【名师一号】高中数学 2.1.1平面课件 新人教A版必修2

第二章点､直线､平面之间的位置关系§2.1空间点､直线､平面之间的位置关系2.1.1平面1 自学导引(学生用书P23)2 1.初步理解平面的概念,掌握平面的表示法.2.了解并会用文字语言､图形语言､符号语言表示点､线､面的位置关系.3.掌握平面的基本性质的三种语言表示,初步掌握性质的简单运用.3 课前热身(学生用书P23)4 1.公理1:如果一条直线上的______在一个平面内,那么这条直线在此平面内.2.公理2:过不在一条直线上的三点,________一个平面.3.公理3:如果两个不重合的平面有______公共点,那么它们有且只有______过该点的公共直线.两点有且只有一个一条5 名师讲解(学生用书P23)6 1.准确理解平面的概念“平面”是一个只给出描述而未下定义的最基本的原始概念,对“平面”这一概念应从以下三个方面注意理解:①“平面”是平的;②“平面”无厚度;③“平面”是无边界的,可以向四面八方无限延展.这就是人们常说的平面的“无限延展性”.7 2.空间图形的画法(1)关于平面的画法要注意以下几点①通常画的平行四边形表示的是整个平面.需要时,可以把它延展开来,如同在平面几何中画直线一样,直线是可以无限延伸的,但在画直线时却只画一条线段来表示.②加“通常”二字的意思是因为有时根据需要也可用其他平面图形表示:如用三角形､矩形､圆等平面图形来表示平面.8 ③画表示平面的平行四边形时,通常把它的锐角画成45°,横边画成是邻边的两倍.④画表示竖直平面的平行四边形时,通常把它的一组对边画成铅垂线.9 (2)画空间图形时,为什么规定:看不见的地方要画虚线或不画呢如果所有线都画实线,则同一个图形可以想象出不同的形状.如图(甲),可以想象出两种不同的图形形状.①想象点A在平面BCD里面,我们看不见;②再想象点A被慢慢拉到外面来,于是,点A又在平面BCD的外面.这样,就得出两种不同的图形了,而图(乙)则不会产生上述感觉.同时也符合人的视觉效果原理:近实远虚.10 3.准确理解公理的含义公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”.公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在一条直线上的三个点”这一条件.11 面重合”.特别要注意公理2中“不在一条直线上的三个点”这一条件.“有且只有”的含义可以分开来理解.“有”是说明“存在”,“只有一个”说明“唯一”,所以“有且只有一个”,也可以说成“存在”并且“唯一”,与确定同义.推论1:经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.12 图形表示如下图公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上.13 典例剖析(学生用书P24)14 例1:用符号语言及文字语言描述下图,并画出平面ABC和平面α及β的交线.分析:要画出两个平面的交线,根据公理1和公理2,只要找出它们的两个公共点,显然平面ABC和α已有两个公共点A\,B,延长AB交l于D,D∈平面β,即为平面ABC与平面β的第二个交点.15 解:如图,α∩β=l,A∈α,B∈α,AB∥l,C∈β,A、B、C均不在l上.作法:连结AB,并延长交l于D,连结AC、CD,则平面ABC与平面α、β的交线AD\,DC即为所求.16 规律技巧:本题给出了画两个平面交线的一般方法,即找出它们的两个公共点,转化为找同一平面内两条直线的交点.17 变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.(1)平面的形状是平行四边形;(2)任何一个平面图形都是一个平面;(3)圆和平面多边形都可以表示平面;(4)因为ABCD的面积大于A′B′C′D的面积,所以平面ABCD大于平面A′B′C′D′;(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边界线.18 解:(1)不正确.平面是无限延展的,我们只是画平行四边形表示平面.(2)不正确.平面图形和平面是两个完全不同的概念.平面图形有大小､有面积,可以度量.而平面具有无限延展性,类似于直线可无限延伸,不可度量.(3)正确.圆和平面多边形都是平面图形,可以用它们表示平面.(4)不正确.平面是无限延展的,不论大小,不计面积.(5)不正确.平面是无限延展的,无边界.19 题型二多线共面问题例2:证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1､l2､l3在同一平面内.20 分析:证明多线共面,一般先选取两条直线构造一个平面,然后证明其他直线都在这个平面上.21 证明:证法1:(同一法)∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又∵l2α,∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3,C∈l3,∴l3α.∴直线l1､l2､l3在同一平面内.22 证法2:(重合法)∵l1∩l2=A,∴l1､l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴l2､l3确定一个平面β.∵A∈l2,l2α,∴A∈α.∵A∈l2,l2β,∴A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共线的三个点A､B､C既在平面α内,又在平面β内.∴平面α和β重合,即直线l1､l2､l3在同一平面内.23 规律技巧:(1)同一法证明直线共面的步骤:①证明其中两条直线平行或相交,即这两条直线确定一个平面α;②证明其余直线上均有两点也在平面α内,即其余直线也在平面α内,也就是证明了这些直线共面.(2)重合法证明直线共面的步骤:①证明这些直线确定若干个平面;②利用公理及其推论证明这些平面重合,从而证明了这些直线共面.24 变式训练2:求证:如果一条直线和两条平行直线都相交,那么这三条直线共面.已知:a∥b,a∩l=A,b∩l=B,求证:直线a､b､l共面.25 证明:如图所示.∵a∥b,∴直线a､b确定一个平面α.∵a∩l=A,∴A∈a,A∈α.又b∩l=B,∴B∈b,B∈α.又∵A∈l,B∈l,∴lα.∴直线a､b､l共面.26 题型三多点共线问题例3:如图,△ABC在平面α外,它的三边所在的直线分别交平面α于P、Q\、R,求证:P、Q、R三点共线.27 分析:由公理3知,两个平面相交有一条公共直线,要证P､Q､R三点共线,只要证明这三点是这两个平面的公共点即可.28 证明:∵AB∩α=P,AB面ABC,∴P∈面ABC,P∈α,∴P在平面ABC与平面α的交线上.同理可证Q和R均在这条交线上.∴P\,Q\,R三点共线.29 规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交点也在其他直线上.30 变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,且ABα,CDβ.求证:AB､CD､l相交于一点.31 证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵ABα,CDβ,∴M∈α,且M∈β,∴M∈α∩β.又∵α∩β=l,∴M∈l,∴AB､CD､l相交于一点.32 易错探究33 例4:已知:A､B､C､D､E五点,其中A､B､C､D共面,B､C､D､E共面,则A､B､C､D､E是否共面?错解:∵A､B､C､D共面,∴点A在B､C､D确定的平面内,又点B､C､D､E共面,∴点E也在B､C､D确定的平面内.∴A､E都在B､C､D所确定的平面内.即点A､B､C､D､E五点一定共面.34 错因分析:错解中,误认为B､C､D三点确定一个平面,而题设中并没有说明B､C､D三点确定一个平面.因此,当B､C､D三点共线时,A､B､C､D､E不一定共面.35 正解:A､B､C､D､E五点不一定共面.(1)当B､C､D三点不共线时,由公理可知B､C､D三点确定一个平面α,由题设知A∈α,E∈α,故A､B､C､D､E五点共面于α;(2)当B､C､D三点共线时,设共线于l,若A∈l,E∈l,则A､B､C､D､E五点共面;若A､E有且只有一点在l上,则A､B､C､D､E五点共面;若A､E都不在l上,则A､B､C､D､E五点可能不共面.综上所述,在题设条件下,A､B､C､D､E五点不一定共面.36 技能演练(学生用书P25)37 基础强化1.经过同一直线上的3个点的平面()A.有且只有一个B.有且只有3个C.有无数个D.不存在答案:C38 2.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”,正确的是()答案:B39 3.已知点A,直线a,平面α.以上命题中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案:A40 4.平面α∩平面β=l,点A∈α,B∈α,C∈β,且Cl,又AB∩l=R,过A、B、C三点确定的平面记作γ,则β∩γ是()A.直线ACB.直线BCC.直线CRD.以上都不对答案:C41 5.给出下列命题:(1)和直线a都相交的两条直线在同一个平面内;(2)三条两两相交的直线在同一平面内;(3)有三个不同公共点的两个平面重合;(4)两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案:A42 6.下列命题①三个点确定一个平面②一条直线和一点确定一个平面③两条相交直线确定一个平面④两条平行线确定一个平面⑤若四点不共面,则必有三点不共线.其中正确命题是________.③④⑤43 解析:①不正确,当三点共线时不成立.②不正确.当点在直线上时,不成立.③正确.两条相交直线,必有三个点不共线,由公理2知,正确.④正确,理由同③.⑤正确,反证法:若有三点共线l,则l与第四个点确定一个平面α.∴四点共面,与已知相矛盾.44 7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个.答案:1或345 8.三个平面α、β、γ两两相交于三条直线,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,已知直线a和b不平行.求证:a、b、c三条直线必过同一点.分析:先证a、b交于一点P,再证点P在直线c上,主要是利用公理2.来证明直线共点的问题.46 证明:∵α∩γ=b,β∩γ=a,∴aγ,bγ.∵a、b不平行,∴a、b必相交,设a∩b=P,∵P∈a,aβ,∴P∈β.∵P∈b,bα,∴P∈α.而α∩β=c,∴P∈c.∴a、b、c相交于一点P,即a、b、c三条直线过同一点.47 能力提升48 9.若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”和“这四个点在同一平面上”能不能互相推导.解:(1)“这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况:①第四个点在共线三点所在的直线上,可推出“这四个点在同一平面上”;②第四个点不在共线三点所在的直线上,可推出“这四点在唯一的一个平面内”.(2)“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行的直线上”,不一定能推出“这四个点中有三点在同一直线上.”49 10.一条直线与三条平行直线都相交,求证:这四条直线共面.分析:如果一条直线与两条平行直线都相交,则完全仿照变式2的证法证明,可是第四条直线为何在确定的平面内,显然靠公理1是行不通的,本题采用平面重合法证明.50 证明:如图,易证a\,b\,d在同一平面α内,b\,c\,d在同一平面β内.∵α与β有公共的相交直线b\,d.即α\,β是相交直线b\,d确定的平面,∴α与β重合.∴a\,b\,c\,d四线共面.51 品味高考(学生用书P26)52 11.(河南高考)在空间内,可以确定一个平面的条件是()A.两两相交的三条直线B.三条直线,其中的一条与另外两条直线分别相交C.三个点D.三条直线,它们两两相交,但不交于同一点E.两条直线答案:D53 12.(2007·重庆)若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成()A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分解析:如下图所示,三个平面可把空间分成7部分.答案:C54