平面1.平面的概念,画法及表示方法.2.平面的性质及其作用3.符号表示4.注意事项1.下列命题正确的是()A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2.(1)不共面的四点可以确定几个平面?(2)共点的三条直线可以确定几个平面?3.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)平面与平面相交,它们只有有限个公共点.()(2)经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.()(3)经过两条相交直线,有且只有一个平面.()(4)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合.()4.用符号表示下列语句,并画出相应的图形:(1)点A在平面内,但点B在平面外;(2)直线a经过平面外的一点M;(3)直线a既在平面内,又在平面内.答案:1.D2.(1)不共面的四点可确定4个平面.(2)共点的三条直线可确定一个或3个平面.3.(1)×(2)√(3)√(4)√4.(1)A,B.(2)M,M.(3)a,a.经典习题例1已知:a,b,c,d是不共点且两两相交的四条直线,求证:a,b,c,d共面.证明1o若当四条直线中有三条相交于一点,不妨设a,b,c相交于一点A,
但AÏd,如图1.∴直线d和A确定一个平面α.又设直线d与a,b,c分别相交于E,F,G,αbadcGFEAabcdαHK图1图2则A,E,F,G∈α.∵A,E∈α,A,E∈a,∴aα.同理可证bα,cα.∴a,b,c,d在同一平面α内.2o当四条直线中任何三条都不共点时,如图2.∵这四条直线两两相交,则设相交直线a,b确定一个平面α.设直线c与a,b分别交于点H,K,则H,K∈α.又H,K∈c,∴c,则cα.同理可证dα.∴a,b,c,d四条直线在同一平面α内.说明:证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是:首先根据公理3或推论,由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内.本题最容易忽视“三线共点”这一种情况.因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句话的含义.例2正方体ABCD—A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC、BD交于点M,求证:点C1、O、M共线.MOB1C1D1A1DCBA分析:要证若干点共线的问题,只需证这些点同在两个相交平面内即可.解答:如图所示A1A∥C1C确定平面A1CO∈平面A1CA1C平面A1C又O∈A1C平面BC1D∩直线A1C=OO∈平面BC1DO在平面A1C与平面BC1D的交线上.AC∩BD=MM∈平面BC1D且M∈平面A1C平面BC1D∩平面A1C=C1MO∈C1M,即O、C1、M三点共线.
评析:证明点共线的问题,一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样,可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.