苏科版数学八年级上册月考模拟试卷03（含答案）

苏科版数学八年级上册月考模拟试卷一、细心选一选1．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1+x2的值是（　　）A．2B．﹣2C．3D．﹣32．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（　　）A．（x+4）2=17B．（x+4）2=15C．（x﹣4）2=17D．（x﹣4）2=153．如图，无法保证△ADE与△ABC相似的条件是（　　）A．∠1=∠CB．∠A=∠CC．∠2=∠BD．4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）A．B．C．D．5．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（　　）A．﹣2B．4C．4或﹣2D．﹣4或26．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（　　）A．14B．12C．12或14D．以上都不对7．若=，则的值为（　　）A．1B．C．D．8．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是（　　）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＞﹣1且k≠0第30页（共30页） 9．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（　　）A．B．C．D．10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0．其中a+c≠0，以下列四个结论中，错误的是（　　）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1二、精心填一填11．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是　　．12．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=　　．13．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是　　，m的值是　　．14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC=　　．15．已知线段AB=10，点C是线段AB上的黄金分割点（AC＞BC），则AC长是　　（精确到0.01）．16．若代数式的值等于0，则x=　　．17．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则=　　．第30页（共30页） 18．如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为　　．三、解答题19．解方程（1）2（x+1）2=8（2）x2+2x+1=8（配方法）（3）2x2﹣3x﹣1=0（公式法）（4）64（3y﹣2）2=9（2y﹣3）2（5）（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4=0．第30页（共30页） 20．2013年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元．（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）21．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=（1）求证：△ADC∽△CDB；（2）求∠ACB的大小．第30页（共30页） 22．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？23．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？24．如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，OA、OB（OA＜0B）的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根，C（0，3），且△ABC的面积为6，求∠ABC的度数．第30页（共30页） 25．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．26．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）第30页（共30页） 27．如图，直线AB分别与两坐标轴交于点A（4，0），B（0，8），点C的坐标为（2，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）在线段AB上有一动点P．①过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为点E，F，若矩形OEPF的面积为6，求点P的坐标．②连结CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．28．【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．【初步体验】（1）如图1，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，DE∥FC∥BC．若AD=2，AE=1，DF=6，则EG=　　，=　　．（2）如图2，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，且DE∥BC∥FG．以AD、DF、FB为边构造△ADM（即AM=BF，MD=DF）；以AE、EG、GC为边构造△AEN（即AN=GC，NE=EG）．求证：∠M=∠N．【深入探究】上述基本事实启发我们可以用“平行线分线段成比例”解决下列问题：（3）如图3，已知△ABC和线段a，请用直尺与圆规作△A′B′C′．满足：①△A′B′C′∽△ABC；②△A′B′C′的周长等于线段a的长度．（保留作图痕迹，并写出作图步骤）第30页（共30页） 　第30页（共30页） 参考答案一、细心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1+x2的值是（　　）A．2B．﹣2C．3D．﹣3【考点】AB：根与系数的关系．【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=﹣可以直接求得x1+x2的值．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的一次项系数是a=1，二次项系数b=2，∴由韦达定理，得x1+x2=2．故选A．　2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（　　）A．（x+4）2=17B．（x+4）2=15C．（x﹣4）2=17D．（x﹣4）2=15【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．【分析】常数项移到方程的右边，再在两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．【解答】解：∵x2﹣8x=1，∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，故选：C．　3．如图，无法保证△ADE与△ABC相似的条件是（　　）A．∠1=∠CB．∠A=∠CC．∠2=∠BD．【考点】S8：相似三角形的判定．第30页（共30页） 【分析】本题中已知∠A是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．【解答】解：由图得：∠A=∠A，∴当∠B=∠2或∠C=∠1或AE：AB=AD：AC时，△ABC与△ADE相似；也可AE：AD=AC：AB．B选项中∠A和∠C不是成比例的两边的夹角．故选：B．　4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）A．B．C．D．【考点】S8：相似三角形的判定．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB==，AC=，BC=2，∴AC：BC：AB=：2：=1：：，A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选C．　5．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（　　）A．﹣2B．4C．4或﹣2D．﹣4或2【考点】A9：换元法解一元二次方程．【分析】设y=a2﹣b2第30页（共30页） ，原式化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即为a2﹣b2的值．【解答】解：设y=a2﹣b2，原式化为y2﹣2y﹣8=0，即（y﹣4）（y+2）=0，可得y﹣4=0或y+2=0，解得：y1=4，y2=﹣2，∴a2﹣b2=4或﹣2．故选C．　6．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（　　）A．14B．12C．12或14D．以上都不对【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系．【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．【解答】解：解方程x2﹣12x+35=0得：x=5或x=7．当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．　7．若=，则的值为（　　）A．1B．C．D．【考点】S1：比例的性质．【分析】根据合分比性质求解．【解答】解：∵=，∴==．故选D．　8．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是（　　）第30页（共30页） A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＞﹣1且k≠0【考点】AA：根的判别式．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=22﹣4k×（﹣1）＞0，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k≠0且△=22﹣4k×（﹣1）＞0，所以k＞﹣1且k≠0．故选D．　9．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（　　）A．B．C．D．【考点】S9：相似三角形的判定与性质．【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得=，=，从而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．【解答】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴=，=，∴+=+==1．∵AB=1，CD=3，∴+=1，第30页（共30页） ∴EF=．故选C．　10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0．其中a+c≠0，以下列四个结论中，错误的是（　　）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1【考点】AA：根的判别式．【分析】求出方程M：ax2+bx+c=0的判别式△1=b2﹣4ac，方程N：cx2+bx+a=0的判别式△2=b2﹣4ac，再根据判别式的意义、根与系数的关系以及方程的解的意义求解即可．【解答】解：A、如果方程M有两个不相等的实数根，那么△1=b2﹣4ac＞0，所以△2=b2﹣4ac＞0，所以方程N也有两个不相等的实数，结论正确，故本选项不符合题意；B、如果方程M有两根符号相同，那么两根之积＞0，所以＞0，即方程N的两根之积＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，故本选项不符合题意；C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，所以a+b+c=0，所以是方程N的一个根，结论正确，故本选项不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，整理得（a﹣c）x2=a﹣c，当a=c时，x为任意数；当a≠c时，x=±1．结论错误，故本选项符合题意；故选D．　二、精心填一填（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需要解答过程）11．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是　4：9　．【考点】S7：相似三角形的性质．第30页（共30页） 【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比是4：9．故答案为：4：9．　12．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=　3　．【考点】S1：比例的性质．【分析】根据等比性质，可得答案．【解答】解：由等比性质，得k===3，故答案为：3．　13．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是　3　，m的值是　﹣4　．【考点】AB：根与系数的关系；A3：一元二次方程的解．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两根的和是﹣m，两个根的积是3，即可求解．【解答】解：设方程的另一个解是a，则1+a=﹣m，1×a=3，解得：m=﹣4，a=3．故答案是：3，﹣4．　14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC=　1：2　．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．第30页（共30页） 【分析】利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，进而得出△DEF∽△DCF，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEF∽△DCF，∴，∵点E是边AD的中点，∴DE=AE=AD=BC，∴．故答案为：1：2．　15．已知线段AB=10，点C是线段AB上的黄金分割点（AC＞BC），则AC长是　6.18　（精确到0.01）．【考点】S3：黄金分割．【分析】根据黄金分割点的定义，知AC为较长线段；则AC=AB，代入数据即可得出AC的值．【解答】解：由于C为线段AB=10的黄金分割点，且AC＞BC，AC为较长线段；则AC=10×=5（﹣1）≈6.18．故答案为6.18．　16．若代数式的值等于0，则x=　2　．【考点】63：分式的值为零的条件．【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．【解答】解：由分式的值为零的条件得x2﹣5x+6=0，2x﹣6≠0，由x2﹣5x+6=0，得x=2或x=3，由2x﹣6≠0，得x≠3，第30页（共30页） ∴x=2，故答案为2．　17．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则=　2　．【考点】K5：三角形的重心；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍列式进行计算即可求解．【解答】证明：∵△ABC的中线BD、CE相交于点O，∴点O是△ABC的重心，∴=2．故答案为：2．　18．如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为　（，）　．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．第30页（共30页） 【分析】首先设点D的坐标是（m，），点E的坐标是（n，），应用待定系数法求出直线AB的解析式是多少；然后根据△BDE∽△BCA，可得∠BDE=∠BCA=90°，推得直线y=x与直线DE垂直，再根据点D、E关于直线y=x对称，推得mn=3；最后根据点D在直线AB上，求出点n的值是多少，即可判断出点E的坐标是多少．【解答】解：如图1，∵点D、E是反比例函数y=（x＞0）的图象上的点，∴设点D的坐标是（m，），点E的坐标是（n，），又∵∠BCA=90°，AC=BC=2，∴C（n，0），B（n，2），A（n﹣2，0），设直线AB的解析式是：y=ax+b，则解得∴直线AB的解析式是：y=x+2﹣n．又∵△BDE∽△BCA，∴∠BDE=∠BCA=90°，∴直线y=x与直线DE垂直，∴点D、E关于直线y=x对称，∴=，∴mn=3，或m+n=0（舍去），第30页（共30页） 又∵点D在直线AB上，∴=m+2﹣n，mn=3，整理，可得2n2﹣2n﹣3=0，解得n=或n=﹣（舍去），∴点E的坐标是（，）．故答案为：（，）．　三、解答题（本大题共10题，共84分）19．解方程（1）2（x+1）2=8（2）x2+2x+1=8（配方法）（3）2x2﹣3x﹣1=0（公式法）（4）64（3y﹣2）2=9（2y﹣3）2（5）（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4=0．【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；A5：解一元二次方程﹣直接开平方法；A6：解一元二次方程﹣配方法；A7：解一元二次方程﹣公式法．【分析】（1）方程两边同除以2，然后直接开平方即可解答本题；（2）利用配方法进行解答即可；（3）利用公式法进行解答即可；（4）移项利用平方差公式进行解答即可；（5）利用完全平方公式进行解答．【解答】解：（1）2（x+1）2=8，（x+1）2=4，x+1=±2，x=﹣1±2，∴x1=1，x2=﹣3；（2）x2+2x+1=8，第30页（共30页） （x+1）2=8，，x=，∴；（3）2x2﹣3x﹣1=0，a=2，b=﹣3，c=﹣1，△=（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）=17＞0，，∴；（4）64（3y﹣2）2=9（2y﹣3）264（3y﹣2）2﹣9（2y﹣3）2=0，[8（3y﹣2）+3（2y﹣3）][8（3y﹣2）﹣3（2y﹣3）]=0，（30y﹣25）（18y﹣7）=0，解得，；（5）（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4=0，[（x﹣1）﹣2]2=0，（x﹣3）2=0，∴x﹣3=0，得x1=x2=3．　20．2013年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元．（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）【考点】AD：一元二次方程的应用．第30页（共30页） 【分析】（1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）如果下调的百分率相同，求出2016年的房价，进而确定出100平方米的总房款，即可做出判断．【解答】解：（1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意得：6500（1﹣x）2=5265，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去），则平均每年下调的百分率为10%；（2）如果下调的百分率相同，2016年的房价为5265×（1﹣10%）=4738.5（元/米2），则100平方米的住房总房款为100×4738.5=473850=47.385（万元），∵20+30＞47.385，∴张强的愿望可以实现．　21．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=（1）求证：△ADC∽△CDB；（2）求∠ACB的大小．【考点】S9：相似三角形的判定与性质．【分析】（1）利用垂直的定义得到一对直角相等，再由已知边成比例，利用两边成比例且夹角相等的三角形相似即可得证；（2）利用相似三角形对应角相等及同角的余角相等即可求出所求．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵=，∴△ADC∽△CDB；第30页（共30页） （2）解：∵△ADC∽△CDB，∴∠A=∠BCD，∠ACD=∠B，∵∠A+∠ACD=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，则∠ACB=90°．　22．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得x（25﹣2x+1）=80，化简，得x2﹣13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．　23．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】第30页（共30页） 根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．【解答】解：设购买了x件这种服装且多于10件，根据题意得出：[80﹣2（x﹣10）]x=1200，解得：x1=20，x2=30，当x=20时，80﹣2（20﹣10）=60元＞50元，符合题意；当x=30时，80﹣2（30﹣10）=40元＜50元，不合题意，舍去；答：她购买了20件这种服装．　24．如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，OA、OB（OA＜0B）的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根，C（0，3），且△ABC的面积为6，求∠ABC的度数．【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】先跟及三角形ABC的面积求出AB的值，再由根与系数的关系就可以求出m的值，从而求出方程的解，就可以得出OB的值，进而得出△OBC为等腰直角三角形就可以得出结论．【解答】解：∵C（0，3），∴CO=3．∵△ABC的面积为6，∴=6，∴AB=4．∵OA、OB（OA＜0B）的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根，∴OA+OB=4m，∴4m=4，∴m=1．第30页（共30页） ∴一元二次方程为：x2﹣4x+3=0∴x1=1，x2=3．∵OA＜0B，∴OA=1，OB=3．∴OB=OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°．答：∠ABC=45°．　25．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．【考点】S9：相似三角形的判定与性质．【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴=，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，第30页（共30页） ∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴=．∵AB=10，BC=12，∴=，∴BP=．　26．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）【考点】HA：抛物线与x轴的交点；AA：根的判别式．【分析】（1）根据根的判别式，可得答案；（2）根据根与系数的关系，可得A、B间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．【解答】解：（1）△=[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8，∵（m﹣1）2≥0，∴△=（m﹣1）2+8＞0，∴原方程有两个不等实数根；（2）存在，由题意知x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=m﹣3，x1•x2=﹣m．第30页（共30页） ∵AB=|x1﹣x2|，∴AB2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（m﹣3）2﹣4（﹣m）=（m﹣1）2+8，∴当m=1时，AB2有最小值8，∴AB有最小值，即AB==2　27．如图，直线AB分别与两坐标轴交于点A（4，0），B（0，8），点C的坐标为（2，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）在线段AB上有一动点P．①过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为点E，F，若矩形OEPF的面积为6，求点P的坐标．②连结CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）由于A（4，0）、B（0，8），利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）①可以设动点P（x，﹣2x+8），由此得到PE=x，PF=﹣2x+8，再利用矩形OEPF的面积为6即可求出点P的坐标；②存在，分两种情况：第一种由CP∥OB得△ACP∽△AOB，由此即可求出P的坐标；第二种CP⊥AB，根据已知条件可以证明APC∽△AOB，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求出PA，再过点P作PH⊥x轴，垂足为H，由此得到PH∥OB，进一步得到△APH∽△第30页（共30页） ABO，然后利用相似三角形的对应边成比例就可以求出点P的坐标．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，如图1：依题意，，∴，∴y=﹣2x+8；（2）①设动点P（x，﹣2x+8），则PE=x，PF=﹣2x+8，∴S▭OEPF=PE•PF=x（﹣2x+8）=6，∴x1=1，x2=3；经检验x1=1，x2=3都符合题意，∴点P（1，6）或（3，2）；②存在，分两种情况第一种：CP∥OB，∴△ACP∽△AOB，而点C的坐标为（2，0），∴点P（2，4）；第二种CP⊥AB，∵∠APC=∠AOB=90°，∠PAC=∠BAO，∴△APC∽△AOB，∴，∴，∴AP=，如图2，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，第30页（共30页） ∴PH∥OB，∴△APH∽△ABO，∴，∴，∴PH=，AH=，∴OH=OA﹣AH=，∴点P（，）．∴点P的坐标为（2，4）或点P（，）．　28．【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．【初步体验】（1）如图1，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，DE∥FC∥BC．若AD=2，AE=1，DF=6，则EG=　3　，=　2　．第30页（共30页） （2）如图2，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，且DE∥BC∥FG．以AD、DF、FB为边构造△ADM（即AM=BF，MD=DF）；以AE、EG、GC为边构造△AEN（即AN=GC，NE=EG）．求证：∠M=∠N．【深入探究】上述基本事实启发我们可以用“平行线分线段成比例”解决下列问题：（3）如图3，已知△ABC和线段a，请用直尺与圆规作△A′B′C′．满足：①△A′B′C′∽△ABC；②△A′B′C′的周长等于线段a的长度．（保留作图痕迹，并写出作图步骤）【考点】SO：相似形综合题；S4：平行线分线段成比例．【分析】（1）只需利用基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”即可解决问题；（2）要证∠M=∠N，只需证△AMD∽△ANE，只需证==，由于DF=DM，EG=EN，BF=AM，GC=AN，只需证==，根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”即可解决问题；（3）借鉴图2，可进行以下操作：①延长BA到D，使得AD=AC，延长AB到E，使得BE=BC；②过点D画一条线段DF，使得DF=a，连接EF；③过点B作∠DBB′=∠DEF，交DF于点B′，过点A作∠DAA′=∠DEF，交DF于点A′，即可得到AA′∥BB′∥EF；④以点A′为圆心，A′D为半径画弧，以点B′为圆心，B′F为半径画弧，两弧交于点C′；⑤连接A′C′，B′C′，如图4，△A′B′C′即为所求作．第30页（共30页） 【解答】解：（1）如图1，∵DE∥FG∥BC，∴，，∴==．∵AD=2，AE=1，DF=6，∴==，∴EG=3，=2．故答案分别为：3、2；（2）如图2，∵DE∥FG∥BC，∴，，∴==．∵DF=DM，EG=EN，BF=AM，GC=AN，∴==，∴△AMD∽△ANE，第30页（共30页） ∴∠M=∠N；（3）步骤：①延长BA到D，使得AD=AC，延长AB到E，使得BE=BC；②过点D画一条线段DF，使得DF=a，连接EF；③过点B作∠DBB′=∠DEF，交DF于点B′，过点A作∠DAA′=∠DEF，交DF于点A′；④以点A′为圆心，A′D为半径画弧，以点B′为圆心，B′F为半径画弧，两弧交于点C′；⑤连接A′C′，B′C′，如图4，△A′B′C′即为所求作．　第30页（共30页）