高中数学 2.1.1平面学案 新人教A版必修2

青海师范大学附属第二中学高中数学2.1.1平面学案新人教A版必修2[学习要求]掌握平面的表示法，点、直线与平面的关系；掌握有关平面的三个公理；会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系．[学法指导]通过桌面、黑板、地面等实物，对平面有个感性认识，进而抽象出平面概念及平面性质，感受我们所处的世界是一个三维空间，进而增强学习的兴趣，培养空间想象能力.1．公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内．符号：.2．公理2：过不在一条直线上的三点，一个平面.3．公理3：如果两个不重合的平面有公共点，那么它们有且只有过该点的公共直线．符号：.4．用符号语言表示下列语句：(1)点A在平面α内但在平面β外：.(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：.(3)直线l在面α内也在面β内：.(4)平面α内的两条直线m、n相交于A：.[问题情境]在《西游记》中，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”．如把孙悟空看作是一个点，他的运动成为一条线，如来佛的手掌像什么？探究点一　平面的概念问题1　观察长方体，说说它的顶点，棱所在的直线以及侧面、底面之间的位置关系问题2　生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？那么，平面的含义是什么呢？ 问题3　如何用字母表示平面，如何表示点在平面内或点不在平面内？探究点二　平面的基本性质导引　如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点，直线l是否在平面α内？问题1　实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．从经验中我们能得到什么结论呢？问题2　如何用符号语言表示公理1？公理1有怎样的用途？例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．问题3　生活中经常看到用三角架支撑照相机；测量员用三角架支撑测量用的平板仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚．上述事实和类似经验可以归纳为怎样的公理？问题4　如何用符号语言表示公理2？公理2有怎样的用途？问题5　把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？问题6　如何用符号语言表示公理3？公理3有怎样的用途？例2　已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示．求证：P、Q、R三点共线． 例3　在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．[达标检测]1．下列命题中正确的个数是(　　)①一个平面长4米，宽2米；②2个平面重叠在一起比一个平面厚；③一个平面的面积是25平方米；④将一个平面内的一条直线延长，它就会伸出这个平面．A．0B．1C．2D．32．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数(　　)A．3B．4C．5D．63．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成_____部分．[小结]1．三个公理的作用：公理1——判定直线在平面内的依据；公理2——判定点共面、线共面的依据；公理3——判定点共线、线共点的依据．2．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．3．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．4．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线.2.1.1　平　面 一、基础过关1．下列命题：①书桌面是平面；②有一个平面的长是50m，宽是20m；③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为(　　)A．1个B．2个C．3个D．0个2．下列图形中，不一定是平面图形的是(　　)A．三角形B．菱形C．梯形D．四边相等的四边形3．空间中，可以确定一个平面的条件是(　　)A．两条直线B．一点和一条直线C．一个三角形D．三个点4．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　　)A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条5．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．6．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．7．如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．8．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交于一点．二、能力提升9．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是(　　)A．0B．1C．1或4D．无法确定10．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是(　　) A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合11．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．12.如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．三、探究与拓展13.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面．跟踪训练1　若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α之间的关系可记为(　　)A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α跟踪训练2　如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．