2.1.1平面教学目的：1理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题2理解公理二，并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题教学重点：平面基本性质的三条公理及其作用.教学难点：（1）对平面基木性质的三条公理的理解.（2）确定两相交平面的交线.教学过程：一、复习引入：1.平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基木的属性常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分2.平面的画法及其表示方法：①在立体儿何中，常用平行四边形表示平面当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°,横边画成邻边的两倍画两个平而相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母Q、0、Y……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面平面AC等3.空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示:图形符号语言文字语言（读法）-AaAea点A在直线。上Aaa点A不在直线G上XxA・/Aea点A在平面Q内A・/6c/a点A不在平面G内aC\b=A直线d、b交于A点集合中“丘”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“u”和“门”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言.=0或=A
二、讲解新课：1平面的基本性质立体几何中有一些公理，构成一个公理体系.人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理.公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式打::卜細皿如图示:或者：•.•AwzBgq,ABa应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆.①判定直线在平面内；②判定点在平面内模式：Aea公理1说明了平面与曲面的本质区别•通过直线的“直”来刻划平面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：二仅门0如图示:或者：VAea,Ae/3,aC\fi=l,AeI应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法.指出：今后所说的两个平面（或两条直线），如无特殊说明，均指不同的平面（直线）公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A,3,C不共线'推理模式：a>^>a与0重合A,B,Cg0或者：・・・A,B,C不共线，.••存在唯一的平面a,使得A.B.Cea・应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一,“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，乂保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因
或者：•.•AwzBgq,ABa应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆.①判定直线在平面内；②判定点在平面内模式：Aea公理1说明了平面与曲面的本质区别•通过直线的“直”来刻划平面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：二仅门0如图示:或者：VAea,Ae/3,aC\fi=l,AeI应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法.指出：今后所说的两个平面（或两条直线），如无特殊说明，均指不同的平面（直线）公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A,3,C不共线'推理模式：a>^>a与0重合A,B,Cg0或者：・・・A,B,C不共线，.••存在唯一的平面a,使得A.B.Cea・应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一,“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，乂保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因
此，在证明有关这类语句的命题I］寸，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证.实例：（1）门：两个合页，一把锁；（2）摄像机的三角支架；（3）自行车的撑脚公理3及其下面要学习的三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.2平面图形与空间图形的概念如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形推论1经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.已知：直线/，点A是直线/外一点.求证：过点A和直线I有且只有一个平面,一——「证明：（存在性）：在直线/上任取两点B、C,•・・仙,・・・A,5C不共线.由公理3,经过不共线的三点A,B,C可确定一个平而Q,・・•点B,C在平面Q内，根据公理1,:•Iua,即平面o是经过直线/和点A的平面.（唯一性）：VB,Cg/,lua,Aea,・••点A,B,Cwa,由公理3,经过不共线的三点A,B,C的平面只有一个，所以，经过/和点A的平面只有一个推理模式：a=＞存在唯一的平面o,使得Aea,Ica推论2经过两条相交直线有且只有一个平面已知：直线二P・求证：过直线Q和直线b有口只有一个平面证明：（存在性）：在直线d上任取两点A,直线b上B,-a^]b=P9不共线.由公理3,经过不共线的三点A,B,P可确定一个平面a,・・•点A,B,P在平而Q内，根据公理1,/.a,bua,即平面a是经过直线g和直线b的平面.（唯一性）：a^\b=P,Awa,Bwb,a,bua,・••点A,B,Pwa,由公理3,经过不共线的三点A,B,P的平面只有一个,
所以，经过直线d和直线b的平面只有一个推理模式：aC\b=P存在唯一的平面a,使得a,bua推论3经过两条平行直线有且只有一个平面已知I：直线a〃b.弋A-求证：过直线a和直线b有且只有一个平面/5异R*证明：（存在性）：氐1-allb・・・由平行线的定义，肓线a和直线b在同一个平面a内,即平面Q是经过直线Q和直线b的平面.（唯一性）：取A,Cwa,Bwb,Va,bcza,a//b・••点A,B,C不共线且A,B,Cwa,由公理3,经过不共线的三点A,5C的平面只有一个，所以，经过直线a和直线b的平面只有一个推理模式：a//b=＞存在唯一的平面a,使得a,bua三、讲解范例：例1求证:三角形是平面图形已知:三角形ABC求证：三角形ABC是平面图形证明：•・•三角形ABC的顶点A、B、C不共线・•・由公理3知I,存在平面。使得A、B、Cea再由公理1知，AB、BC、CAu"・・・三角形ABC上的每一个点都在同一个平面内・••三角形ABC是平面图形例2点AE平面BCD,E、F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点，若EH与FG交于P（这样的四边形ABCD就叫做空间四边形）求证：P在直线BD上证明：•・•EHp[FG=P,・•・PwEH,PwFG,・・・分别属于直线AB,AD,・•・EHu平面ABD,・\Pe平面ABD,同理：Pw平面CBD,又I平面ABDA平面CBD=BD,所以，P在直线BD上例3两两和交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内已知：直线AB,BC,CA两两相交，交点分别为A,B,C
求证：直线AB,BC,CA共面证法一：•・•直线ABnAC=A,・•・直线AB和AC可确定平面Q,VBeAB,CgAC,・\Bea,Ceaf•IBCua,即AB,BC,CAua即直线AB.BC.CA共面证法二：因为Ag直线BC上，所以过点A和直线BC确定平面a•（推论1）因为Aea,BeBC,所以Bea.故ABCa,同理ACua,所以AB,AC,BC共面.证法三：因为A,B,C三点不在一条直线上，所以过A,B,C三点可以确定平面a・因为AEa,BWa,所以ABUu.同理BCua,ACua,所以AE,BC,CA三直线共面.问题：在这题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？例4在正方体ABCD-A^C.D^，①*与Cq是否在同一平面内？②点B,C\,D是否在同一平面内？③画出平面AC】与平面BC、D的交线，平面AC。与平面的交线解：①在正方体ABCD-AQCQ中,•••A4//CG，・・・由推论3可知，*与cq可确定平面ACP・・・側与eq在同一平而内②・・•点B，G，D不共线，由公理3可知，点B,C、,D可确定平面BC、D,・••点B,C、,D在同一平面内®VAC^BD=O,D、CnDC严E,・••点Ow平面AC,,Ow平面BCD、,又Gw平面ACPGw平面BCD、,・•・平面AQA平面BCQ=OC「同理平面ACD,A平而BDCX=OE・四、课堂练习：1下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，a、B表示平面）
A.\ABea・B.•:aw0,・\aV\P-ci.C・•••Awd,GUG,・\Aea•D・••■Ag/quo,・\a・其屮命题和叙述方法都正确的是（）2.下列推断中，错误的是（）A.Awl,Awa,Bwl,BwanIuaB.Aea,Ae/3.Bea,Be(3■=>aC\p=ABC・/ua,Aw/=>AeaD.A,B,Cwa,A,B,Cw0,且A、B、C不共线na,0重合3.一个平面把空间分成—部分，两个平面把空间最多分成—部分,面把空间最多分成—部分.4・判断下列命题的真假，真的打“丿”，假的打“X”（1）空间三点可以确定一个平面两条直线可以确定一个平面两条相交直线可以确定一个平面一条直线和一个点可以确定一个平面三条平行直线可以确定三个平面两两相交的三条直线确定一个平面两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合若四点不共面，那么每三个点一定不共线三个平(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)((((5.看图填空(1)(2)(3)(4)(5)(6)答案：ACQBD=平面AB,A平面川C二平面AXCXCAQ平面AO平面A.QCAQ平面DbBN平面AGn平面ABin平面BGA1)))))))A{B{Al.C2.C3.2,4,84.(1)X(2)X(3)V(4)X(5)X(6)X(7)X(8)V5.（1）0⑵A]Bi（3）O（4）OOi（5）Bi（6）Bi五、小结:本课主要的学习内容是平面的基本性质，三条公理屮公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3是确定平面的依据•“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词•“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一”.所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面一一存在性和唯一性.证明的方法是反证法和同一法
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