高中数学2.1.1平面1

2.1.1平面2.1空间点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系 观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？空间点、直线、平面的位置关系问题长方体由上下、前后、左右六个面围成．有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在直线与面平行，有些棱所在直线与面相交，每条棱所在的直线都可以看成是某个平面内的直线，等等． 观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？实例引入观察 一.平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。二.平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。 1、判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打，否则打:1、一个平面长4米，宽2米；()2、平面有边界；()3、一个平面的面积是25cm2；()4、菱形的面积是4cm2；()5、一个平面可以把空间分成两部分;()6、两个平面合在一起变厚了。()练习 三.平面的画法：（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：aß通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450 （3）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。 四.平面的表示方法：ABCD平面可以用希腊字母表示，也可以用代表表示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点字母表示。如：平面α，平面β，平面ABCD，平面AC平面BD等。 α1、下图中的平面中有无不正确的地方？应如何纠正？练习 2、图中平面α与平面β是否为同一平面？ααβαβ不是是不是β练习 五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：ABa⑴点A在直线a上：记为：A∈a点B不在直线a上：记为：B∈a⑴点A在平面α上：记为：A∈α点B不在平面α上：记为：B∈αABα1.点与直线的位置关系：2.点与平面的位置关系：⑵直线a经过点A，直线a不过点B⑵平面α经过点A，平面α不过点B 3.直线与平面的位置关系：直线a上的所有点都在平面α上，称直线a在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：直线a与平面α只有一个公共点A时，称直线a与平面α相交。 记为：a∩α＝A直线a与平面α没有公共点时，称直线a与平面α平行。 记为：a∩α＝φ或a∥α.αaαAaαa五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系： BaA∈aB∈aA∈αB∈αααaαAbaAABb∩α＝Aa∩α＝φ或a∥α五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系： 如图，用符号表示以下各概念：②直线a在平面内；点C在平面内；③点D不在平面内；直线b不在平面内．①点A、B在直线a上；练习 例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．alABalPb（1）（2）解：在（1）中，在（2）中，典例剖析 例2.把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。（1）点A在平面α内，点B不在平面α内，点A，B都在直线a上；（2）平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内且平行于直线m.αβmaαABa典例剖析 公理1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（即这条直线上的所有的点都在这个平面内）。αlAB桌面αAB观察下列问题，你能得到什么结论？ 公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（即这条直线上的所有的点都在这个平面内）。αlAB文字语言：图形语言：符号语言：定理的用途：判定直线是否在平面内． 公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.αACB观察下列问题，你能得到什么结论？BCA 文字语言：图形语言：符号语言：公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.αACB定理的用途：确定平面的主要依据． B把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？思考B 公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。Pαβl观察下列问题，你能得到什么结论？P天花板α墙面β墙面γ 文字语言：图形语言：符号语言：公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。Plαβ定理的用途①判断两个平面相交的依据．②判断点在直线上. 推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。αlABC推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.αACB确定平面的方法 证明三线共面,可先证其中两条直线共面,再证第三条直线也在此平面内.例1.一条直线和两条平行线都相交,求证:这三条直线共面.αBAabl已知:如图,a∥b,l∩a=A,l∩b=B求证:a,b,l三线共面证明:∵a∥b,由公理2推论3有直线a,b确定一个平面α∴a,b,l三线共面于α又A∈a,aα,∴A∈α,同理B∈α,由公理1有:lα 练习C 练习CC 小结1.空间中点线面的位置关系2.三个公理3.平面的确定方法4.文字语言、图形语言、符号语言的相互转化公理1公理2公理3