高中数学人教A版必修 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面 课件 3

2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式 【课标要求】1．认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式，以及定理1、定理2、定理3等几种不同形式，理解它们的几何意义．2．会用柯西不等式的代数形式和向量形式以及定理1、定理2、定理3，证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值．第一节 二维形式的柯西不等式 【核心扫描】1．二维形式的柯西不等式的应用是本节考查的重点．2．常与不等式知识综合考查．(难点) 自学导引1．二维形式的柯西不等式(1)定义：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(ac＋bd)2 2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．试一试：设平面上两个向量为α＝(a1，a2)，β＝(b1，b2)，证明|α||β|≥|α·β|. 规律方法1.二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应的一种不等关系，对谁与谁组合是有顺序的，不是任意的搭配，因此要仔细体会，加强记忆．例如，(a2＋b2)·(d2＋c2)≥(ac＋bd)2是错误的，而应有(a2＋b2)(d2＋c2)≥(ad＋bc)2.2．柯西不等式取等号的条件也不容易记忆，如(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2等号成立的条件是ad＝bc，可以把a，b，c，d看作成等比，则ad＝bc来联想记忆． 规律方法利用柯西不等式求最值①先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；③而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一． 【变式3】已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值． 方法技巧 二维柯西不等式向量形式的应用【示例】已知a，b∈R＋，且a＋b＝1.求证：(ax＋by)2≤ax2＋by2.