人教版数学九年级上册月考模拟试卷01（含答案）

人教版数学九年级上册月考模拟试卷一、选择题1．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中2个黑球、4个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　　）A．摸出的是3个白球B．摸出的是3个黑球C．摸出的是2个白球、1个黑球D．摸出的是2个黑球、1个白球2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=80°，则∠BCD的度数是（　　）A．60°B．80°C．90°D．100°3．半径为3，圆心角为120°的扇形的面积是（　　）A．3πB．6πC．9πD．12π4．用反证法证明命题：在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°．证明的第一步是（　　）A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°5．如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　）A．△ACD的重心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的垂心6．己知正六边形的边长为4，则它的内切圆的半径为（　　）A．1B．C．2D．27．一天晚上，婷婷帮助妈妈清洗3个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，婷婷只好把杯盖和杯身随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是（　　）第31页（共31页） A．B．C．D．8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠B=135°，则的长（　　）A．B．πC．2πD．9．如图，从一块直径是6m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（　　）m．A．B．4C．D．210．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，点P为△ABC的内心，PD=5，AB=8．下列结论：①∠BAD=45°；②PD=PB；③PD=BC；④S△APC=6．其中正确结论的个数是（　　）A．4B．3C．2D．1二、填空题11．如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=70°，则∠D的度数为　　．第31页（共31页） 12．为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞40条鱼做上标记，然后放归鱼塘．经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有　　条鱼．13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且AC=，∠CAB=30°．图中阴影部分的面积是　　．14．如图，半径为4的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于　　．15．如图，在半⊙O中，∠BOD=60°，DA⊥OB，EB是切线，OE交弧BD于点M，点C在BE上，∠BOE=∠MCE=45°，连接CM．若BC=1，则AB=　　．16．已知a、b是方程x2﹣3x+m﹣1=0（m≠1）的两根，在直角坐标系下有A（a，0）、B（0，b），以AB为直径作⊙M，则⊙M的半径的最小值为　　．三、解答题17．某校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，从这5名学生中选取2名同时跳绳，求恰好选中一男一女的概率．第31页（共31页） 18．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示．（1）用尺规作图确定这个圆孔的圆心位置；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求这个小圆孔的宽口AB的长度．19．某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：（1）计算并完成表格：（精确到0.01）转动转盘的次数n1001502005008001000落在“铅笔”的次数m79121162392653794落在“铅笔”的频率0.780.820.79（2）请估计，当n很大时，频率将会接近　　．（精确到0.1）（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是　　．（精确到0.1）（4）在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少（精确到1°）第31页（共31页） 20．正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：（1）四边形EBFD是矩形；（2）DG=BE．21．在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上．（1）从A、D、E、F四个点中任意取一点，以所取的这一点及点B、C为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是　　；（2）从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率是　　（用树状图或列表法求解）．第31页（共31页） 22．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB=60°．（1）求∠P的度数；（2）若⊙O的半径长为2cm，求图中阴影部分的面积．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），点P在直线y=x上，⊙P的半径为3，设P（x，y）．（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标；（2）动点C在直线y=x上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是　　．第31页（共31页） 24．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，（1）如图1，若AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，还需要添加的条件是（只须写出两种不同情况）①　　或②　　．（2）如图2，若AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，试说明EF是⊙O的切线．25．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，以点M（2，2）为圆心，4为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点N在⊙M上．（1）点A坐标　　，点B坐标　　；（2）求抛物线的解析式；（3）点P（m，n）在直线y=﹣x+上方的抛物线上，且∠APB＞60°，求m的取值范围；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段ON与MD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．　第31页（共31页） 参考答案一、选择题（每题3分，共30分）1．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中2个黑球、4个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　　）A．摸出的是3个白球B．摸出的是3个黑球C．摸出的是2个白球、1个黑球D．摸出的是2个黑球、1个白球【考点】随机事件．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．【解答】解：摸出的是3个白球是随机事件；摸出的是3个黑球是不可能事件；摸出的是2个白球、1个黑球是随机事件；摸出的是2个黑球、1个白球是随机事件，故选：B．　2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=80°，则∠BCD的度数是（　　）A．60°B．80°C．90°D．100°【考点】圆内接四边形的性质．【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠DCB=180°，代入求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠DCB=180°，∵∠A=80°，∴∠DCB=100°，故选D．　3．半径为3，圆心角为120°的扇形的面积是（　　）第31页（共31页） A．3πB．6πC．9πD．12π【考点】扇形面积的计算．【分析】把已知数据代入S=，计算即可．【解答】解：半径为3，圆心角为120°的扇形的面积是：=3π，故选：A．　4．用反证法证明命题：在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°．证明的第一步是（　　）A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°【考点】反证法．【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．【解答】解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°，∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°．故选：B．　5．如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　）A．△ACD的重心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的垂心【考点】三角形的五心．【分析】设每一个小方格的边长为1，连接OA、OB、OC、OD，利用勾股定理可求得OA=OB=OC=，OD=2第31页（共31页） ，可知O点在AB、AC、BC的垂直平分线上，可知O为△ABC的外心，可求得答案．【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD，设每一个小方格的边长为1，由勾股定理可求得OA=OB=OC=，OD=2，∴O点在AB、AC、BC的垂直平分线上，∴点O为△ABC的外心，∵OA=OC≠OD，∴点O即不是△ACD的重心，也不是△ACD的内心，故选B．　6．己知正六边形的边长为4，则它的内切圆的半径为（　　）A．1B．C．2D．2【考点】正多边形和圆；三角形的内切圆与内心．【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为4的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=4，∴OG=OA•sin60°=4×=2，∴边长为4的正六边形的内切圆的半径为：2．故选：D．第31页（共31页） 　7．一天晚上，婷婷帮助妈妈清洗3个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，婷婷只好把杯盖和杯身随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是（　　）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】画树状图为（用A、B、C表示茶盖，a、b、c表示茶杯）展示所有9种等可能的结果数，再找出颜色搭配正确的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：（用A、B、C表示茶盖，a、b、c表示茶杯）共有9种等可能的结果数，其中颜色搭配正确的结果数为3，所以颜色搭配正确的概率==．故选C．　8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠B=135°，则的长（　　）A．B．πC．2πD．【考点】弧长的计算．【分析】连接OA、OC，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理求出∠AOC的度数，根据弧长公式：l=计算即可．第31页（共31页） 【解答】解：连接OA、OC，∵∠B=135°，∴∠D=180°﹣∠B=45°，∴∠AOC=90°，则的长为：=π，故选：A．　9．如图，从一块直径是6m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（　　）m．A．B．4C．D．2【考点】圆锥的计算．【分析】根据弧长公式求出的长，求出圆锥的底面半径，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵∠BAC=90°，BC=6，∴AB=AC=3，∴的长为：=π，圆锥的底面半径为：，由勾股定理得，圆锥的高==，故选：A．　第31页（共31页） 10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，点P为△ABC的内心，PD=5，AB=8．下列结论：①∠BAD=45°；②PD=PB；③PD=BC；④S△APC=6．其中正确结论的个数是（　　）A．4B．3C．2D．1【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理．【分析】连结PC、DC、BD，作PF⊥BC于F，PE⊥AC于E，PH⊥AB于H，根据内心的性质得∠ACP=∠BCP，根据圆周角定理由BC为直径得到∠BAC=90°，而AD平分∠BAC，则∠BAD=∠CAD=∠BAC=45°，推出①成立，再次根据圆周角定理得到∠DBC=∠BCD=45°，于是可判断△BDC为等腰直角三角形，则BC=DC，然后利用三角形外角性质证明∠DPC=∠DCP得到DC=DP，推出②不成立，所以有BC=DP，推出③成立，由DP=5得到BC=10，根据勾股定理计算出AC=6，根据切线长定理可计算出△ABC的内切圆半径为r=2，由此即可求出△APC的面积，即可判断④成立．【解答】证明：连结PC、DC、BD，作MF⊥BC于F，PE⊥AC于E，PH⊥AB于H，如图，∵点P为△ABC的内心，∴PC平分∠ACB，∴∠ACP=∠BCP，∵BC为直径，∴∠BAC=90°，第31页（共31页） ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=45°，故①正确，∴∠DBC=∠BCD=45°，∴△BDC为等腰直角三角形，∴BC=DC，又∵∠DPC=∠PAC+∠ACP=45°+∠ACP，而∠DCP=∠BCD+∠BCP，∴∠DPC=∠DCP，∴DC=DP=BD，假设②正确，则△PDB是等边三角形，∴∠ADB=60°=∠ACB，显然不可能，故②错误．∴BC=DP，即PD=BC，故③正确，∵DP=5，∴BC=DP=10，而AB=8，∴AC==6，设△ABC的内切圆半径为r，∵点P为△ABC的内心，∴PH=PE=PF=r，∴四边形AHME为正方形，∴AH=AE=r，则CE=CF=6﹣r，BH=BF=8﹣r，而BF+FC=BC，∴8﹣r+6﹣r=10，解得r=2，∴S△APC=•AC•PE=×6×2=6，故④正确，故正确的有①③④，故选B．　第31页（共31页） 二、填空题（每题3分，共18分）11．如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=70°，则∠D的度数为　20°　．【考点】圆周角定理．【分析】由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，然后由圆周角定理，可求得∠D的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=70°，∴∠A=90°﹣∠ABC=20°，∴∠D=∠A=20°．故答案为：20°．　12．为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞40条鱼做上标记，然后放归鱼塘．经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有　1600　条鱼．【考点】用样本估计总体．【分析】先打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，求出有标记的鱼占的百分比，再根据共有40条鱼做上标记，即可得出答案．【解答】解：∵打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，∴有标记的鱼占×100%=2.5%，∵共有40条鱼做上标记，∴鱼塘中估计有40÷2.5%=1600（条）．故答案为：1600．　13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且AC=，∠第31页（共31页） CAB=30°．图中阴影部分的面积是　+　．【考点】扇形面积的计算．【分析】首先作OD⊥AC于D，连接OC，根据垂径定理和三角函数求得OD即半径OA的长，然后明确阴影部分的面积=S△OAC+S扇形OBC，然后依面积公式计算即可．【解答】解：如图，作OD⊥AC于D，连接OC，∴AD=AC=，∠BOC=2∠CAB=60°，∴AO==1，OD=ADtan∠CAB=则阴影部分面积=S△OAC+S扇形BOC=××+=+，故答案为：+．　14．如图，半径为4的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于　4π　．【考点】轨迹．【分析】根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为第31页（共31页） 圆弧，根据弧长公式求出弧长即可．【解答】解：由图形可知，圆心先向前走OO1的长度，从O到O1的运动轨迹是一条直线，长度为圆的周长，然后沿着弧O1O2旋转圆的周长，则圆心O运动路径的长度为：×2π×4+×2π×4=4π，故答案为：4π．　15．如图，在半⊙O中，∠BOD=60°，DA⊥OB，EB是切线，OE交弧BD于点M，点C在BE上，∠BOE=∠MCE=45°，连接CM．若BC=1，则AB=　（+1）　．【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理．【分析】连接BM，如图，根据切线的性质得∠OBE=90°，再判断△CME为等腰直角三角形，则CE=CM=，所以BE=+1，于是得到OD=OB=BE=+1，然后在Rt△OAD中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OA=OD=（+1），最后计算OB﹣OA即可．【解答】解：连接BM，如图，∵EB为切线，∴OB⊥BE，∴∠OBE=90°，∵∠BOE=45°，∴∠E=45°，第31页（共31页） ∴△CME为等腰直角三角形，∴CE=CM=，∴BE=+1，∴OB=BE=+1，∴OD=+1，在Rt△OAD中，∵∠AOD=60°，∴OA=OD=（+1）∴AB=OB﹣OA=+1﹣（+1）=（+1）．故答案为（+1）．　16．已知a、b是方程x2﹣3x+m﹣1=0（m≠1）的两根，在直角坐标系下有A（a，0）、B（0，b），以AB为直径作⊙M，则⊙M的半径的最小值为　　．【考点】根与系数的关系；坐标与图形性质；勾股定理．【分析】根据根与系数的关系可得a+b=3，由勾股定理可得出AB=，根据完全平方公式可得出AB=≥（a+b），代入a+b的值即可得出AB的最小值，再结合半径与直径的关系即可得出结论．【解答】解：∵a、b是方程x2﹣3x+m﹣1=0（m≠1）的两根，∴a+b=3．∵A（a，0）、B（0，b），∴AB=．∵（a+b）2=a2+b2﹣2ab≥0，∴≥（a+b），当a=b时，取等号．第31页（共31页） ∴⊙M的半径的最小值为AB=．故答案为：．　三、解答题17．某校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，从这5名学生中选取2名同时跳绳，求恰好选中一男一女的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知共有20种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有12种，所以抽到一男一女的概率为P（一男一女）==，　18．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示．（1）用尺规作图确定这个圆孔的圆心位置；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求这个小圆孔的宽口AB的长度．【考点】作图—应用与设计作图；垂径定理．【分析】（1）如图，在⊙第31页（共31页） O上取一点C，连接AC，作线段AC、AB的垂直平分线，它们的交点即为圆心O（2）在Rt△OAG中，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：（1）如图，在⊙O上取一点C，连接AC，作线段AC、AB的垂直平分线，它们的交点即为圆心O．（2）作OG⊥AB于G，则AG=GB，∵OA=5，OG=8=5=3，在Rt△AOG中，AG===4，∴AB=2AG=8．　19．某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：（1）计算并完成表格：（精确到0.01）转动转盘的次数n1001502005008001000落在“铅笔”的次数m79121162392653794落在“铅笔”的频率0.780.820.79（2）请估计，当n很大时，频率将会接近　0.8　．（精确到0.1）（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是　0.8　．（精确到0.1）（4）在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少（精确到1°）【考点】利用频率估计概率；扇形统计图．第31页（共31页） 【分析】（1）根据频率的算法，频率=，可得各个频率；填空即可；（2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率；（3）根据概率的求法计算即可；（4）根据扇形图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比计算即可．【解答】解：（1）转动转盘的次数n1001502005008001000落在“铅笔”的次数m79121162392653794落在“铅笔”的频率0.80.80.80.780.820.79（2）当n很大时，频率将会接近（79+121+162+392+653+794）÷=0.8，故答案为：0.8；（3）获得铅笔的概率约是0.8，故答案为：0.8；（4）扇形的圆心角约是0.8×360°=288度．　20．正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：（1）四边形EBFD是矩形；（2）DG=BE．【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理．【分析】（1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，∠EDF=90°，进而得出答案；（2）直接利用正方形的性质的度数是90°，进而得出BE=DF，则BE=DG．【解答】证明：（1）∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，第31页（共31页） 又∵DF∥BE，∴∠EDF+∠BED=180°，∴∠EDF=90°，∴四边形EBFD是矩形；（2））∵正方形ABCD内接于⊙O，∴的度数是90°，∴∠AFD=45°，又∵∠GDF=90°，∴∠DGF=∠DFG=45°，∴DG=DF，又∵在矩形EBFD中，BE=DF，∴BE=DG．　21．在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上．（1）从A、D、E、F四个点中任意取一点，以所取的这一点及点B、C为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是　　；（2）从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率是　　（用树状图或列表法求解）．第31页（共31页） 【考点】列表法与树状图法；等腰三角形的判定；平行四边形的判定．【分析】（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，即可得出答案；（2）利用树状图得出从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12种可能，进而得出以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，即可求出概率．【解答】解：（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，故P（所画三角形是等腰三角形）=；（2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，∴所画的四边形是平行四边形的概率P==．故答案为：（1），（2）．　22．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB=60°．（1）求∠P的度数；（2）若⊙O的半径长为2cm，求图中阴影部分的面积．【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【分析】（1）先证明∠P=180°﹣∠AOB，根据∠AOB=2∠ACB求出∠AOB即可解决问题．（2）连接OP，如图，根据切线的性质和切线长定理得到∠PAO=∠PBO=90°，∠第31页（共31页） APO=30°，则根据四边形内角和得到∠AOB=180°﹣∠APB=120°，再在Rt△PAO中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AP=OA=2，则S△PAO=2，然后根据扇形面积公式，利用阴影部分的面积=S四边形AOBP﹣S扇形AOB进行计算．【解答】解：（1）连接OA、OB，∵PA、PB是⊙O切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，∴∠P=180°﹣∠AOB，∵∠ACB=60°，∴∠AOB=2∠ACB=120°，∴∠P=180°﹣120°=60°，（2）如图，连接OP，∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥PB，OP平分∠APB，∴∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=×60°=30°，∴∠AOB=180°﹣∠APB=180°﹣60°=120°，在Rt△PAO中，∵OA=2，∠APO=30°，∴AP=OA=2，∴S△PAO=×2×2=2，∴阴影部分的面积=S四边形AOBP﹣S扇形AOB=2×2﹣=4﹣π．　第31页（共31页） 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），点P在直线y=x上，⊙P的半径为3，设P（x，y）．（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标；（2）动点C在直线y=x上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是　3　．【考点】切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定；直线与圆的位置关系．【分析】（1）先根据直线和圆的位置关系和已知求出P的横坐标，即可得出答案；（2）分为三种情况，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）∵⊙P的半径为3，⊙P与直线x=2相切，∴点P到直线x=2的距离是3，即P的横坐标为2+3=5或2﹣3=﹣1，∵P在直线y=x上，∴P点的坐标为（5，5）或（﹣1，﹣1）；（2）分为三种情况：①BP=AP，此时P在AB的垂直平分线上，∵A（0，2），B（0，6），∴AB=4，P点的纵坐标为4，∵P在直线y=x上，∴此时P的坐标为（4，4）；②AB=AP=4，∵A（0，2），P（x，y），x=y，∴（x﹣0）2+（x﹣2）2=42，∴x=1±，此时P的坐标为（1+，1+）或（1﹣，1﹣）；第31页（共31页） ③AB=BP，∵B（0，6），P（x，y），x=y，∴∴（x﹣0）2+（x﹣6）2=42，此方程无解，即不存在AB=BP；所以符合的有3个，故答案为：3．　24．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，（1）如图1，若AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，还需要添加的条件是（只须写出两种不同情况）①　EF⊥AB　或②　∠EAC=∠B　．（2）如图2，若AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，试说明EF是⊙O的切线．【考点】切线的判定．【分析】（1）添加条件EF⊥AB，根据切线的判定推出即可；添加条件∠EAC=∠B，根据直径推出∠CAB+∠B=90°，推出∠EAC+∠CAB=90°，根据切线判定推出即可；（2）作直径AM，连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠EAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．【解答】（1）解：添加的条件是①EF⊥AB，理由是∵EF⊥AB，OA是半径，∴EF是⊙O的切线；②∠EAC=∠B，理由是：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∴∠B+∠CAB=90°，第31页（共31页） ∵∠EAC=∠B，∴∠EAC+∠CAB=90°，∴EF⊥AB，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：作直径AM，连接CM，即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠EAC=∠B，∴∠EAC=∠M，∵AM是⊙O的直径，∴∠ACM=90°，∴∠CAM+∠M=90°，∴∠EAC+∠CAM=90°，∴EF⊥AM，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线．　25．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，以点M（2，2）为圆心，4为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点N在⊙M上．（1）点A坐标　（2﹣2，0）　，点B坐标　（2+2，0）　；（2）求抛物线的解析式；第31页（共31页） （3）点P（m，n）在直线y=﹣x+上方的抛物线上，且∠APB＞60°，求m的取值范围；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段ON与MD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）过点C作DC⊥AB，垂足为D．由垂径定理可知：AD=DB，然后由勾股定理可求得AD的长，从而得到点A和点B的坐标；（2）由图形的对称性可知P在CD上，从而可求得点P的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+6，将点B的坐标代入可得到a的值，从而可得到抛物线的解析式；（3）如图2中，设直线y=﹣x+与抛物线的交点为E、F，由∠AMB=120°，可知点P在直线y=﹣x+上方（包括E、F两点，除点N），都是满足条件∠APB＞60°（∠ANB=AMB=60°），利用方程组求出点E、F两点坐标即可解决问题．（4）取OP的中点E，连接CE，并延长CE到D使ED=CE．首先由线段的中点坐标公式求得点D的坐标，然后判断点D是否在抛物线上即可．【解答】解：如图1所示：过点M作MD⊥AB，垂足为D．第31页（共31页） ∵MD⊥AB，∴AD=DB．∵在Rt△ADC中，AC=4，CD=2，∴AD==2．∴DB=2．∴A（2﹣2，0）、B（2+2，0）．故答案为（2﹣2，0），（2+2，0）．（2）如图1所示：∵点A与点B关于MD对称，∴MD为抛物线的对称．∴顶点N在MD上．∵MD=2，MN=4，∴ND=6．∴N（2，6）．设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+6．∵将点B的坐标代入得：12a+6=0，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式y=﹣（x﹣2）2+6，即y=﹣x2+2x+4．（3）如图2中，设直线y=﹣x+与抛物线的交点为E、F．在Rt△AMD中，∵AM=2DM，第31页（共31页） ∴∠MAD=30°，∴∠AMD=∠BMD=60°，∴∠AMB=120°，∴点P在直线y=﹣x+上方（包括E、F两点，除点N），都是满足条件∠APB＞60°（∠ANB=AMB=60°），由解得或，∴F（1，），E（5，），∴m的取值范围：1≤m≤5且m≠2．（4）存在．理由：如图3所示：取ON的中点E，连接ME，并延长ME到D使ED=ME．设点D的坐标为（x，y）．∵ON与MD相互平分，∴=，=，∴x=0，y=4，∵将x=0代入抛物线的解析式得y=4，∴点D在抛物线上．∴当点D的坐标为（0，2）时，OP与CD相互平分．　第31页（共31页） 2017年3月1日第31页（共31页）