高中数学《2.1.1平面》学案 新人教A版必修

2.1.1平面一．学习目标：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解可以作为推理依据的三条公理.二．重点、难点： 重点： 难点：三．知识要点：1.点在直线上,记作；点在平面内,记作；直线在平面内,记作.2.平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言3.公理2的三条推论：推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.四．自主探究：（一）例题精讲：【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？（P56A组5题）解：根据公理2的推论3，可知两条平行直线确定一个平面，又由公理1可知，与两条平行直线相交的第三条直线在这个平面内，所以一条直线与两条平行直线都相交时，这三条直线是共面的关系.【例2】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点.（同P58B组3题）解：∵PEF，EF面ABC，∴P面ABC.同理P面ADC.∵P在面ABC与面ADC的交线上，又∵面ABC∩面ADC=AC，∴PAC，即EF、HG、AC三线共点.【例3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.已知：直线两两相交，交点分别为，求证：直线共面.证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α．因为A∈α，B∈α，所以ABα．同理BCα，ACα.所以AB，BC，CA三直线共面．点评：先依据公理2,由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1,证三条直线在平面内.注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证.常根据三条公理，进行“共面”问题的证明.【例4】在正方体中， （1）与是否在同一平面内？（2）点是否在同一平面内？（3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线.解：（1）在正方体中，∵，∴由公理2的推论可知，与可确定平面，∴与在同一平面内.（2）∵点不共线，由公理3可知，点可确定平面，∴点在同一平面内.（3）∵，，∴点平面，平面，又平面，平面，∴平面平面，同理平面平面．点评：确定平面的依据有公理2（不在同一条直线上的三点）和一些推论（两条平行直线、两条相交直线、直线和直线外一点）.对几条公理的作用，我们必须十分熟练.第9练§2.1.1平面五．目标检测：（一）基础达标1．两个平面若有三个公共点，则这两个平面（）.A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对2．下列推断中，错误的是（）.A．B．C．D．，且A、B、C不共线重合3．E、F、G、H是三棱锥A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的点，延长EF、HG交于P，则点P（）.A.一定在直线AC上B.一定在直线BD上C.只在平面BCD内D.只在平面ABD内4．用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，则这个多边形边数最多是（）.A.三B.四C.六D.八5．下列说法中正确的是（）.A.空间不同的三点确定一个平面B.空间两两相交的三条直线确定一个平面C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内6．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面.其中说法正确的序号依次是.7．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是.（二）能力提高8．正方体中,E、F、G、H、K、L分别是的中点.求证：这六点共面． 9．（1）在平面α外，，，，求证：P，Q，R三点共线.（2）已知四边形ABCD中，AB∥CD，四条边AB，BC，DC，AD（或其延长线）分别与平面α相交于E，F，G，H四点，求证：四点E，F，G，H共线.（三）探究创新10．在一封闭的正方体容器内装满水，M，N分别是AA1与C1D1的中点，由于某种原因，在D，M，N三点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多，问应将此容器如何放置？此时水的上表面的形状怎样？