高中数学人教A版必修 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面 课件

第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1平面 1．下列命题正确的是()CA．画一个平面，使它的长为14cm，宽为5cmB．一个平面的面积可以是16m2C．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分D．10个平面重叠起来，要比2个平面重叠起来厚 2．下列命题正确的是()CA．因为直线向两方无限延伸，所以直线不可能在平面内B．如果线段的中点在平面内，那么线段在平面内C．如果线段上有一个点不在平面内，那么线段不在平面内D．当平面经过直线时，直线上可以有不在平面内的点3．下列说法中正确的是()CA．两个平面相交有两条交线B．两个平面可以有且只有一个公共点C．如果一个点在两个平面内，那么这个点在两个平面的交线上D．两个平面一定有公共点 )B重点公理及其推论1．平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下： 公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号语言A、B、C不共线⇒A、B、C确定平面α 2.公理2的三条推论：推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．难点公理及其推论的应用1．公理1既可以判断直线是否在平面内，点是否在平面内，又可以利用直线检验平面．2．公理2的作用：(1)确定平面；(2)证明点、线共面．3．公理3的作用：(1)判断两个平面是否相交；(2)确定两个平面的交线；(3)证明若干点共线问题． 符号语言、文字语言、图形语言的互译例1：若α∩β＝l，点A、B∈α，C∈β，试画出平面ABC与平面α、β的交线．(1)(2)图1若AB∥l时，如图1(2)，直线AB、CD是所求交线．解：若AB∩l＝D时，如图1(1)，直线AB、CD是所求交线； 正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系．点看成是元素，线、面看成是点的集合，所以点与线、面的关系用“∈、∉”表示，线与线、线与面及面与面的关系用“⊂、⊄”表示．1－1.试用集合符号表示下列各语句，并画出图形：(1)点A在平面α内，但不在平面β内；(2)直线l经过平面α外一点P，且与平面α相交于点M；(3)平面α与平面β相交于直线l，且l经过点P. 解：(1)A∈α，A∉β，此处图形不唯一，符合要求即可，如图11(1)．图11(2)P∈l，P∉α，l∩α＝M，如图11(2)．(3)α∩β＝l，P∈l，如图11(3)． 点线共面问题例2：求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内．解：已知：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C(如图2)．求证：直线AB、BC、CA共面．图2证明：∵AB∩CA＝A，思维突破：根据题目写出已知、求证后，再进行证明． 证明线共面一般先用公理2及其推论证两条直线确定一个平面，再用公理1证明余下的直线也在它们确定的平面内．∴直线AB和AC确定一个平面α(推论2)．因此，直线AB、BC、CA都在平面α内，即它们共面． 图3证明：∵PQ∥a，∴PQ与a确定一个平面β，∴直线a⊂β，点P∈β.∵P∈b，b⊂α，∴P∈α.又∵a⊂α，∴α与β重合，∴PQ⊂α.2－1.如图3，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α. 多点共线问题例3：已知：EF∩GH＝P，E∈AB，F∈AD，G∈BC，H∈CD，求证：B、D、P三点共线．思维突破：应用公理3，选择恰当的平面，只要证明此三点都是某两个平面的公共点，即可证三点在这两个平面的交线上． ∵AB∩BD＝B，∴AB和BD确定平面ABD.∵A∈AB，D∈BD，∴AD⊂平面ABD(公理1)．∵E∈AB，F∈AD，∴EF⊂平面ABD.又∵EF∩GH＝P，∴P∈平面ABD.同理，P∈平面BCD.∵BD⊂平面ABD，BD⊂平面BCD，∴平面ABD∩平面BCD＝BD.∴P∈BD，即B、D、P三点共线．证明：如图4.图4 证明若干点共线问题的基本方法：①首先找出两个平面的交线，然后证明这若干点都是这两个平面的公共点，根据公理3可推知这些点都在交线上，即证若干点共线；②选择其中两点确定一条直线，然后证明另一些点都在这条直线上． 3－1.△ABC在平面α外，AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，求证：P、Q、R三点共线．∴P、Q、R∈α①，P∈AB，Q∈BC，R∈AC②，由②可得P、Q、R∈ABC，∴P、Q、R是平面ABC与平面α的公共点，∵两平面相交有且只有一条交线，∴P、Q、R三点在平面ABC与平面α的交线上，即P、Q、R三点共线．证明：AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R， 例4：如图5，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F分别是AA′、AB上一点，且EF∥CD′，求证：平面EFCD′、平面AC与平面AD′两两相交的交线ED′、FC、AD交于一点．图5 错因剖析：遇到此类证明多线共点问题，找不到解决问题的突破口．证明：∵E、F分别是AA′与AB上一点，∴EF≠CD′.又∵EF∥CD′，∴四边形EFCD′是梯形，直线ED′和FC相交于一点，设此点为P，∵P∈ED′⊂平面AA′D′D，P∈FC⊂平面ABCD，∴P是平面AA′D′D与平面ABCD的公共点．∵平面AA′D′D∩平面ABCD＝AD，∴P∈AD.∴ED′、FC、AD交于一点P.先证两条直线交于一点，再证第三条直线经过这点，把问题化归到证明点在直线上的问题． 4－1.三个平面两两相交得到三条交线，如果其中有两条相交于一点，那么第三条也经过这个点．解:已知:平面α、β、γ满足α∩β＝a,β∩γ＝b,γ∩α＝c,a∩b＝A，如图12.求证：A∈c.图12证明：∵a∩b＝A，∴A∈a，A∈b.又∵α∩β＝a，β∩γ＝b，∴a⊂α，b⊂γ.∴A∈α，A∈γ.即A在平面α与平面γ的交线上，又α∩γ＝c，∴A∈c.