人教版数学九年级上册月考模拟试卷10（含答案）

人教版数学九年级上册月考模拟试卷一、选择题1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）A．y=x2B．y=ax2+bx+cC．y=8xD．y=x2（1+x）2．一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（　　）A．1.5cmB．7.5cmC．1.5cm或7.5cmD．3cm或15cm3．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（　　）A．30°B．35°C．40°D．45°4．已知抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（　　）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（1，2）5．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（　　）A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外6．把二次函数y=﹣x2﹣x+3用配方法化成y=a（x﹣h）2+k的形式（　　）A．y=﹣（x﹣2）2+2B．y=（x﹣2）2+4C．y=﹣（x+2）2+4D．y=2+37．圆I是三角形ABC的内切圆，D，E，F为3个切点，若∠DEF=52°，则∠A的度数为（　　）A．68°B．52°C．76°D．38°第26页（共26页） 8．抛物线y=﹣2（x﹣1）2上有三点A（﹣1，y1），B（，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3从小到大是（　　）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y2＜y1＜y3D．y1＜y3＜y29．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则△PDE的周长为（　　）A．16cmB．14cmC．12cmD．8cm10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD的长为（　　）A．2.5B．1.6C．1.5D．111．函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（　　）A．B．C．D．12．有一个内角为120°的菱形的内切圆半径为，则该菱形的边长是（　　）A．B．C．4D．613．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（　　）A．③④B．②③C．①④D．①②③第26页（共26页） 14．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点E是BC边上的动点，当以CE为半径的⊙C与边AD不相交时，半径CE的取值范围是（　　）A．0＜CE≤8B．0＜CE≤5C．0＜CE＜3或5＜CE≤8D．3＜CE≤515．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表x…﹣2﹣1012…y…04664…从上表可知，下列说法错误的是（　　）A．抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）B．函数y=ax2+bx+c的最大值为6C．抛物线的对称轴是直线x=D．在对称轴左侧，y随x增大而增大16．如图，等腰直角三角形ABC（∠C=90°）的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4cm，CA与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右平移，直到C点与N点重合时为止，设△ABC与正方形MNPQ的重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，则y与x之间的函数关系大致为（　　）A．B．C．D．　第26页（共26页） 二、填空题17．已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为　　．18．如图，已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面积为9π，则AB的长是　　．19．将抛物线y=x2﹣4x+9向　　平移　　个单位，向　　平移　　个单位，得到抛物线y=x2﹣6x+5．20．如图，∠AOB=60°，点M是射线OB上的点，OM=4，以点M为圆心，2cm为半径作圆．若OA绕点O按逆时针方向旋转，当OA和⊙M相切时，OA旋转的角度是　　．三、解答题21．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管（如图）做成立柱．为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据．（1）求该抛物线的表达式（2）计算所需不锈钢管的总长度．第26页（共26页） 22．某贸易公司购进“长青”胶州大白菜，进价为每棵20元，物价部门规定其销售单价每棵不得超过80元，也不得低于30元．经调查发现：日均销售量y（棵）与销售单价x（元/棵）满足一次函数关系，并且每棵售价60元时，日均销售90棵；每棵售价30元时，日均销售120棵．（1）求日均销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）在销售过程中，每天还要支出其他费用200元，求销售利润w（元）与销售单价x之间的函数关系式；并求当销售单价为何值时，可获得最大的销售利润？最大销售利润是多少？23．已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=，∠CAD=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长．第26页（共26页） 24．如图，△ABC是一块铁皮余料．已知底边BC=160cm，高AD=120cm．在铁皮余料上截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M．（1）设HG=ycm，HE=xcm，试确定用x表示y的函数表达式．（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？25．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离SP的定义如下：若点P与圆心O重合，则SP为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则SP为线段AP的长度．图1为点P在⊙O外的情形示意图．（1）若点B（1，0），C（1，1），，则SB=　　；SC=　　；SD=　　；（2）若直线y=x+b上存在点M，使得SM=2，求b的取值范围；（3）已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点．若线段PQ上存在一点T，满足T在⊙O内且ST≥SR，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值．　第26页（共26页） 参考答案一、选择题：1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）A．y=x2B．y=ax2+bx+cC．y=8xD．y=x2（1+x）【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义：y=ax2+bx+c（a≠0．a是常数），可得答案．【解答】解：A、y=x2是二次函数，故A符合题意；B、a=0时是一次函数，故B不符合题意，C、y=8x是一次函数，故C不符合题意；D、y=x2（1+x）不是二次函数，故D不符合题意；故选：A．　2．一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（　　）A．1.5cmB．7.5cmC．1.5cm或7.5cmD．3cm或15cm【考点】点与圆的位置关系．【分析】点P应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，直径=最小距离+最大距离；当点P在圆外时，直径=最大距离﹣最小距离．【解答】解：分为两种情况：①当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是15cm，因而半径是7.5cm；②当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是3cm，因而半径是1.5cm．故选C．　3．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（　　）第26页（共26页） A．30°B．35°C．40°D．45°【考点】切线的性质．【分析】由于CD是切线，可知∠OCD=90°，而∠A=35°，利用圆周角定理可求∠COD，进而可求∠D．【解答】解：连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∵∠A=30°，∴∠COD=2∠A=60°，∴∠D=90°﹣60°=30°．故选：A．　4．已知抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（　　）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（1，2）【考点】二次函数的性质．【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标．【解答】解：因为y=（x﹣2）2+1为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，1）．故选B．　5．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙第26页（共26页） A的半径为2．下列说法中不正确的是（　　）A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外【考点】点与圆的位置关系．【分析】先找出与点A的距离为2的点1和5，再根据“点与圆的位置关系的判定方法”即可解．【解答】解：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．故选：A．　6．把二次函数y=﹣x2﹣x+3用配方法化成y=a（x﹣h）2+k的形式（　　）A．y=﹣（x﹣2）2+2B．y=（x﹣2）2+4C．y=﹣（x+2）2+4D．y=2+3【考点】二次函数的三种形式．【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y=﹣x2﹣x+3=﹣（x2+4x+4）+1+3=﹣（x+2）2+4故选C．　7．圆I是三角形ABC的内切圆，D，E，F为3个切点，若∠DEF=52°，则∠A的度数为（　　）第26页（共26页） A．68°B．52°C．76°D．38°【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】先利用切线的性质得∠IDA=∠IFA=90°，则根据四边形的内角和得到∠A+∠DIF=180°，再根据圆周角定理得到∠DIF=2∠DEF=104°，然后利用互补计算∠A的度数即可．【解答】解：∵圆I是三角形ABC的内切圆，∴ID⊥AB，IF⊥AC，∴∠IDA=∠IFA=90°，∴∠A+∠DIF=180°，∵∠DIF=2∠DEF=2×52°=104°，∴∠A=180°﹣104°=76°．故选C．　8．抛物线y=﹣2（x﹣1）2上有三点A（﹣1，y1），B（，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3从小到大是（　　）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y2＜y1＜y3D．y1＜y3＜y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数的性质求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性解答．【解答】解：∵抛物线y=﹣2（x﹣1）2的对称轴是x=1，∴x=﹣1时的函数值与x=3时的函数值相等，当x＞1时，y随x的增大而减小，∵＜2＜3，∴y1＜y3＜y2，故选：D．　9．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则△PDE的周长为（　　）第26页（共26页） A．16cmB．14cmC．12cmD．8cm【考点】切线的性质．【分析】由切线长定理可知AD=CD、BE=CE，PA=PB，则可求得△PDE的周长=PA+PB，可求得答案．【解答】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴PA=PB=8cm，AD=CD，BE=CE，∴PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PD+AD+BE+PE=PA+PB=8+8=16（cm），故选A．　10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD的长为（　　）A．2.5B．1.6C．1.5D．1【考点】切线的性质．【分析】连结OD、OE，如图，先根据切线的性质得OD⊥AC，OE⊥BC，再判断四边形ODCE为正方形得到OD=CD=AC﹣AD=4﹣AD，接着证明Rt△AOD∽Rt△ABC，然后利用相似比计算AD的长．【解答】解：连结OD、OE，如图，∵以点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，∴OD⊥AC，OE⊥BC，而∠ACB=90°，第26页（共26页） ∴四边形ODCE为矩形，∵OD=OE，∴四边形ODCE为正方形，∴OD=CD=AC﹣AD=4﹣AD，∵∠OAD=∠BAC，∴Rt△AOD∽Rt△ABC，∴=，即=，∴AD=1.6．故选B．　11．函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（　　）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据a的符号，分类讨论，结合两函数图象相交于（0，1），逐一排除；【解答】解：当a＞0时，函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向上，函数y=ax+1的图象应在一、二、三象限，故可排除D；当a＜0时，函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向下，函数y=ax+1的图象应在一二四象限，故可排除B；当a=0时，两个函数的值都为1，故两函数图象应相交于（0，1），可排除A．正确的只有C．故选C．　12．有一个内角为120°的菱形的内切圆半径为，则该菱形的边长是（　　）A．B．C．4D．6第26页（共26页） 【考点】菱形的性质；勾股定理；切线长定理．【分析】根据菱形的内切圆半径为即可求菱形的高，菱形的一个内角为120°则其邻角为60°，在直角三角形ABE中即可求的AB即菱形的边的长．【解答】解：过A作AE⊥BC，∵内切圆半径为，∴AE的长度为2，∵∠BAD=120°，则∠ABC=60°，在Rt△ABC中，AE=2，∠ABC=60°，∴AB=4，故选C．　13．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（　　）A．③④B．②③C．①④D．①②③【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜0，第26页（共26页） 故②正确；③由抛物线的开口向下知a＜0，∵对称轴为0＜x=﹣＜1，∴2a+b＜0，故③正确；④对称轴为x=﹣＞0，a＜0∴a、b异号，即b＞0，由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0∴abc＜0，故④错误；∴正确结论的序号为②③．故选：B．　14．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点E是BC边上的动点，当以CE为半径的⊙C与边AD不相交时，半径CE的取值范围是（　　）A．0＜CE≤8B．0＜CE≤5C．0＜CE＜3或5＜CE≤8D．3＜CE≤5【考点】直线与圆的位置关系；平行四边形的性质；解直角三角形．【分析】过A作AM⊥BC于N，CN⊥AD于N，根据平行四边形的性质求出AD∥BC，AB=CD=5，求出AM、CN、AC、CD的长，即可得出符合条件的情况．【解答】解：如图，过A作AM⊥BC于N，CN⊥AD于N，∵四边形ABCD是平行四边形，第26页（共26页） ∴AD∥BC，AB=CD=5，∴AM=CN，∵AB=5，cosB=，∴BM=4，∵BC=8，∴CM=4=BC，∵AM⊥BC，∴AC=AB=5，由勾股定理得：AM=CN==3，∴当以CE为半径的圆C与边AD有两个交点时，半径CE的取值范围是3＜CE≤5，故选D．　15．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表x…﹣2﹣1012…y…04664…从上表可知，下列说法错误的是（　　）A．抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）B．函数y=ax2+bx+c的最大值为6C．抛物线的对称轴是直线x=D．在对称轴左侧，y随x增大而增大【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的最值．【分析】根据表格的数据首先确定抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性可以确定抛物线与x轴的另一个交点坐标，也可以确定抛物线的最大值的取值范围，也可以确定开口方向．【解答】解：根据表格数据知道：抛物线的开口方向向下，∵x=0，x=1的函数值相等，∴对称轴为x=，所以选项C正确，不符合题意；第26页（共26页） ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（3，0），所以选项A正确，不符合题意；在对称轴左侧，y随x增大而增大，最大值大于6．所以选项D正确，不符合题意；选项B错误，符合题意；故选B．　16．如图，等腰直角三角形ABC（∠C=90°）的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4cm，CA与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右平移，直到C点与N点重合时为止，设△ABC与正方形MNPQ的重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，则y与x之间的函数关系大致为（　　）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象；二次函数的图象．【分析】首先确定每段与x的函数关系类型，根据函数的性质确定选项．【解答】解：当x≤4cm时，重合部分是边长是x的等腰直角三角形，面积y=x2，是一个开口向上的二次函数；当x＞4时，重合部分是直角梯形，面积y=8﹣（x﹣4）2，即y=﹣x2+4x，是一个开口向下的二次函数．故选B．　二、填空题（每小题4分，共16分）17．已知二次函数的图象经过原点及点（，第26页（共26页） ），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为　y=﹣x2+x或y=x2+x．　．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），由图象与x轴的另一交点到原点的距离为1可得到抛物线与x轴的另一交点坐标为（1，0）或（﹣1，0），然后分别把（0，0）、（1，0）、（﹣，﹣）或（0，0）、（﹣1，0）、（﹣，﹣）代入解析式中得到两个方程组，解方程组即可确定解析式．【解答】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），当图象与x轴的另一交点坐标为（1，0）时，把（0，0）、（1，0）、（﹣，﹣）代入得，解方程组得，则二次函数的解析式为y=﹣x2+x；当图象与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0）时，把得，解方程组得，则二次函数的解析式为y=x2+x．所以该二次函数解析式为y=﹣x2+x或y=x2+x．　18．如图，已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面积为9π，则AB的长是　6　．【考点】切线的性质；垂径定理．【分析】第26页（共26页） 环形的面积为9π，就是大圆面积﹣小圆的面积，根据圆的面积公式，可得π×OA2﹣π×OM2=9π，解得OA2﹣OM2=9，再根据勾股定理可知就是AM的平方，所以AM=3，AB=6．【解答】解：连接OA、OM，如图所示：∵大圆的弦AB切小圆于M，∴AB⊥OM，∴AM=BM，∵环形的面积为9π，根据圆的面积公式可得：π×OA2﹣π×OM2=9π，解得：OA2﹣OM2=9，根据勾股定理可知：AM2=OA2﹣OM2，∴AM=3，∴AB=2AM=6．　19．将抛物线y=x2﹣4x+9向　右　平移　1　个单位，向　下　平移　9　个单位，得到抛物线y=x2﹣6x+5．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据配方法，可得顶点式解析式，根据平移规律，可得到答案．【解答】解：y=x2﹣4x+9配方，得y=（x﹣2）2+5；y=x2﹣6x+5配方，得y=（x﹣3）2﹣4．抛物线y=x2﹣4x+9向右平移1个单位，向下平移9个单位，得到抛物线y=x2﹣6x+5，故答案为：右，1，下，9．　20．如图，∠AOB=60°，点M是射线OB上的点，OM=4，以点M为圆心，2cm为半径作圆．若OA绕点O按逆时针方向旋转，当OA和⊙第26页（共26页） M相切时，OA旋转的角度是　30°或90°　．【考点】切线的性质．【分析】OA与⊙O相切时，有两种情况：①切线在OB右侧；②切线在OB左侧；解法相同，都是连接圆心与切点，通过构建的直角三角形求解．【解答】解：如图；①当OA旋转到OE位置时，与圆M相切于点E，连接ME；则ME=2，∠MEO=90°；Rt△OEM中，sin∠MOE==，∴∠MOE=30°，∴∠AOE=∠AOB﹣∠MOE=30°；②当OA旋转到OF位置时，与圆M相切于点F，连接MF；则MF=2，∠MFO=90°；Rt△OFM中，sin∠MOF==，∴∠MOF=30°，∴∠AOF=∠AOB+∠FOB=90°；故OA旋转的角度为30°或90°．　三、解答题21．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管（如图）做成立柱．为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据．第26页（共26页） （1）求该抛物线的表达式（2）计算所需不锈钢管的总长度．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据所建坐标系特点可设解析式为y=ax2+c的形式，结合图象易求B点和C点坐标，代入解析式解方程组求出a，c的值得解析式；（2）根据对称性求B3、B4的纵坐标后再求出总长度．【解答】解：（1）由题意得B（0，0.5）、C（1，0）设抛物线的解析式为：y=ax2+c代入得a=﹣0.5，c=0.5，故解析式为y=﹣0.5x2+0.5；（2）如图1所示：∵当x=0.2时，y=0.48，当x=0.6时，y=0.32，∴B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=2×（0.48+0.32）=1.6米∴所需不锈钢管的总长度为：1.6×50=80米．　22．某贸易公司购进“长青”胶州大白菜，进价为每棵20元，物价部门规定其销售单价每棵不得超过80元，也不得低于30元．经调查发现：日均销售量y（棵）与销售单价x（元/棵）满足一次函数关系，并且每棵售价60元时，日均销售90棵；每棵售价30元时，日均销售120棵．第26页（共26页） （1）求日均销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）在销售过程中，每天还要支出其他费用200元，求销售利润w（元）与销售单价x之间的函数关系式；并求当销售单价为何值时，可获得最大的销售利润？最大销售利润是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把（60，90），（30，120）分别代入上式得到一次函数解析式；（2）根据题意得到W=（x﹣20）（﹣x+150）﹣200，配方后求最大值．【解答】解：（1）设一次函数解析式为设一次函数解析式为y=kx+b，把（60，90），（30，120）分别代入上式得，，解得．故y=﹣x+150，（30≤x≤80）．（2）根据题意得W=（x﹣20）（﹣x+150）﹣200=﹣x2+170x﹣3200=﹣（x2﹣170x+852﹣852）﹣3200=﹣（x﹣85）2+852﹣3200=﹣（x﹣85）2+852﹣3200=﹣（x﹣85）2+4025．当x=80时取得最大值，为W最大值=﹣（80﹣85）2+4025=4000元．　23．已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=，∠CAD=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长．第26页（共26页） 【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OA，由于sinB=，那么可求∠B=30°，利用圆周角定理可求∠AOC=60°，而OA=OB，那么△AOC是等边三角形，从而有∠OAC=60°，易求∠OAD=90°，即AD是⊙O的切线；（2）由于OC⊥AB，OC是半径，利用垂径定理可知OC是AB的垂直平分线，那么CA=CB，而∠B=30°，则∠BAC=30°，于是有∠DAE=60°，∠D=30°，在Rt△ACE中，利用三角函数值可求AE，在Rt△ADE中利用30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可求AD．【解答】证明：连接OA，（1）∵sinB=，∴∠B=30°，∠AOC=60°，又∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC=60°，∴∠OAD=60°+30°=90°，∴AD是⊙O的切线；（2）∵OC⊥AB，OC是半径，∴BE=AE，∴OD是AB的垂直平分线，∴∠DAE=60°，∠D=30°，在Rt△ACE中，AE=cos30°×AC=，∴在Rt△ADE中，AD=2AE=5．　第26页（共26页） 24．如图，△ABC是一块铁皮余料．已知底边BC=160cm，高AD=120cm．在铁皮余料上截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M．（1）设HG=ycm，HE=xcm，试确定用x表示y的函数表达式．（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？【考点】相似三角形的应用；二次函数的最值．【分析】（1）先表示出AM，再根据相似三角形对应高的比等于相似比列式整理即可；（2）根据矩形的面积公式列式整理，再根据二次函数的最值问题求解即可．【解答】解：（1）∵矩形EFGH，AD是高，∴MD=HE=x，HG∥BC，∴AM=AD﹣MD=120﹣x，△AHG∽△ABC，∴=，即=，∴y=﹣x+160；（2）矩形EFGH的面积S=xy=x（﹣x+160），=﹣x2+160x，=﹣（x2﹣120x+3600）+4800，=﹣（x﹣60）2+4800，所以，当x=60时，S取最大值4800．　第26页（共26页） 25．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离SP的定义如下：若点P与圆心O重合，则SP为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则SP为线段AP的长度．图1为点P在⊙O外的情形示意图．（1）若点B（1，0），C（1，1），，则SB=　0　；SC=　﹣1　；SD=　　；（2）若直线y=x+b上存在点M，使得SM=2，求b的取值范围；（3）已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点．若线段PQ上存在一点T，满足T在⊙O内且ST≥SR，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）根据点的坐标和新定义解答即可；（2）根据直线y=x+b的特点，结合SM=2，根据等腰直角三角形的性质解答；（3）根据T在⊙O内，确定ST的范围，根据给出的条件、结合图形求出满足条件的线段PQ长度的最大值．【解答】解：（1）∵点B（1，0），∴SB=0，∵C（1，1），∴SC=﹣1，∵，∴SD=，故答案为：0；﹣1；；（2）设直线y=x+b与分别与x轴、y轴交于F、E，第26页（共26页） 作OG⊥EF于G，∵∠FEO=45°，∴OG=GE，当OG=3时，GE=3，由勾股定理得，OE=3，此时直线的解析式为：y=x+3，∴直线y=x+b上存在点M，使得SM=2，b的取值范围是﹣3≤b≤3；（3）∵T在⊙O内，∴ST≤1，∵ST≥SR，∴SR≤1，∴线段PQ长度的最大值为1+2+1=4．　第26页（共26页） 2017年3月10日第26页（共26页）