﹣，∴x2=2x1，故③正确；故答案为：③④．　12．设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则Sn可表示为　　．（用含n的代数式表示，其中n为正整数）【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】连接D1E1，设AD1、BE1交于点M，先求出S△ABE1=，再根据==得出S△ABM：S△ABE1=（n+1）：（2n+1），最后根据S△ABM：第30页（共30页） =（n+1）：（2n+1），即可求出Sn．【解答】解：如图，连接D1E1，设AD1、BE1交于点M，∵AE1：AC=1：（n+1），∴S△ABE1：S△ABC=1：（n+1），∴S△ABE1=，∵==，∴=，∴S△ABM：S△ABE1=（n+1）：（2n+1），∴S△ABM：=（n+1）：（2n+1），∴Sn=．故答案为：．　二、选择题（本题共有6小题，每小题3分，共18分．）13．已知0和﹣1都是某个方程的解，此方程是（　　）A．x2﹣1=0B．x（x+1）=0C．x2﹣x=0D．x2=x+1【考点】一元二次方程的解．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．【解答】解：把0和﹣1分别代入上面的方程，符合条件的是x（x+1）=0，故选B．　14．已知一元二次方程x2+4x﹣3=0，下列配方正确的是（　　）A．（x+2）2=3B．（x﹣2）2=3C．（x+2）2=7D．（x﹣2）2=7第30页（共30页） 【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】方程常数项移到右边，两边加上4配方得到结果，即可做出判断．【解答】解：方程移项得：x2+4x=3，配方得：x2+4x+4=7，即（x+2）2=7，故选C．　15．下列关于x的方程中一定有实数根的是（　　）A．x2﹣x+2=0B．x2+x﹣2=0C．x2+x+2=0D．x2+1=0【考点】根的判别式．【分析】根据根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以判断下列方程有无实数解．【解答】解：A、△=1﹣8=﹣7＜0，所以没有实数解，故本选项错误；B、△=1+8=9＞0，所以有实数解，故本选项正确；C、△=1﹣8=﹣7＜0，原方程没有实数解；故本选项错误；D、△=0﹣4=﹣4＜0，原方程有实数解，故本选项正确．故选B．　16．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=50cm，EF=25cm，测得边DF离地面的高度AC=1.6m，CD=10m，则树高AB=（　　）m．A．4mB．5mC．6.6mD．7.7m【考点】相似三角形的应用．【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．第30页（共30页） 【解答】解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D∴△DEF∽△DCB∴=，∵DE=50cm=0.5m，EF=25cm=0.25m，AC=1.6m，CD=10m，∴=，∴BC=5米，∴AB=AC+BC=1.6+5=6.6米．故选C．　17．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有实数根，则k的取值范围是（　　）A．k＞B．k≥C．k＞且k≠1D．k≥且k≠1【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义可得4﹣4（k﹣1）（﹣2）=8k﹣4≥0且k≠1，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有实数根，∴△≥0且k≠1，∴△=4﹣4（k﹣1）（﹣2）=8k﹣4≥0且k≠1，∴k≥且k≠1，故选：D．　18．如图，一个斜边长为10cm的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（　　）A．60cm2B．50cm2C．40cm2D．30cm2第30页（共30页） 【考点】相似三角形的应用．【分析】标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠AED，然后求出△ADE和△EFB相似，根据相似三角形对应边成比例求出=，即=，设BF=3a，表示出EF=5a，再表示出BC、AC，利用勾股定理列出方程求出a的值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解．【解答】解：如图，∵正方形的边DE∥CF，∴∠B=∠AED，∵∠ADE=∠EFB=90°，∴△ADE∽△EFB，∴===，∴=，设BF=3a，则EF=5a，∴BC=3a+5a=8a，AC=8a×=a，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即（a）2+（8a）2=（10+6）2，解得a2=，红、蓝两张纸片的面积之和=×a×8a﹣（5a）2，=a2﹣25a2，=a2，=×，=30cm2．故选D．第30页（共30页） 　三、解答题（本大题共有10小题，共78分）19．解方程：（1）（x﹣2）2﹣4=0（2）x2﹣4x﹣3=0（3）2x2﹣4x﹣1=0（配方法）（4）（x+1）2=6x+6．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）直接开平方法可得；（2）公式法求解可得；（3）配方法求解可得；（4）因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵（x﹣2）2=4，∴x﹣2=±2，即x=2±2，则x1=4，x2=0；（2）∵a=1，b=﹣4，c=﹣3，∴△=16﹣4×1×（﹣3）=28＞0，则x==2，即x1=+2，x2=﹣+2；（3）∵2x2﹣4x=1，∴x2﹣2x=，第30页（共30页） ∴x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，则x﹣1=，x=1±，∴x1=+1，x2=﹣+1；（4）∵（x+1）2﹣6（x+1）=0，∴（x+1）（x﹣5）=0，∴x+1=0或x﹣5=0，解得：x=﹣1或x=5．　20．已知：关于x的方程x2﹣6x+m﹣5=0的一个根是﹣1，求m值及另一根．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【分析】设方程的另一个根为n，根据根与系数的关系即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出m、n的值，此题得解．【解答】解：设方程的另一个根为n，∵方程x2﹣6x+m﹣5=0的两个根为﹣1和n，∴，解的：．∴m的值为﹣2，方程的另一根是7．　21．已知关于x的方程a2x2+（2a﹣1）x+1=0有两个实数根x1，x2．（1）当a为何值时，x1≠x2；（2）是否存在实数a，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式结合二次项系数非0即可得出关于a的一元二次不等式，解不等式即可得出a的取值范围；第30页（共30页） （2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣，结合方程的两个实数根互为相反数即可得出关于a的分式方程，解方程经检验后即可得出a值，结合（1）的结论即可得出不存在a的值使方程的两个实数根x1与x2互为相反数．【解答】解：（1）∵方程a2x2+（2a﹣1）x+1=0有两个实数根x1，x2，且x1≠x2，∴，解得：a＜且a≠0，∴当a＜且a≠0时，方程有两个不相等的实数根．（2）不存在，理由如下：∵方程的两个实数根x1，x2互为相反数，∴x1+x2=﹣=0，解得：a=，经检验，a=是方程﹣=0的根．由①知：a≤且a≠0时，方程才有两个实数根，∵＞，∴不存在a的值使方程的两个实数根x1与x2互为相反数．　22．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）若点C和坐标为（2，4），则点A′的坐标为（　﹣1　，　0　），点C′的坐标为（　1　，　2　），S△A′B′C′：S△ABC=　1：4　．第30页（共30页） 【考点】作图-位似变换．【分析】（1）利用△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2，进而将对应点坐标乘以得出即可；（2）利用所画图形得出对应点坐标进而利用相似三角形的性质得出面积比．【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；（2）A′（﹣1，0），C′（1，2），S△A′B′C′：S△ABC=1：4．故答案为：﹣1，0；1，2；1：4．　23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB中点．（1）求证：AC2=AB•AD；（2）若AD=4，AB=6，求的值．第30页（共30页） 【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；（2）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）解：∵∠ACB=90°，E为AB中点，∴AE=CE，∴∠CAE=∠ECA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠EAC，∴∠DAC=∠ACE，∴CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，第30页（共30页） ∴=．　24．某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，进而利用相似三角形的性质得出AB的长．【解答】解：由题意可得：∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°，∠ACB=∠ECD，∠AFB=∠GHF，故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，则=，=，即=，=，第30页（共30页） 解得：AB=99，答：“望月阁”的高AB的长度为99m．　25．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）每件的利润为6+2（x﹣1），生产件数为95﹣5（x﹣1），则y=[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]；（2）由题意可令y=1120，求出x的实际值即可．【解答】解：（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件．∴第x档次，提高的档次是x﹣1档．∴y=[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]，即y=﹣10x2+180x+400（其中x是正整数，且1≤x≤10）；（2）由题意可得：﹣10x2+180x+400=1120整理得：x2﹣18x+72=0解得：x1=6，x2=12（舍去）．答：该产品的质量档次为第6档．　26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0第30页（共30页） （1）试判断上述方程根的情况．（2）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于上述方程的两个实数根，BC的长为5．①当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？②当k为何值时，△ABC是等腰三角形？请求出此时△ABC的周长．【考点】根的判别式；解一元二次方程-因式分解法；等腰三角形的判定．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=1＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根；（2）利用分解因式法可求出x1=k+1，x2=k+2．①不妨设AB=k+1，AC=k+2，根据BC=5利用勾股定理即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值；②根据（1）结论可得出AB≠AC，由此可找出△ABC是等腰三角形分两种情况，分AB=BC、AC=BC两种情况考虑，根据两边相等找出关于k的一元一次方程，解方程求出k值，进而可得出三角形的三边长，再根据三角形的周长公式即可得出结论．【解答】解：（1）∵在方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0中，△=b2﹣4ac=[﹣（2k+3）]2﹣4（k2+3k+2）=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣2）=0，∴x1=k+1，x2=k+2．①不妨设AB=k+1，AC=k+2，∴斜边BC=5时，有AB2+AC2=BC2，即（k+1）2+（k+2）2=25，解得：k1=2，k2=﹣5（舍去）．∴当k=2时，△ABC是直角三角形②∵AB=k+1，AC=k+2，BC=5，由（1）知AB≠AC，故有两种情况：（Ⅰ）当AC=BC=5时，k+2=5，∴k=3，AB=3+1=4，∵4、5、5满足任意两边之和大于第三边，∴此时△ABC的周长为4+5+5=14；第30页（共30页） （II）当AB=BC=5时，k+1=5，∴k=4，AC=k+2=6，∵6、5、5满足任意两边之和大于第三边，∴此时△ABC的周长为6+5+5=16．综上可知：当k=3时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为14；当k=4时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为16．　27．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．（1）连接EF，若运动时间t=秒时，求证：△EQF是等腰直角三角形；（2）连接EP，设△EPC的面积为Scm2，求S与t的关系式，并求当S的值为3cm2时t的值；（3）若△EPQ与△ADC相似，求t的值．【考点】相似形综合题．【分析】（1）通过计算发现EQ=FQ=6，由此即可证明；（2）构建二次函数，解方程即可得到结论；（3）分两种情形讨论，Ⅰ、如图1中，点E在Q的左侧．①当△EPQ∽△ACD时，②当△EPQ∽△CAD时，列出方程分别求解即可．Ⅱ、如图2中，点E在Q的右侧，只存在△EPQ∽△CAD列出方程即可解决．【解答】（1）证明：若运动时间t=秒，则BE=2×=（cm），DF=（cm），∵四边形ABCD是矩形第30页（共30页） ∴AD=BC=8（cm），AB=DC=6（cm），∠D=∠BCD=90°∵∠D=∠FQC=∠QCD=90°，∴四边形CDFQ也是矩形，∴CQ=DF，CD=QF=6（cm），∴EQ=BC﹣BE﹣CQ=8﹣﹣=6（cm），∴EQ=QF=6（cm），又∵FQ⊥BC，∴△EQF是等腰直角三角形，（2）解：∵∠FQC=90°，∠B=90°，∴∠FQC=∠B，∴PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴=，即=，∴PQ=t，∵S△EPC=•EC•PQ，∴S=（8﹣2t）•t=﹣t2+3t当S=3时，﹣t2+3t=3，解之得：t1=t2=2∴当S=3时t的值为2（3）解：分两种情况讨论：Ⅰ．如图1中，点E在Q的左侧．①当△EPQ∽△ACD时，可得，即=，解得t=2．②当△EPQ∽△CAD时，可得=，即=，解得t=．第30页（共30页） Ⅱ．如图2中，点E在Q的右侧．∵0＜t＜4，∴点E不能与点C重合，∴只存在△EPQ∽△CAD可得=，即=，解得t=，故若△EPQ与△ADC相似，则t的值为2或或．　第30页（共30页） 2017年2月19日第30页（共30页）