2.1.1平面东莞市南城中学陈立1．内容和内容解析（1）内容《2.1.1平面》是人教A版《数学》必修二的第二章第一节，教学内容安排一个课时，主要内容是平面的描述性概念及三个公理。（2）内容解析平面是最基本的几何概念，教材以课桌面、黑板面、海平面等为例对它加以描述而不定义。平面的基本性质即公理1、公理2、公理3，是研究立体图形的理论基础，也是进一步推理的出发点和根据。其中公理可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题。平面的基本性质在高考中一般以选择和填空题型为主。学生在第一章的学习过程中，经历了对立体图形的整体把握，这节课以学生熟知的长方体为载体，引出本节课的主要内容，拓展学生已有的平面几何观念，帮助学生观念逐步从平面转向空间。因此，本节课的教学重点是使学生了解平面的描述性概念，了解平面的表示方法和画法；理解平面的基本性质即三个公理，会用符号语言表示图形中点、直线、平面之间的关系。2．目标和目标解析（1）目标根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求，结合学生现有的知识水平和理解水平，确定本节课的教学目标如下：①了解平面的描述性概念；②了解平面的表示方法和基本画法；③理解公理1、公理2、公理3；④能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系。⑤感知数学语言的美，激发学习兴趣。（2）目标解析通过学生熟知的正方体、生活中的实例使学生对平面有感性的、初步的认识，借助学生已有的直线的描述性概念，通过类比让学生体验获得平面的描述性概念的思维过程。在学生了解平面的描述性概念以后，首先给出平面的表示方法，然后类比画直线的方式，从“直观性”角度给出平面的画法。尽管平面的描述性概念、平面的表示方法和基本画法这些内容不难，但是要让学生理解这些知识的本质还是有一定难度，没办法也没有必要从更深层次理解这些知识点，因此，将这些内容定位为了解。平面的三个公理，是本节课的重点内容，要求学生充分重视，并且能够理解这些知识点。通过文字语言的严谨、图形语言的直观和符号语言的简洁以及三种语言的相互转化使学生体会数学的美，提高学生的学习兴趣。让学生认识到我们生活的世界就是一个三维空间，进而激发学生的求知欲。3．教学问题诊断分析本节课是一节较为抽象的几何概念课。学生了解平面的无限延展性可能有难度，因此，在教学时一定要让学生多感受，多举例。学生不好接受为什么通常用平行四边形表示水平放置的平面，教学中要引导让学生通过观察，体会用平行四边形表示水平放置的平面的“直观性”。三个公理是研究立体几何的理论基础，也是以后论证推理的逻辑依据，学生容易掌握文字语言、图形语言，但符号语言较难掌握，教学中可适当安排一些问题让学生用符号语言规范的完成表达。基于上述分析，本节课教学难点是理解三个公理以及用符号语言规范的完成对问题的表示。4．教学支持条件分析立体几何教具，多媒体，直尺。5．教学过程设计
问题设计意图师生活动ABCDA1B1C1D1问题：如图，正方体中，它有多少个顶点、多少条棱、多少个面？探究：观察哪些顶点在底面内？哪些顶点不在底面内？哪些顶点在直线上？哪些顶点不在直线上？哪些棱在底面内？哪些棱不在底面内？以学生最熟悉的正方体为载体切入，先让学生回答最简单的问题，激发学生兴趣。然后以探究形式提出本节要研究的主要内容，进而导入新课。教师通过多媒体展示问题让学生回答，然后组织学生思考讨论，导入新课。问题1：课桌面、黑板面、海平面等画面给我们留下怎样的印象呢？问题2：请你举例说明生活中哪些物体给人以平面印象？问题3：你觉得平面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？创设与日常生活相联系的简单问题，使学生直观感知平面，引出平面的概念。引导学生观察、思考、举例和相交交流，教师要对学生举例给予评价，以鼓励为主。给出平面的描述性概念：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延展的，不可度量。例1、已知命题：①10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚。②有一个平面的长是50m，宽是20m。③黑板面是平面。④平面是绝对的平，没有大小、没有厚度，可以无限延展的抽象的数学概念。其中正确的的命题是__________。加深学生对平面概念的理解。用投影仪展示好中差几个层次学生的答案，并点评。问题1：在平面几何中，怎样画直线？问题2：我们能否根据直线的画法画平面，哪位同学来画一下？从已学的直线画法入手，简单易懂，将平面和直线进行类比，培养学生知识迁移能力和空间想象能力。让学生到黑板演示直线的画法，教师说明这位同学画的实质上是直线的部分，通过想象两端无限延伸而认为是一条直线，因此仿照直线的画法，让学生动手画平面，并让部分学生解释他们所画的平面是基于什么样的一种想法。平面的基本画法及表示平面的基本画法①通常用平行四边形来表示平面。当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成
，横边画成邻边的2倍长。如图alba②两个平面相交时，画出交线，被遮挡部分用虚线画出来；如图平面的表示：1﹒用一个希腊字母a，b，g，……来表示，如：平面a、平面b等。2﹒用平行四边形的四个顶点或两个相对顶点的字母来表示。如：平面ABCD，平面AC，平面BD等。在学生动手之后再给出基本画法和表示方法，这样做让学生易于接受和掌握。借助多媒体的直观、形象，用投影仪展示平面的画法，可展示水平放置平面、竖直放置的平面、相交平面、平行平面等，让学生经历直观感受。ABCDA1B1C1D1问题：观察下图，你认为点和直线、平面的位置关系有几种？直线和平面的位置关系有几种？给出点和直线、平面的位置关系；直线和平面的位置关系，并给出符号语言表示。例2、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系。（1）aBAba让学生回答简单的位置关系问题，自然引出点线面之间的数学符号表示。例题是为了让学生初步了解三种语言的转化。这部分内容对学生较难掌握，因此除例题外还增加一个练习题。先让学生归纳点与直线、平面的位置关系、直线与平面的位置关系，再由教师使用多媒体将点与直线、平面的位置关系、直线与平面的位置关系以表格形式按三种语言进行展示。例题强化文字语言、图形语言和符号语言的转化，让学生演板，老师点评和小结。
ιbaPba（2）练习：用符号表示下列语句，并画出相应的图形：（1）点A在平面a内，点B不在平面a内，点A，B都在直线a上；（2）平面a与平面b相交于直线m，直线a在平面a内且平行于直线m.问题1：将手中的笔假想成一条直线，将课桌面假想成一个平面，你觉得在什么情况下，才能使你的笔所代表的直线上所有的点都能在桌面上？教师归纳总结，多媒体展示公理1的三种语言并板书。思考：公理1有什么作用？问题2：两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？教师归纳总结，多媒体展示公理2的三种语言并板书。思考：公理2有什么作用？探究：下列命题是真命题吗？（1）经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面。（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。根据学生回答的情况，教师小结这三个命题其实就是公理2的变式。问题3：如图，把三角板的一个角立在平面上，三角板所在平面与平面是否只相交于点？为什么？（让学生以课桌面为平面通过自己实验观察得到结论）aP教师归纳总结，多媒体展示公理3的三种语言并板书。思考：公理3有什么作用？问题1通过笔和课桌面直观感知原本难以想象的直线和平面的关系，将抽象问题直观化，有利于对公理1的理解。问题2以学生熟知的两点确定一条直线提出确定一个平面需要什么条件，教师启发，由学生讨论、归纳出不共线的三点确定一个平面的准确含义。设计探究的目的是为了加深对确定平面条件的理解。问题3通过学生主动参与教学过程，借助身边模型获得新知。例题是为了进一步加深对三个公理的理解。问题的解决主要由学生完成，教师借助多媒体直观形象的展示有关图形，在问题解决的过程中，教师只需引导学生，启发思维，最后进行归纳。在每一个问题得到解决以后，教师用三种语言规范板书。
例3、判断下列命题是否正确。（1）经过三点确定一个平面。（2）经过同一点的三条直线确定一个平面。（3）若直线，平面，则。（4）平面与相交，它们只有有限个公共点。BACPQR（提高体）已知△ABC在平面a外，它的三边所在直线分别交a于P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线．回顾与小结1、平面的基本特征是2、通常用平行四边形表示平面，并把它的锐角画成，且横边长等于其邻边长的倍。如果一个平面被另一个平面挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用线画出来。3、表示平面的方法如下几种？4、如何描述点与直线、平面的关系？5、①公理1：文字语言：如果一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号语言：。图形语言：②公理2：文字语言：的三点，有且只有一个平面。符号语言：。图形语言：③如果两个不重合的平面，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号语言：。图形语言：由学生自己来讲，调动学生的积极性，使学生及时回顾，再次加深对平面的概念、画法、表示以及基本性质的认识，同时还可以提升学生自我整合知识的能力，进一步完成教学目标。学生根据教师设计的几点进行归纳、总结，教师在学生回答完以后以多媒体形式展示相关内容。6．目标检测设计1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）可画一个平面，使它的长为4，宽为2．（）（2）一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分．（）（3）一个平面的面积为20．（）2．下面是一些命题的叙述语（，表示点，表示直线，、表示平面），其中命题和叙述方法都正确的是（）A．∵，，∴．B．∵，，∴．C．∵，，∴．D．∵，，∴．
3．下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面4．如图在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（）A．在直线上B．在直线上C．在直线上D．都不对5．用符号表示下列语句，并画出相应的图形：（1）点A在平面内，但点B在平面外.（2）直线经过平面外的一点M.BCDAB1C1A1D1O1O6．如右图，在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由.（1）直线在平面内.（2）设正方形与的中心分别为、，则平面与平面的交线为.（3）由点A、O、C可以确定一个平面.（4）由A、、确定的平面与由A、、D确定的平面是同一平面.设计意图：1、强化对平面特征的理解。2、强化点、直线、平面位置关系的符号语言表示。3、强化对公理2的理解。4、强化公理3的应用。5、强化三种语言的转化，为后续的推理规范打基础。6、全面回顾本节课的难点三个公理的应用。7．教学评价本节课是第二章第一课时，其重要性可想而知，它是培养学生建立正确空间观念的基础，使学生对图形的认识由平面向立体过渡，逐步培养学生根据立体图形可以想象出组成立体图形的点、线、面的空间位置关系。其中，三个公理还是后续几何命题证明的出发点和根据。因此，高质量的达成本节课的教学目标至关重要。学生在学习这节课以前，已经学习了空间几何体，对空间几何体已有整体认识，因此，这节便以学生熟知的正方体为载体，通过问题串的形式展开教学。教学过程中，用学生身边的物体为例，设计比较简单的问题，或将一些抽象的概念具体化，先由学生主动探究、分析获得结论，教师根据学生获得的结论做总结、归纳，最后以多媒体、板书等形式给出规范表达。本节课在设计时考虑到平面的概念和平面的基本性质比较抽象，为了强化学生对知识点的理解，每学完一个知识点都会配以例题或练习用来诊断课堂效果。本节课的设计，以学生为本，学生参与度高，应该可以较好的完成教学目标。本节课对点、直线、平面之间的位置关系设置内容略显不足，其次对三个公理的应用还可加深。
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