2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式

二 一般形式的柯西不等式一、选择题1．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(  )A．1B．2C．3D．42．已知a2＋b2＋c2＋d2＝5，则ab＋bc＋cd＋ad的最小值为(  )A．5B．－5C．25D．－253．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则等于(  )A.B.C.D.4．已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为(  )A．3B．3C．18D．95．设a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是(  )A．1B.C．3D．96．已知x，y是实数，则x2＋y2＋(1－x－y)2的最小值是(  )A.B.C．6D．3二、填空题7．设a，b，c∈R＋，若(a＋b＋c)≥25恒成立，则正数k的最小值是________．8．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值是________．9．已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝6，则＋＋的最大值为________．10．设x，y，z∈R,2x＋2y＋z＋8＝0，则(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2的最小值为________．三、解答题11．已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a，又正数p，q，r满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.12．设a1＞a2＞…＞an＞an＋1，求证：＋＋…＋＋＞0. 四、探究与拓展13．边长为a，b，c的三角形ABC，其面积为，外接圆半径为1，若s＝＋＋，t＝＋＋，则s与t的大小关系是________．14．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1.(1)若2x2＋3y2＋6z2＝1，则x，y，z的值分别为__________；(2)若2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，则正数t的取值范围为__________________．二 一般形式的柯西不等式一、选择题1．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(  )A．1B．2C．3D．4答案 A解析 (a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)·(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，当且仅当＝＝…＝＝1时取等号．∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.2．已知a2＋b2＋c2＋d2＝5，则ab＋bc＋cd＋ad的最小值为(  )A．5B．－5C．25D．－25答案 B解析 (ab＋bc＋cd＋da)2≤(a2＋b2＋c2＋d2)·(b2＋c2＋d2＋a2)＝25，当且仅当a＝b＝c＝d＝±时，等号成立．∴ab＋bc＋cd＋ad的最小值为－5.3．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则等于(  )A.B.C.D.答案 C解析 由柯西不等式，得(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当＝＝＝时取等号，因此有＝.4．已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为(  )A．3B．3C．18D．9答案 B解析 由柯西不等式，得(＋＋)2 ≤(1＋1＋1)(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)＝3[3(a＋b＋c)＋3]．∵a＋b＋c＝1，∴(＋＋)2≤3×6＝18，∴＋＋≤3，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．5．设a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是(  )A．1B.C．3D．9答案 B6．已知x，y是实数，则x2＋y2＋(1－x－y)2的最小值是(  )A.B.C．6D．3答案 B解析 ∵(12＋12＋12)[x2＋y2＋(1－x－y)2]≥[x＋y＋(1－x－y)]2＝1，∴x2＋y2＋(1－x－y)2≥，当且仅当x＝y＝时等号成立．二、填空题7．设a，b，c∈R＋，若(a＋b＋c)≥25恒成立，则正数k的最小值是________．答案 9解析 因为(a＋b＋c)≥(1＋1＋)2＝(2＋)2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，所以(a＋b＋c)·的最小值是(2＋)2.由(a＋b＋c)·≥25恒成立，得(2＋)2≥25.又k＞0，所以k≥9，所以正数k的最小值是9.8．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值是________．答案 121解析 (a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥2＝(2＋3＋6)2＝121.当且仅当＝＝＝k(k为正实数)时，等号成立．9．已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝6，则＋＋的最大值为________．答案 4解析 由柯西不等式，得(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋4)＝48.当且仅当＝＝，即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立．又a＋b＋c＝6，∴当a＝，b＝，c＝时，＋＋取得最大值4.10．设x，y，z∈R,2x＋2y＋z＋8＝0，则(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2的最小值为________．答案 9解析 (22＋22＋12)[(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2] ≥[2(x－1)＋2(y＋2)＋(z－3)]2＝(2x＋2y＋z－1)2＝81，∴(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥9.当且仅当＝＝时，取等号．三、解答题11．已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a，又正数p，q，r满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.证明 因为f(x)＝|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，即函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a＝3，所以p＋q＋r＝3.由柯西不等式得(p2＋q2＋r2)(1＋1＋1)≥(p＋q＋r)2＝9，于是p2＋q2＋r2≥3.12．设a1＞a2＞…＞an＞an＋1，求证：＋＋…＋＋＞0.证明 为了运用柯西不等式，我们将a1－an＋1写成a1－an＋1＝(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)，于是[(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)]·≥n2＞1.即(a1－an＋1)·＞1，所以＋＋…＋＞，故＋＋…＋＋＞0.四、探究与拓展13．边长为a，b，c的三角形ABC，其面积为，外接圆半径为1，若s＝＋＋，t＝＋＋，则s与t的大小关系是________．答案 s＜t解析 由已知得absinC＝，＝2R＝2，所以abc＝1，所以＋＋＝ab＋bc＋ca，由柯西不等式得(ab＋bc＋ca)≥(＋＋)2，所以2≥(＋＋)2，即＋＋≥＋＋.当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．又当等号成立时，面积S＝≠，故等号不成立．故s＜t.14．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1.(1)若2x2＋3y2＋6z2＝1，则x，y，z的值分别为__________；(2)若2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，则正数t的取值范围为__________________．答案 (1)，， (2)[6，＋∞)解析 (1)∵(2x2＋3y2＋6z2)≥(x＋y＋z)2＝1，当且仅当＝＝时，等号成立，∴2x＝3y＝6z.又∵x＋y＋z＝1，∴x＝，y＝，z＝. (2)∵(2x2＋3y2＋tz2)·≥(x＋y＋z)2＝1，当且仅当＝＝时，等号成立，∴(2x2＋3y2＋tz2)min＝.∵2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，∴≥1.又t＞0，∴t≥6.