高中数学人教A版必修 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面 教学案 3

2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式教学案3教学目标：知识目标：认识二维柯西不等式的两种形式：代数形式；向量形式。学会二维柯西不等式的两种证明方法：代数方法；向量方法。了解一般形式的柯西不等式，并学会应用及探究其证明过程。能力目标：学会运用柯西不等式解决一些简单问题。学会运用柯西不等式证明不等式。培养学生知识迁移、自主探究能力。情感、态度、价值观目标：通过对柯西不等式的学习，使学生感受数学的美妙，提高数学素养，激发学习兴趣。教学重点与难点：教学重点：二维柯西不等式的两种形式及其证明：代数形式；向量形式。探究一般的柯西不等式形式。教学难点：柯西不等式的证明思路。运用柯西不等式解决问题。教学过程及内容：单刀直入，通过基本不等式引出平方和与乘积的关系，直接引入主题：【师】：同学们，以前我们学习了基本不等式，它反映的是两个实数的平方和与乘积的大小关系，今天我们将学习一个著名的不等式——柯西不等式，它的形式上也含有平方和与乘积。下面我们先来看一下这个式子【生】：全神贯注地看黑板。【师】：在黑板展示：由于因此 所以当且仅当时，等号成立。【师】：这就是柯西不等式中最简单的形式，即它的二维形式。讲解二维柯西不等式定理，并给出两个相关推论：二维形式的柯西不等式：若都是实数，则当且仅当时，等号成立。推论一：推论二：练习巩固新知识：例一：已知为实数，证明：【生】：动笔演算。【讲解】：利用柯西不等式，例二：求函数的最大值。【生】：动笔演算。【分析】：此题首先想到利用倒数求解，此方法可行，但是过程相对繁琐。【讲解】：函数的定义域为[5,6]，观察式子形式，可以用推论二。即。当且仅当，即时，函数有最大值5。讲解柯西不等式的向量形式：在平面直角坐标系中，，则 又而即当且仅当共线时，等号成立，即柯西不等式的向量形式：设是两个向量，则，当且仅当是零向量，或存在实数，使得时，等号成立。又称之为Cauchy-Schwarz不等式。通过柯西不等式的向量形式，将二维形式推广到三维，得到三维形式的柯西不等式：三维形式的柯西不等式：当且仅当，或存在使得时，等号成立。三维柯西不等式巩固练习：例三：设为正数，求证：【生】：动笔演算。【讲解】：利用柯西不等式，探究一般形式的柯西不等式：【师】：同学们类比一下二维和三维的柯西不等式，猜想一下一般形式的柯西不等式会是怎么样呢？【生】：踊跃回答： 【师】：很好！同学们都很聪明，那么怎么证明这个一般形式的柯西不等式呢？它又是在什么样的条件下才能使得等号成立呢？这个问题留给同学们课后思考。（提示：用向量证明。）下面我们先来看一个例题：例四：设求证：【讲解】：在不等式左端乘以因式，由柯西不等式，得于是小结：总结代数形式的柯西不等式和向量形式的柯西不等式，注意提醒学生等号成立的条件。板书设计：柯西不等式二维形式的柯西不等式：若都是实数，则当且仅当时，等号成立。推论一： 推论二：柯西不等式的向量形式：设是两个向量，则，当且仅当是零向量，或存在实数，使得时，等号成立。三维形式的柯西不等式：当且仅当，或存在使得时，等号成立。一般形式的柯西不等式：当且仅当，或存在使得时，等号成立。